王迎光，譚家華

（上海交通大學(xué)船舶海洋與建筑工程學(xué)院，上海 200240）

1 引 言

船舶穩(wěn)性是指在外力作用下，船舶發(fā)生傾斜而不致傾覆，當(dāng)外力的作用消失后，仍能回復(fù)到原來平衡位置的能力，船舶的完整穩(wěn)性是指船舶在未破損狀態(tài)時(shí)的穩(wěn)性。船舶的完整穩(wěn)性是船舶的最重要的技術(shù)性能之一。為保證所設(shè)計(jì)的船舶有良好的完整穩(wěn)性，船舶工程師們通常都是要依據(jù)國際海事組織（IMO）制定的有關(guān)完整穩(wěn)性衡準(zhǔn)，即IMO的A.749（18）法案及其補(bǔ)充條款MSC.75（69）決議案。而IMO的A.749（18）法案主要又包含IMO在1968年的決議案A.167（ES.IV）的內(nèi)容以及它在1985年的決議案A.562（14）的內(nèi)容[1]。IMO基于對(duì)一些失事船舶的統(tǒng)計(jì)分析和船舶靜力學(xué)的原理，得出了為保證船舶完整穩(wěn)性的初穩(wěn)性高下限值和靜水中船舶扶正力臂曲線上幾個(gè)特定參數(shù)的下限值[1]，此即A.167（ES.IV）衡準(zhǔn)的內(nèi)容，可見A.167（ES.IV）幾乎是一個(gè)基于經(jīng)驗(yàn)的衡準(zhǔn)。此后為了把“在海途中影響船舶導(dǎo)致傾覆或不能接受的橫傾角的外力也考慮進(jìn)來”，IMO合并了已經(jīng)在幾個(gè)國家實(shí)施了的氣象衡準(zhǔn)而制定了A.562（14）決議案[3]。A.562（14）決議案雖然考慮了風(fēng)傾力矩和船舶橫搖角的影響，但是橫搖角幅度的計(jì)算和風(fēng)傾力矩的計(jì)算被大大地簡(jiǎn)化了，計(jì)算中忽視了非線性的影響，而且橫傾物理模型仍然是基于假定的在靜水中的扶正力矩曲線?？梢夾.562（14）決議案仍然是一個(gè)半經(jīng)驗(yàn)的衡準(zhǔn)。總之，現(xiàn)行的IMO完整穩(wěn)性衡準(zhǔn)并不是基于一個(gè)實(shí)際的物理模型，風(fēng)、浪作用的隨機(jī)性，船舶運(yùn)動(dòng)的非線性以及各自由度運(yùn)動(dòng)之間的耦合效應(yīng)等因素都幾乎沒被考慮進(jìn)來，因而依據(jù)這些衡準(zhǔn)設(shè)計(jì)的船舶的安全程度并不能被確切的量化[3]。同時(shí)這些衡準(zhǔn)并不能給設(shè)計(jì)者提示應(yīng)修改哪個(gè)船舶參數(shù)才能改進(jìn)設(shè)計(jì)[3]。因而國際海事組織提出了完整穩(wěn)性衡準(zhǔn)長(zhǎng)期的發(fā)展目標(biāo)是應(yīng)從這些約定俗成的規(guī)則（prescriptive rules）過渡到基于性能的理性規(guī)則（performance-based rational rules)[3]。即新衡準(zhǔn)應(yīng)建立在“基于第一原理分析”的基礎(chǔ)上[3]。

但是船舶在隨機(jī)海浪上傾覆卻是一個(gè)極其復(fù)雜的問題，雖然經(jīng)過了近幾個(gè)世紀(jì)時(shí)間的研究，人們?nèi)匀蝗狈?duì)傾覆現(xiàn)象的完全的數(shù)學(xué)描述和透徹的物理理解[4]。至今人們?cè)谔幚泶霸陔S機(jī)海浪上的傾覆問題時(shí)采用的“基于第一原理”的分析方法有時(shí)域仿真、邁爾尼科夫法和首次穿越理論等。本文將結(jié)合作者研究小組的工作來對(duì)國內(nèi)外這一領(lǐng)域內(nèi)的研究進(jìn)展做出綜述。

2 時(shí)域仿真

假定船寬、吃水與船長(zhǎng)相比是小量，并且將船舶視為一無阻尼轉(zhuǎn)動(dòng)振子，威廉姆-傅汝德（William Froude）推得了船舶在正弦橫浪中的橫搖運(yùn)動(dòng)表達(dá)式[5]，他的理論至今仍然是現(xiàn)代船舶在隨機(jī)海浪上傾覆研究的基礎(chǔ)。在十九世紀(jì)末，克雷羅夫（Alexei N.Krylov）延伸了傅汝德的上述理論，他根據(jù)波浪激勵(lì)的傅汝德克雷羅夫假定而建立了船舶六自由度振蕩運(yùn)動(dòng)的理論[6]。以下對(duì)基于上述思想的現(xiàn)代船舶運(yùn)動(dòng)理論作一簡(jiǎn)要介紹。

