趙永強(qiáng)，李瑰賢 ，常 山，張 祥

（1哈爾濱工業(yè)大學(xué)機(jī)電工程學(xué)院，哈爾濱 150001；2中船重工集團(tuán)第703研究所，哈爾濱 150036）

1 引 言

行星齒輪傳動(dòng)系統(tǒng)應(yīng)用非常廣泛，它的動(dòng)力學(xué)分析對減振降噪具有重要的指導(dǎo)意義。固有頻率對系統(tǒng)參數(shù)的敏感度能夠?yàn)橄到y(tǒng)響應(yīng)的降低、結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)的優(yōu)化提供重要的依據(jù)。選擇調(diào)節(jié)好系統(tǒng)參數(shù)可以平衡各設(shè)計(jì)目標(biāo)。

有些文獻(xiàn)已經(jīng)對單級行星齒輪傳動(dòng)系統(tǒng)的固有頻率參數(shù)敏感度進(jìn)行了研究，Botman[1]和Cunliffe[2]研究了行星輪支撐剛度變化對系統(tǒng)固有頻率的影響，Kahraman[3]使用純扭轉(zhuǎn)模型研究了嚙合與支撐剛度對系統(tǒng)固有頻率的影響，Saada和Velex[4]研究了自由振動(dòng)齒圈支撐剛度對系統(tǒng)固有頻率的影響，Lin和Parker[5]系統(tǒng)地研究了嚙合與支撐剛度、齒輪質(zhì)量與轉(zhuǎn)動(dòng)慣量、行星架轉(zhuǎn)速等參數(shù)對系統(tǒng)固有頻率的影響。

本文對大型艦船機(jī)械裝置中常用的兩級人字齒行星齒輪系統(tǒng)進(jìn)行了固有頻率敏感度的分析，文中主要對嚙合剛度的敏感度進(jìn)行了系統(tǒng)的研究，得出了各振動(dòng)模態(tài)中固有頻率隨參數(shù)變化的情況。

2 系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)模型

本文使用自己建立的模型，建模時(shí)采用集中參數(shù)法。齒輪均為人字齒輪，中心輪浮動(dòng)，不考慮齒間側(cè)隙的影響。整個(gè)系統(tǒng)由行星輪系和行星架固定的星形輪系相互聯(lián)接而成。

由于采用人字齒的結(jié)構(gòu)型式，所以只需考慮三個(gè)方向的自由度。系統(tǒng)共有3×（M+2+N+3）個(gè)自由度（M、N分別為星輪和行星輪個(gè)數(shù)），系統(tǒng)的自由振動(dòng)的動(dòng)力學(xué)方程為

式中，M、G、C、kb、km、kω分別為系統(tǒng)的質(zhì)量矩陣、陀螺矩陣、阻尼矩陣、支撐剛度矩陣、嚙合剛度矩陣和向心剛度矩陣。

3 特征值敏感度的計(jì)算方法

特征值敏感度分析主要是計(jì)算固有頻率和振動(dòng)模態(tài)對系統(tǒng)參數(shù)的導(dǎo)數(shù)，這里只研究對動(dòng)態(tài)特性影響較大的系統(tǒng)參數(shù)，如嚙合剛度?？疾煜率降奶卣髦祮栴}

本文使用模態(tài)法來計(jì)算系統(tǒng)的特征值的導(dǎo)數(shù)，再根據(jù)固有頻率與特征值導(dǎo)數(shù)之間的關(guān)系,就可以計(jì)算出各系統(tǒng)參數(shù)對固有頻率的敏感度。

特征值為單根時(shí)的敏感度為

特征值為重根時(shí)的敏感度為

上述公式中各量的具體描述詳見文獻(xiàn)[5]。

4 嚙合剛度敏感度

所研究的嚙合剛度包括行星輪系與星形輪系中各對互相嚙合的齒輪，其中某些剛度的敏感度與其相應(yīng)的模態(tài)應(yīng)變能對應(yīng)，接下來的分析可以驗(yàn)證這一現(xiàn)象。

4.1 行星輪系太陽輪與行星輪嚙合剛度敏感度

4.1.1 可調(diào)諧系統(tǒng)

對于耦合輪系振動(dòng)模態(tài)，系統(tǒng)的固有頻率均為單根，將公式（7）代入（3）、（4）式，并利用下式

可以得到單根情況下特征值敏感度的計(jì)算公式：

行星輪系統(tǒng)振動(dòng)模態(tài)中，特征值為重根，只考慮 λ1=λ2的情況，λ1′、λ2′為（5）式中矩陣 D 的特征值，將（7）式代入（5）式，得

在單級行星齒輪傳動(dòng)系統(tǒng)的平移（直齒）或徑向平移—扭擺（斜齒）振動(dòng)模態(tài)中但在本文研究的兩級人字齒行星傳動(dòng)系統(tǒng)中，此種情況不成立。而在N>3時(shí)才出現(xiàn)的、重?cái)?shù)為N-3的固有頻率振動(dòng)模態(tài)下，有λ1,2′在 N=4 和 N=5 的情況下才可以寫成（9）式的形式；N>5 時(shí)矩陣D的特征值很難求得封閉解，需采用數(shù)值方法。

