李自田

(曲靖師范學(xué)院數(shù)學(xué)與信息科學(xué)學(xué)院,云南曲靖 655011)

Sine-G ordon方程的新精確孤波與周期孤波解

李自田

(曲靖師范學(xué)院數(shù)學(xué)與信息科學(xué)學(xué)院,云南曲靖 655011)

應(yīng)用變量分離常微分方程方法與輔助常微笑分方程方法得到了Sine-G ordon方程的新精確孤波與周期孤波解.

Sine-G ordon方程;變量分離;輔助常微分方程;孤波解;周期解

0 引 言

長期以來,應(yīng)用不同的方法尋找非線性發(fā)展方程的精確解是廣大數(shù)學(xué)和物理研究工作者的主要目標(biāo)之一.許多卓有成效的方法被逐漸確立與進(jìn)一步發(fā)展完善,并在解決這些問題中發(fā)揮出重要的作用.

眾所周知,Sine-G ordon方程來源于許多與物理相關(guān)的系統(tǒng)中,其性態(tài)在物理和數(shù)學(xué)方面均得到了廣泛的研究[1-5].長期以來,尋找Sine-G ordon方程的精確解在理論和實際應(yīng)用中均有十分重要的作用和意義,研究者應(yīng)用不同的方法也獲得了一些精確解[6-9].在本文中,通過應(yīng)用一種變量分離常微分方程方法[10]和輔助常微分方程方法[11]并與符號運(yùn)算系統(tǒng)相結(jié)合,分別得到了Sine-G ordon方程的新精確孤立波解,這在解決其他相關(guān)問題中將具有普遍意義.

1 主要結(jié)果

我們考慮如下形式的Sine-G ordon方程[12]：

其中,u∶Cx×Cy×R+t→C.

首先,應(yīng)用波變換將獨立變量 x,y和t組合為, ζ=kx+ly-ωt,k,l,ω為特定常數(shù).從而方程(1)可轉(zhuǎn)化為：

1.1 變量分離常微分方程方法

設(shè) u(ζ)滿足可分離變量的常微分方程：其中,適合 G(u)的函數(shù)可為sine,cosine,雙曲sine,雙曲cosine.

在本文中,可選取兩類適合條件的 u′(ζ)= G(u).

(1)令 u′(ζ)由下列形式的變量可分離的常微分方程確定：

其中,a為任意常數(shù).

將(4)式關(guān)于ζ微分得：

把(5)式代入(2)式得：

從而可得：

其中,k,l,a可為任意常數(shù).顯然,方程(4)是可分離的,故,

進(jìn)而兩邊積分可得下列形式的解：

其中,ζ0為積分常數(shù).

將(6)式代入上述解中可得精確孤波解：

(2)令 u′(ζ)由下列形式的變量可分離的常微分方程確定：

將(7)式關(guān)于ζ微分得：

把(8)式代入(2)式得：

從而可得：

類似的,解方程(7)可得解：

以及,

其中,ζ0為積分常數(shù).

進(jìn)而將(9)式代入上述解中可得：

1.2 輔助常微分方程方法

首先,令,

將(10)式代入(2)式可得：

令,

其中,a0,a1為待定常數(shù),φ(ζ)滿足如下常微分方程：

將(12)、(13)式代入(11)式得：

解該方程組得：

進(jìn)而將(14)、(13)式的解代入(10)式可得方程(1)的解：

其中,ε=±1,ω,a1為任意常數(shù).

2 結(jié) 論

在本文中,通過應(yīng)用變量分離常微分方程與輔助常微分方程方法分別推導(dǎo)出了Sine-G ordon方程的幾類新精確周期波解和孤波解,這對解決其他非線性發(fā)展方程將具有有益的借鑒作用.

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New Solutions of Precise Solitary Wave and Periodic Solitary Wave for Sine-Gordon Equation

LI Zitian

(School of Mathematics and Information Science,Qujing Normal University,Qujing 655011,China)

A variable separated ODE method and an auxiliary equation method were used to obtain new solitary wave solutions and periodic wave solutions for the Sine-G ordan equation were obtained.

Sine-G ordon equation;variables separation;auxiliary equation;solitary wave;periodic solutions

O29

：A

1004-5422(2010)02-0112-03

2010-01-15.

國家自然科學(xué)基金資助項目(10661002);曲靖師范學(xué)院科學(xué)研究基金資助項目(2009MS007,2009ZD002).

李自田(1972—),男,碩士,講師,從事偏微分方程研究.