2.1 船舶運(yùn)動(dòng)微分方程的建立

船舶在不規(guī)則波中的響應(yīng)可被認(rèn)為是船舶在對(duì)應(yīng)于此特定不規(guī)則波譜范圍內(nèi)所有頻率的規(guī)則波中的響應(yīng)之和[7]。首先讓我們考慮一艘以定常速度U在規(guī)則正弦波中航行的船舶，船舶的航向角是任意的，在圖 1[8]中，（x,y,）z是一個(gè)對(duì)照船的平均位置而被固定的右手坐標(biāo)系，z軸通過船舶的重心而垂直向上，x的方向同船舶前進(jìn)的方向，坐標(biāo)系原點(diǎn)取在未受擾動(dòng)的自由表面平面內(nèi)。在海面上航行的不受約束力的船舶將產(chǎn)生六個(gè)自由度的運(yùn)動(dòng)，即船舶運(yùn)動(dòng)可被認(rèn)為是由三個(gè)平移成分（縱蕩、橫蕩和升沉）和三個(gè)轉(zhuǎn)動(dòng)成分（橫搖、縱搖和首尾搖）組成。在圖1中，令在x、y和z方向上的相對(duì)于坐標(biāo)原點(diǎn)的船舶平移位移分別為η1、η2和η3，那么 η1代表縱蕩位移，η2代表橫蕩位移，η3代表升沉位移。進(jìn)一步，令相對(duì)于x、y、z軸的角位移分別為 η4、η5和 η6，那么 η4代表橫搖角，η5代表縱搖角，η6代表首尾搖角。假定船舶的振蕩運(yùn)動(dòng)是線性的和諧和的，則可得到六個(gè)線性的和耦合的船舶運(yùn)動(dòng)微分方程。利用下標(biāo)記號(hào)，這六個(gè)船舶運(yùn)動(dòng)微分方程可被簡(jiǎn)寫為[9]：

其中Mjk是船舶的廣義質(zhì)量矩陣中的成分，Ajk是船舶的廣義附加質(zhì)量系數(shù)矩陣中的成分，Bjk是船舶的阻尼系數(shù)矩陣中的成分，Cjk是船舶的靜水復(fù)原力系數(shù)矩陣中的成分，F(xiàn)j是激勵(lì)力和力矩復(fù)數(shù)幅值，激勵(lì)力和力矩由的實(shí)部給出。F1代表縱蕩激勵(lì)力幅值，F(xiàn)2代表橫蕩激勵(lì)力幅值，F(xiàn)3代表升沉激勵(lì)力幅值，F(xiàn)4代表橫搖激勵(lì)力矩幅值，F(xiàn)5代表縱搖激勵(lì)力矩幅值，F(xiàn)6代表首尾搖激勵(lì)力矩幅值，以上諸力（力矩）又分別包括傅汝德-克雷羅夫力（力矩）和繞射力（力矩）兩部分。ω代表遭遇波浪頻率，這個(gè)頻率也等于響應(yīng)頻率。符號(hào)（·）代表對(duì)時(shí)間求導(dǎo)，因而η˙k代表速度項(xiàng)，η¨k代表加速度項(xiàng)。

在上述方程（1）中，附加質(zhì)量系數(shù)Ajk和阻尼系數(shù)Bjk可根據(jù)線性勢(shì)流理論求得，例如利用線性勢(shì)流理論求得的計(jì)算A44的公式為[9]：

利用線性勢(shì)流理論求得的計(jì)算B44的公式為[9]：

上述方程（2）和（3）中的積分是沿整個(gè)船長(zhǎng)進(jìn)行的。a44是船舶某一個(gè)兩維切片（在應(yīng)用線性切片理論時(shí)，假定將船舶沿船長(zhǎng)方向切成一定數(shù)目的薄片）的橫搖附加質(zhì)量系數(shù)，計(jì)算這個(gè)系數(shù)的方法將在下面介紹。b44是船舶某一個(gè)兩維切片的橫搖阻尼系數(shù)，計(jì)算這個(gè)系數(shù)的方法將在下面介紹。ξ是在x方向的積分變量。是船舶最后面的一個(gè)兩維切片的橫搖附加質(zhì)量系數(shù)是船舶最后面的一個(gè)兩維切片的橫搖阻尼系數(shù)代表粘性橫搖阻尼實(shí)際上是非線性的，但文獻(xiàn)[9]給出了其擬線性化的計(jì)算方法。

在方程（1）中，波浪激勵(lì)力或力矩也可根據(jù)線性勢(shì)流理論求得，例如利用線性勢(shì)流理論求得的計(jì)算橫搖激勵(lì)力矩幅值的公式為[9]：