對于星形輪系振動(dòng)模態(tài)，當(dāng)星輪個(gè)數(shù)M≤3時(shí)，特征值為單根，M>3時(shí)出現(xiàn)重?cái)?shù)為M-3的特征值，但無論對于單根特征值還是重根特征值，均有（行星輪系不振動(dòng)），所以，固有頻率對的敏感度均為零。

本文以大功率艦船用兩級人字齒行星齒輪傳動(dòng)系統(tǒng)為例（見表1），研究其固有頻率對的敏感度。

表1 系統(tǒng)參數(shù)表Tab.1 Model parameters of two stage double tooth planetary gear trains

4.1.2 不可調(diào)諧系統(tǒng)

在實(shí)際的行星齒輪傳動(dòng)中，由于行星輪的加工裝配誤差、與太陽輪接觸齒數(shù)的變化等因素的影響，使得各行星輪與太陽輪間的嚙合剛度產(chǎn)生差異，從而使整個(gè)系統(tǒng)變得不可調(diào)諧。所以，有必要研究非調(diào)諧情況下，行星輪與太陽輪嚙合剛度變化對系統(tǒng)模態(tài)特性的影響。假定只有第一個(gè)行星輪與太陽輪嚙合剛度發(fā)生變化，系統(tǒng)質(zhì)量矩陣和剛度矩陣對的導(dǎo)數(shù)為：

對于耦合輪系振動(dòng)模態(tài)，固有頻率均為單根，利用（3）、（4）式得特征值敏感度計(jì)算公式如下：

對于行星輪系振動(dòng)模態(tài)，系統(tǒng)固有頻率為重根，先考慮λ1=λ2的情況，選取任意的正交模態(tài)振型為Γ=［γ1,γ2］，符號表示在模態(tài)γi下太陽輪與第一個(gè)行星輪嚙合的彈簧變形量，這一定義類似于在模態(tài)φi下的太陽輪與行星輪嚙合的彈簧變形量（5）式中矩陣 D 及其特征值 （λ1′、λ2′）為

對于星形輪系振動(dòng)模態(tài)，第二級行星輪系無振動(dòng)，所以系統(tǒng)固有頻率對的敏感度均為零。

4.2 行星輪系行星輪與齒圈嚙合剛度敏感度

4.2.1 可調(diào)諧系統(tǒng)

使用4.1.1節(jié)中類似的方法，可以得到各振動(dòng)模態(tài)下固有頻率敏感度的計(jì)算公式，這里只給出耦合振動(dòng)模態(tài)下的計(jì)算公式：

4.2.2 不可調(diào)諧系統(tǒng)

特征值敏感度的計(jì)算分析方法與4.1.2節(jié)類似，這里不再給出具體的計(jì)算公式。

4.3 星形輪系嚙合剛度敏感度

星形輪系固有頻率對嚙合剛度的敏感度計(jì)算，類似于行星輪系，這里不再詳述。

系統(tǒng)固有頻率隨星形輪系太陽輪與星輪嚙合剛度的變化如圖9所示，從圖中可以看出的變化對耦合振動(dòng)模態(tài)固有頻率的影響最大，對行星輪系沒有影響。引入擾動(dòng)后的變化只對耦合振動(dòng)模態(tài)的固有頻率有影響，但影響明顯變?。▓D10）。引入?yún)?shù)后，系統(tǒng)無星形輪系振動(dòng)模態(tài)的變化只對耦合振動(dòng)模態(tài)的固有頻率有影響，但影響很?。▓D11）。

5 結(jié) 論

（1）利用兩級人字齒行星傳動(dòng)的振動(dòng)模態(tài)特性，對敏感度的計(jì)算公式進(jìn)行了簡化，并建立了敏感度與模態(tài)應(yīng)變能的關(guān)系；

（2）通過應(yīng)變能的變化反映出了固有頻率的變化趨勢，得到了各振動(dòng)模態(tài)中固有頻率隨系統(tǒng)各嚙合剛度的變化規(guī)律，從而為系統(tǒng)振動(dòng)的減小和結(jié)構(gòu)的優(yōu)化提供了重要的參考數(shù)據(jù)。

[1]Botman M.Epicyclic gear vibrations[J].ASME Journal of Engineering for Industry,1976,96:811-815.

[2]Cunliffe F,Smith J D,Welbourn D B.Dynamic tooth loads in epicyclic gears[J].ASME Journal of Engineering for Industry,1974,94:578-584.

[3]Kahraman A.Natural modes of planetary gear trains[J].Journal of Sound and Vibration,1994,173:125-130.

[4]Saada A,Velex P.An extended model for the analysis of the dynamic behavior of planetary trains[J].ASME Journal of Mechanical Design,1995,117:241-247.

[5]Lin J,Parker R G.Sensitivity of planetary gear natural frequencies and vibration modes to model parameters[J].Journal of Sound and Vibration,1999,228:109-128.