王志明,徐 娟

(武漢科技大學理學院,湖北武漢,430065)

分數布朗運動下紅利亞式期權定價公式

王志明,徐 娟

(武漢科技大學理學院,湖北武漢,430065)

在假定股票價格遵循由分數布朗運動驅動的隨機微分方程的條件下,利用分數布朗運動隨機分析理論,得到具有固定執(zhí)行價格且有紅利支付的幾何平均亞式期權定價公式。

分數布朗運動;幾何平均亞式期權;紅利

亞式期權是一種新型期權,在到期日,亞式期權的損益依賴于合同期內某段時間標的資產的平均價格。亞式期權是當今金融衍生品市場上交易最為活躍的奇異期權之一,因此研究亞式期權具有較大的現實意義。經典期權定價公式的推導是基于標準布朗運動隨機分析理論。文獻[1-2]在假設股票價格服從標準布朗運動的條件下,采用鞅方法推導了亞式期權的定價公式。

近年來,許多學者研究發(fā)現利用分數布朗運動驅動的隨機微分方程來描述資產價格變化更加合理,并開始從事有關分數布朗運動的理論及應用研究。文獻[3-4]在標的資產價格服從分數布朗運動模型的假設條件下,得到了期權定價的相關結論。考慮到股票發(fā)紅利這一情況,本文在股票價格滿足分數布朗運動的假設條件下,討論帶紅利的幾何平均亞式期權的定價,對分數布朗運動環(huán)境下亞式期權定價模型進行了推廣。

1 假設條件

設{WHt,t≥0}是定義在風險中性概率測度空間(Ω,F,P)上的分數布朗運動,其中,H為Hurst參數,H∈(0,1)?？紤]一無摩擦的金融市場,并且該市場僅包含兩種證券:一種無風險資產(債券)與一種有風險的標的資產(如股票)。設債券價格Bt與股票價格St分別滿足方程

式中:r(t)為無風險利率,q(t)為紅利率,均假定為時間t的函數,t∈(0,T),其中 T為到期日;σ為標的資產的瞬時波動率,設為常數。

2 公式推導

引理1[4]隨機微分方程式(2)的解為

引理2[4]對于歐式未定權益ξ∈FHT,且ξ∈L2(P),則ξ的價格滿足

假定亞式期權執(zhí)行價格為 K,到期日為 T,則幾何平均亞式看漲期權損益為[5]

定理1 設無風險利率 r(t)與紅利率q(t)均為時間t的可積函數,則幾何平均亞式看漲期權價格為

推論1 設無風險利率 r(t)與紅利率 q(t)均為時間t的可積函數,則幾何平均亞式看跌期權價格為

證明 在此條件下,幾何平均亞式看漲、看跌期權平價關系為

將Ct的值代入式(9),化簡即得到式(8)。證畢。

若 r(t)=r,即無風險利率為常數,則ξ的價格滿足[7]

定理2 設紅利率q(t)為時間t的可積函數,無風險收益率為常數,則幾何平均亞式看漲期權價格為

推論2 設紅利率q(t)為時間t的可積函數,無風險收益率為常數,則幾何平均亞式看跌期權價格為

證明 在此條件下,幾何平均亞式看漲、看跌期權平價關系為

將 C′t的值代入式(13),化簡即得到式(12)證畢。

3 結語

分數布朗運動下的期權定價公式比傳統(tǒng)的Black-Scholes期權定價公式更能解釋資本市場的價格變化現象,因為期權的價格除了與資產價格S、時刻 T和t有關,還與Hurst參數 H有關當 H=1/2,且不考慮紅利因素時,即得到布朗運動環(huán)境下的幾何平均亞式看漲、看跌期權以及平價關系[5]。本文研究結果是對文獻[5]研究結果的一種推廣。

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[3] 陽小紅.分數布朗運動下幾何平均亞式期權定價[J].科技信息,2009(4):12-13.

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[7] Necula C.Op tion p ricing in a fractional Brow nian motion environment[R].Bucharest:Center for Advanced Research in Finance and Banking,Bucharest University of Economics,February,2002.

The dividend Asian option pricing in fractional Brown ian motion

W ang Zhim ing,Xu Juan
(College of Science,Wuhan University of Science and Technology,Wuhan 430081,China)

This paper,based on the assump tion that stock p rice satisfies fractional Brow nian motion and emp loying the theo ry of stochastic analysisof fractional Brow nian motion,obtains geometric average A sian op tion p ricing w hich is characterized by fixed imp lemented p rice and dividend payment.

fractional B row nian motion;geometric average A sian op tion;dividend

O211.6

A

1674-3644(2010)06-0665-04

[責任編輯 尚 晶]

2010-10-12

國家自然科學基金資助項目(60904060).

王志明(1962-),男,武漢科技大學副教授.E-mail:mingwz@126.com