其中兩維切片的傅汝德克雷羅夫“力”可按下式計(jì)算[9]:

兩維切片的繞射“力”可按下式計(jì)算[9]：

方程（4）到（6）中的數(shù)值積分是先沿切面Cx進(jìn)行，再沿整個(gè)船長(zhǎng)進(jìn)行的，Cx是船舶某一個(gè)兩維切片的外輪廓圍線，dl是Cx的方向元素，ξ是在x方向的積分變量。α是波浪幅值，ρ是流體的質(zhì)量密度，g是重力加速度，k 代表波數(shù)，β代表航向角（隨浪時(shí) β=0°），N2、N3和 N4是在（y-z）平面內(nèi)的兩維廣義法線，ψ4是船舶某一個(gè)兩維切片的兩維橫搖速度勢(shì)，下面將介紹求取ψ4、a44和b44的方法：

計(jì)算ψ4、a44和b44等兩維系數(shù)是船舶運(yùn)動(dòng)計(jì)算過程中最復(fù)雜和最耗時(shí)的，然而為了獲得有用的最終結(jié)果，精確計(jì)算這些兩維切片上的系數(shù)又是絕對(duì)必須的。數(shù)學(xué)上，計(jì)算這些兩維切片上的系數(shù)的問題被稱為混合邊界值問題，在船舶水動(dòng)力學(xué)中解決混合邊界值問題的一種最常用的方法是邊界積分法。在應(yīng)用邊界積分法時(shí)，先將某一船舶切片上的船舶橫剖線分成一系列直線段，然后在每一直線段上分布帶定常（但未知）強(qiáng)度的流體源，選擇單位源的勢(shì)函數(shù)的形式以便在自由表面和無窮遠(yuǎn)處的邊界條件被滿足，通過滿足在每一直線段的中點(diǎn)上的船體邊界條件而求得未知的源強(qiáng)。求得了源強(qiáng)以后，橫搖速度勢(shì)ψ4就可被求得，那么a44和b44可根據(jù)下列公式求出[8]：

請(qǐng)注意上式是通過復(fù)數(shù)的實(shí)部和虛部分別相等來求解的。邊界積分法的優(yōu)點(diǎn)是計(jì)算速度快，對(duì)船舶橫剖線近似的精度可通過多取直線段的辦法來提高，求得了ψ4、a44和b44等兩維系數(shù)以后，船舶的運(yùn)動(dòng)響應(yīng)和穩(wěn)性就可根據(jù)方程（1）到（6）求得。所謂的用時(shí)域仿真來研究船舶在隨機(jī)海浪上的穩(wěn)性，即是用四階龍格—庫塔法來對(duì)微分方程（1）進(jìn)行數(shù)值積分，并對(duì)求得的各響應(yīng)歷經(jīng)做統(tǒng)計(jì)處理。對(duì)一般情況下的橫穩(wěn)性研究來說，這種方法可生成兩種類型的結(jié)果：達(dá)致傾覆所需的平均時(shí)間；或在一特定時(shí)間段內(nèi)超過一特定橫搖角的概率。

2.2 國內(nèi)外對(duì)船舶在隨機(jī)海浪上的穩(wěn)性的時(shí)域仿真研究

加州大學(xué)的Paulling教授從上世紀(jì)八十年代開始進(jìn)行船舶在隨機(jī)海浪上的穩(wěn)性的時(shí)域仿真研究。他和其學(xué)生開發(fā)了一個(gè)數(shù)值模型來決定船舶在惡劣波浪狀況下（包括那些能導(dǎo)致傾覆的海況）的大幅值運(yùn)動(dòng)[10]。他們檢查了船舶大幅值運(yùn)動(dòng)方程中的各種力成分，并進(jìn)行了分析來決定橫搖響應(yīng)對(duì)這些力成分的變化的敏感度。McTaggart等人[11]提出了用時(shí)域仿真來決定給定海途和運(yùn)營(yíng)狀況下的船舶的傾覆危險(xiǎn)的一個(gè)有效方法，最大橫搖角對(duì)波浪過程的依賴度被通過以下方法建模：將一合適的分布擬合到由中等數(shù)量的仿真得出的各最大橫搖角上。通過一驅(qū)逐艦的實(shí)例計(jì)算顯示：龔貝爾分布可很好地?cái)M合到由不同波浪實(shí)現(xiàn)得到的各最大橫搖角上。De Kat等人[12]預(yù)報(bào)了船舶和近海平臺(tái)的極端運(yùn)動(dòng)和傾覆行為，他們仔細(xì)處理了數(shù)值建模的各個(gè)細(xì)節(jié)。De Kat等人[13]提出了一個(gè)對(duì)艦船進(jìn)行傾覆概率評(píng)估的方法，他們用時(shí)域仿真得到了極端橫搖角的短期和長(zhǎng)期統(tǒng)計(jì)分布。

近期王迎光等人[14-15]對(duì)用時(shí)域仿真分析海洋結(jié)構(gòu)物在隨機(jī)海浪上的極端響應(yīng)和穩(wěn)性的原理做了詳盡的闡述：即首先為海洋結(jié)構(gòu)物建立運(yùn)動(dòng)微分方程，并以有限數(shù)目的帶不同幅值頻率和隨機(jī)相位角的三角函數(shù)疊加來仿真隨機(jī)海浪[16-17]，接著可用四階龍格—庫塔法來對(duì)運(yùn)動(dòng)微分方程進(jìn)行數(shù)值積分，就可獲得該海洋結(jié)構(gòu)物位移響應(yīng)的一個(gè)時(shí)間歷經(jīng)，用同樣的方法可獲得該海洋結(jié)構(gòu)物位移響應(yīng)的一階導(dǎo)數(shù)的一個(gè)時(shí)間歷經(jīng)。將該海洋結(jié)構(gòu)物位移響應(yīng)的時(shí)間歷經(jīng)的足夠多次記錄的總體取均值可獲得結(jié)構(gòu)位移響應(yīng)的概率密度曲線，用同樣的方法可獲得該海洋結(jié)構(gòu)物位移響應(yīng)的一階導(dǎo)數(shù)的概率密度曲線，基于這些單個(gè)隨機(jī)變量的概率密度曲線的信息，響應(yīng)值與響應(yīng)值一階導(dǎo)數(shù)的聯(lián)合概率密度可被求得。接下來可由Rice公式求得結(jié)構(gòu)系統(tǒng)的響應(yīng)的跨越某一水準(zhǔn)的比率（向上水準(zhǔn)跨越率）。最后隨機(jī)激勵(lì)下海洋結(jié)構(gòu)物極端響應(yīng)的問題可用數(shù)學(xué)上隨機(jī)過程求極值的理論來處理[18-20]。王迎光等人[15，21]并用上述程序求得了一張力腿平臺(tái)在隨機(jī)海浪上的縱蕩響應(yīng)的向上水準(zhǔn)跨越率。

2.3 時(shí)域仿真的優(yōu)缺點(diǎn)

用時(shí)域仿真分析船舶在隨機(jī)海浪上的穩(wěn)性的原理上是十分簡(jiǎn)明的，執(zhí)行起來也很方便。而且顯見前幾節(jié)中的時(shí)域仿真的過程是一個(gè)基于“第一原理的”分析計(jì)算的過程。該方法分析的是一個(gè)現(xiàn)實(shí)的物理模型，它可將船舶本身的各個(gè)物理參數(shù)與船舶的完整穩(wěn)性表現(xiàn)關(guān)聯(lián)起來，因而可使得設(shè)計(jì)者直接得到改進(jìn)穩(wěn)性和優(yōu)化設(shè)計(jì)的具體方案。用時(shí)域仿真可方便靈活地處理復(fù)雜的非線性隨機(jī)問題，但處理在極端氣象下的極端運(yùn)動(dòng)的三維非線性水動(dòng)力/空氣動(dòng)力模型現(xiàn)在還沒有被擺上議事日程[3]。同時(shí)也需要國際上的合作來使時(shí)域仿真計(jì)算機(jī)軟件標(biāo)準(zhǔn)化，這一目標(biāo)顯然在短時(shí)期內(nèi)是難以達(dá)到的。

用時(shí)域仿真分析船舶在隨機(jī)海浪上的穩(wěn)性的另一缺點(diǎn)是耗時(shí)巨大，王迎光[22]也用計(jì)算實(shí)例對(duì)此做了定量的說明。我們都知道在對(duì)船舶運(yùn)動(dòng)微分方程進(jìn)行數(shù)值積分時(shí)，應(yīng)該給出在0時(shí)刻的運(yùn)動(dòng)位移和運(yùn)動(dòng)速度，即給出兩個(gè)運(yùn)動(dòng)的初始條件，另外還要給出積分的時(shí)間域。積分的時(shí)間域是可以指定的，例如激勵(lì)力特征周期的50倍，但運(yùn)動(dòng)的初始條件實(shí)際上確是千變?nèi)f化的。在一般情況下的橫穩(wěn)性分析時(shí)，對(duì)每一運(yùn)動(dòng)的初始條件都應(yīng)對(duì)運(yùn)動(dòng)方程進(jìn)行數(shù)值積分，直到船舶的橫搖角到達(dá)一預(yù)定的傾覆角。因而應(yīng)對(duì)運(yùn)動(dòng)方程進(jìn)行很多次數(shù)值積分（對(duì)應(yīng)于各個(gè)不同的運(yùn)動(dòng)初始條件）才能得到統(tǒng)計(jì)上有意義的“達(dá)致傾覆所需的平均時(shí)間”或“在一特定時(shí)間段內(nèi)超過一特定橫搖角的概率”。這勢(shì)必會(huì)耗費(fèi)大量的計(jì)算時(shí)間。

3 邁爾尼科夫法

國內(nèi)外的科研工作者為開發(fā)更高效的理性分析船舶穩(wěn)性的方法做出了不懈的努力，人們基于現(xiàn)代的非線性隨機(jī)動(dòng)力學(xué)理論，開發(fā)出了理性分析船舶動(dòng)態(tài)穩(wěn)性的邁爾尼科夫法（Melnikov method），并通過實(shí)船運(yùn)用和船模實(shí)驗(yàn)證明了邁爾尼科夫法的合理性。在一般情況下的橫穩(wěn)性分析時(shí)，邁爾尼科夫法并不直接求解船舶橫搖運(yùn)動(dòng)的非線性隨機(jī)微分方程，取而代之的是，邁爾尼科夫法專注于研究系統(tǒng)的質(zhì)的方面的行為（或者更精確地說，質(zhì)的方面不同的行為間的轉(zhuǎn)變）。邁爾尼科夫法的一個(gè)重要分析結(jié)果是邁爾尼科夫（Melnikov）函數(shù)，有關(guān)邁爾尼可夫理論的闡述可見Guckenheimer John和 Holmes Philip[23]，Wiggins[24]以及 Moon[25]等人各自的專著。邁爾尼可夫函數(shù)可以預(yù)報(bào)在一定種類系統(tǒng)中的混沌的產(chǎn)生，在存在混沌的情況下，質(zhì)的方面不同的行為的相位空間域（例如，船舶橫搖運(yùn)動(dòng)安全域和船舶傾覆域）可以從一個(gè)域（例如，船舶橫搖運(yùn)動(dòng)安全域）被傳輸?shù)搅硪粋€(gè)域（例如船舶傾覆域）,這將導(dǎo)致船舶意料外傾覆的發(fā)生。以下對(duì)邁爾尼科夫法的原理和公式作一簡(jiǎn)要介紹。

3.1 邁爾尼科夫法的原理和公式

在絕大多數(shù)情況下，船舶都是被設(shè)計(jì)成為左右對(duì)稱的,當(dāng)船舶左右對(duì)稱時(shí)，縱蕩與橫搖、升沉與橫搖、縱搖與橫搖之間的一階耦合均為零。但橫蕩與橫搖、首尾搖與橫搖之間的一階耦合卻不為零。在本研究中，首尾搖與橫搖之間的耦合被假定為小量，因而只需考慮橫蕩和橫搖之間的耦合。一般來講，因?yàn)橛凶枘?，橫搖和橫蕩運(yùn)動(dòng)是不能被解耦的，但在一些特殊的情況下，例如無阻尼或帶成比例阻尼的船舶，我們可以證明在這些情況下船舶將像一個(gè)單擺一樣繞一個(gè)橫搖中心橫搖，因而橫搖運(yùn)動(dòng)和橫蕩運(yùn)動(dòng)可被解耦。當(dāng)存在一般性的阻尼時(shí)，如果假定一個(gè)偽橫搖中心存在，則我們可獲得如下的帶非線性橫搖阻尼系數(shù)的單自由度橫搖運(yùn)動(dòng)微分方程[26]：

其中I4代表船舶質(zhì)量對(duì)于船舶縱軸的慣量系數(shù)，A42代表由船舶的單位橫蕩位移引起的在橫搖方向上的附加質(zhì)量系數(shù)，Rc是偽橫搖中心在船舶重心之上的距離。φ是橫搖角，符號(hào)（·）代表對(duì)時(shí)間求導(dǎo)。A44代表船舶附加質(zhì)量對(duì)于船舶縱軸的慣量系數(shù)，M代表船舶質(zhì)量系數(shù)，zc是船舶重心垂向高度，B44代表船舶在橫搖方向上的阻尼力矩系數(shù)，B24代表由船舶的單位橫搖角引起的在橫蕩方向上的阻尼力系數(shù)，A22代表船舶在橫蕩方向上的附加質(zhì)量系數(shù)，ω代表遭遇波浪頻率，Δ是船舶的排水量，GZm（φ）是非線性橫搖復(fù)原力臂的多項(xiàng)式近似。A是波浪幅值，F(xiàn)roll（ω）是每單位波浪幅值的激勵(lì)力矩，F(xiàn)roll（ω）可用一些商用的水動(dòng)力軟件求出。ψ是激勵(lì)力矩和入射波之間的參考相位角。ξ（t）是一個(gè)理想的、零均值和δ相關(guān)的高斯白噪聲，這個(gè)附加的高斯白噪聲近似了對(duì)外界諧和激勵(lì)力的隨機(jī)擾動(dòng)。這種做法在船舶初始設(shè)計(jì)階段是允許的，此時(shí)船舶的各個(gè)詳細(xì)參數(shù)還沒有被最后確定，還沒經(jīng)過詳細(xì)計(jì)算得出船舶的響應(yīng)幅值算子，或者還沒有進(jìn)行模型試驗(yàn)得出船舶的響應(yīng)幅值算子，用諧和激勵(lì)附加高斯白噪聲來近似實(shí)際的隨機(jī)波浪外激勵(lì)可快速地評(píng)價(jià)船舶的響應(yīng)和穩(wěn)性表現(xiàn)，以便提出改進(jìn)方案而進(jìn)入下一輪循環(huán)設(shè)計(jì)。

為研究船舶的動(dòng)態(tài)穩(wěn)性，一般的做法是用四階龍格—庫塔法來對(duì)微分方程（8）進(jìn)行數(shù)值積分，在求得了船舶橫搖運(yùn)動(dòng)的響應(yīng)的時(shí)間歷經(jīng)以后來與靜穩(wěn)性消失角或進(jìn)水角 （如果進(jìn)水角小于穩(wěn)性消失角的話）比較。在經(jīng)過很多次仿真以后，將所得到的結(jié)果進(jìn)行統(tǒng)計(jì)分析，從而找出帶規(guī)律性的結(jié)論。但是一個(gè)沒有經(jīng)驗(yàn)的仿真者可能會(huì)對(duì)微分方程（8）來進(jìn)行日復(fù)一日的數(shù)值積分，卻永遠(yuǎn)也發(fā)現(xiàn)不了其中最重要的或最關(guān)鍵的結(jié)論。

邁爾尼科夫法能夠?yàn)榇肮こ處煼治龃皠?dòng)態(tài)穩(wěn)性提供一條新的途徑，邁爾尼科夫法是建立在現(xiàn)代的非線性動(dòng)力學(xué)理論的基礎(chǔ)之上的。在用邁爾尼科夫法進(jìn)行船舶動(dòng)態(tài)穩(wěn)性分析的過程中得到的一個(gè)重要結(jié)果是邁爾尼科夫衡準(zhǔn)，在有些情況下，這個(gè)衡準(zhǔn)能將船舶設(shè)計(jì)參數(shù)（船舶靜穩(wěn)性臂曲線形狀和阻尼）和波浪特征參數(shù)以一個(gè)簡(jiǎn)單的解析公式聯(lián)系起來，這將極大地提高人們理性地分析船舶動(dòng)態(tài)穩(wěn)性的效率。即使是在有些情況下我們得不出邁爾尼科夫函數(shù)的解析表達(dá)式，我們也可以很直截了當(dāng)?shù)赜脭?shù)值方法來求解此函數(shù)。為了方便地應(yīng)用邁爾尼科夫分析，我們先將方程（8）寫成如下無因次形式[27]：

請(qǐng)注意在方程（9）中我們重新取了一個(gè)以船舶諧搖頻率ωn表示的比例時(shí)間τ，方程（9）中的求導(dǎo)是對(duì)時(shí)間τ而言的，在變換過程中我們將方程（8）兩邊同除了［I44′＋A44′（ω）］，而且非線性橫搖復(fù)原力臂取了Thompson的α-參數(shù)族復(fù)原力函數(shù)[27]。方程（9）中的c、f是在代數(shù)推導(dǎo)過程中得到的中間系數(shù)，〈η（τ）〉＝0，〈η（τ′）η（τ）〉＝kδ（τ′- τ） ，δ（…）是狄拉克 δ函數(shù)，k代表高斯白噪聲強(qiáng)度。 請(qǐng)注意，這里不失一般性我們?nèi)×甩?0。用統(tǒng)計(jì)線性化的辦法對(duì)平方阻尼項(xiàng)進(jìn)行等效線性化，方程（9）可被簡(jiǎn)化為：

近期王迎光等人[28]對(duì)用邁爾尼科夫法分析船舶動(dòng)態(tài)穩(wěn)性的原理做了詳盡的闡述，介紹了邁爾尼科夫法對(duì)船舶意料外傾覆機(jī)理的解釋，指出為了避免船舶意料外傾覆則邁爾尼科夫函數(shù)不應(yīng)該有簡(jiǎn)單零點(diǎn)。如果邁爾尼科夫函數(shù)無簡(jiǎn)單零點(diǎn)，穩(wěn)定流形和不穩(wěn)定流形將不橫向相交，異宿纏結(jié)將不會(huì)生成。因而跨越偽分界線的相位空間傳輸將不能實(shí)現(xiàn)，船舶意料外傾覆將不會(huì)發(fā)生，王迎光等人[28]推導(dǎo)得出了下述船舶在隨機(jī)激勵(lì)下大幅值混沌橫搖運(yùn)動(dòng)響應(yīng)的邁爾尼科夫衡準(zhǔn)，該衡準(zhǔn)以參數(shù)f，Ω，β，α和k表示如下[28]：

當(dāng)方程（11）中的等式成立時(shí)就可獲得混沌橫搖運(yùn)動(dòng)的臨界面的均方值表達(dá)式。

3.2 國內(nèi)外對(duì)邁爾尼科夫法分析船舶穩(wěn)性的已有研究

Makoto Kan等人[29-32]的船模實(shí)驗(yàn)在邁爾尼科夫法的早期發(fā)展過程中起了很大的促進(jìn)作用。實(shí)驗(yàn)的對(duì)象是一條135m長(zhǎng)的集裝箱船（模型船長(zhǎng)3.5m），實(shí)驗(yàn)在日本船舶技術(shù)研究所的80m×80m的方形水池中進(jìn)行，在總共763次在不規(guī)則波和規(guī)則波的運(yùn)行中，發(fā)現(xiàn)了225次傾覆，而且發(fā)現(xiàn)其中25%的傾覆是與倍周期分叉（period doubling bifurcation)現(xiàn)象聯(lián)系的，根據(jù)非線性動(dòng)力學(xué)理論，出現(xiàn)倍周期分叉現(xiàn)象是系統(tǒng)中產(chǎn)生混沌的前奏，同樣根據(jù)非線性動(dòng)力學(xué)理論，邁爾尼可夫函數(shù)可以預(yù)報(bào)在一定種類系統(tǒng)中的混沌的產(chǎn)生，這即從實(shí)驗(yàn)和理論上證明了用邁爾尼可夫法預(yù)報(bào)船舶傾覆行為的可行性。Makoto Kan等人[29-32]進(jìn)一步也進(jìn)行了極大數(shù)量的仿真來預(yù)報(bào)船舶的傾覆行為，并與邁爾尼可夫法預(yù)報(bào)的結(jié)果作了比對(duì)，同樣發(fā)現(xiàn)邁爾尼可夫解析分析可以被用來作為傾覆衡準(zhǔn)（criteria for capsizing)。

Falzarano等人[33-34]用邁爾尼可夫法研究了一艘小漁船（Patti-B）的瞬態(tài)橫搖運(yùn)動(dòng)，這是一條傾覆過兩次的漁船，船長(zhǎng)22.9m。它的第一次傾覆發(fā)生在靠近海岸附近，當(dāng)時(shí)它被人們救起了。時(shí)隔兩年以后，它在遠(yuǎn)離海岸處發(fā)生了第二次傾覆，永遠(yuǎn)沉沒了。在設(shè)計(jì)過程中進(jìn)行穩(wěn)性計(jì)算時(shí)，發(fā)現(xiàn)這艘漁輪的穩(wěn)性是超出了規(guī)范要求的衡準(zhǔn)值的。這是一個(gè)典型的發(fā)生船舶意料外傾覆的例子，F(xiàn)alzarano等人在事后研究中認(rèn)為Patti-B漁船的傾覆是與現(xiàn)行靜穩(wěn)性衡準(zhǔn)還沒有考慮到的一些動(dòng)態(tài)效應(yīng)有關(guān)的，他們?cè)谑潞笱芯恐袑?dǎo)得了該船的橫搖運(yùn)動(dòng)微分方程，并根據(jù)某線性水動(dòng)力軟件計(jì)算得到了該漁輪運(yùn)動(dòng)方程中的各水動(dòng)力參數(shù)，接著通過重取一個(gè)比例時(shí)間將該船的橫搖運(yùn)動(dòng)微分方程化成了無因次形式的。他們接著用邁爾尼可夫法和相位空間傳輸理論對(duì)該漁輪的意料外傾覆機(jī)理做了解釋，在導(dǎo)得該漁輪的邁爾尼可夫衡準(zhǔn)公式后，計(jì)算得到了導(dǎo)致該漁輪傾覆的臨界波浪橫搖激勵(lì)力矩值和臨界波高值。

Hsien，Shang-Rou等人[35]用一單自由度橫搖模型來研究船舶在隨機(jī)海浪中的傾覆問題。他們?cè)诜治鲋锌紤]了海浪譜，非線性復(fù)原力矩特性和非線性阻尼等幾個(gè)因素。通過邁爾尼可夫函數(shù)，相位空間面積通量和隨機(jī)振動(dòng)的結(jié)合而開發(fā)了一套非線性概率法。獲得了用有義波高、波浪特征周期、阻尼和剛度系數(shù)表達(dá)的發(fā)生船舶傾覆的條件,他們?cè)谘芯恐凶C明了邁爾尼科夫解析解的有效性。Bikdash等人[36]用邁爾尼科夫法的觀點(diǎn)檢查了船舶橫搖平方型和立方型非線性阻尼系數(shù)之間的等效性。Lin Huan等人[26]開發(fā)了一套基于均方值的隨機(jī)邁爾尼可夫法來研究船舶在隨機(jī)激勵(lì)下的傾覆問題，但他們的運(yùn)動(dòng)方程中的復(fù)原力矩都是對(duì)稱型式的。

密歇根大學(xué)的船舶科研人員Jiang等人[37-38]用隨機(jī)邁爾尼可夫法（Stochastic Melnikov method）研究了船舶在隨機(jī)海浪中的強(qiáng)非線性橫搖運(yùn)動(dòng)和傾覆問題，他們考慮了船舶有初始橫傾的影響。在他們的研究中，他們應(yīng)用了非線性動(dòng)力系統(tǒng)分析的最新發(fā)展。Jiang等人[38]在未受擾動(dòng)系統(tǒng)模型的相平面內(nèi)定義了安全域和不安全域來區(qū)分本質(zhì)上不同的船舶傾覆運(yùn)動(dòng)和非傾覆運(yùn)動(dòng)。當(dāng)系統(tǒng)的解逸出安全域時(shí)就代表了傾覆的發(fā)生，Jiang等人[38]用邁爾尼科夫（Melnikov）函數(shù)和相流率的概念研究了出現(xiàn)這種解的概率，他們的研究顯示這些解析工具能夠提供有關(guān)船舶在一給定海況下傾覆的可靠的、有預(yù)見性的信息。Jiang等人[38]在研究中同時(shí)指出：蠻力仿真（brute force simulation,雖然字面上這樣翻譯，但并無貶義，這是學(xué)術(shù)界對(duì)仿真直截了當(dāng)?shù)靥幚韱栴}的一種形象描述）只能作為理性分析方法的輔助工具，卻永遠(yuǎn)也替代不了理性分析方法。

Chen[39-42]通過詳細(xì)的數(shù)學(xué)推演和將變量數(shù)降低，將邁爾尼可夫法成功地應(yīng)用于船舶的多自由度非線性運(yùn)動(dòng)問題。

Thompson在其綜述文獻(xiàn)[27]中指出：邁爾尼可夫曲線總能很好的估計(jì)傾覆（稍微有點(diǎn)保守）。Scolan[43]討論了用邁爾尼可夫法研究帶高階多項(xiàng)式復(fù)原力矩的船舶橫搖的可行性。邁爾尼可夫法被逐漸應(yīng)用于一些更復(fù)雜的橫搖數(shù)學(xué)模型，Jiang等人[44]在2000年應(yīng)用邁爾尼可夫法時(shí)考慮了流體動(dòng)力的記憶效果，使得所考慮的動(dòng)力系統(tǒng)有無窮維。Spyron等人[45]對(duì)2000年以前邁爾尼可夫法的重要進(jìn)展應(yīng)用作了回顧。Spyrou等人[46]利用邁爾尼科夫法來評(píng)估了橫浪中一帶橫搖初始傾斜的船舶的安全性，他們獲得了表征傾覆性和將臨界波傾、橫傾量和阻尼聯(lián)系起來的閉合型關(guān)系式，在他們的研究中邁爾尼科夫公式的精確性得到了驗(yàn)證。McCue[47]指出了將邁爾尼科夫法與實(shí)驗(yàn)法聯(lián)合應(yīng)用來處理非常規(guī)船型和高性能船舶穩(wěn)性的前景。近期Spyrou[48]利用邁爾尼科夫法來研究了隨浪中船舶的非對(duì)稱縱蕩問題。

值得注意的是國內(nèi)的科研人員也在將邁爾尼科夫法積極地運(yùn)用到船舶穩(wěn)性的研究中，例如上海交通大學(xué)的沈棟[49-50]在隨機(jī)橫浪作用下船舶傾覆概率的研究中就曾采用過邁爾尼科夫法。紀(jì)剛等人[51]運(yùn)用安全池理論計(jì)算了船舶穩(wěn)性，安全池在一定條件下將發(fā)生破損，此時(shí)船舶極易傾覆，他們用邁爾尼科夫法導(dǎo)出安全池破損的條件，以某型船舶為例，計(jì)算了該船舶安全池破損的閾值，對(duì)五個(gè)海況進(jìn)行了安全性校核，并與現(xiàn)行規(guī)范采用的極限載荷法進(jìn)行了比較，通過數(shù)值仿真繪制了各參數(shù)條件下的安全池。袁遠(yuǎn)等人[52]用邁爾尼科夫法研究了船舶在規(guī)則波中的傾覆。袁遠(yuǎn)等人[53]隨后用邁爾尼科夫法研究了船舶在隨機(jī)橫浪中的傾覆，他們應(yīng)用非線性隨機(jī)動(dòng)力系統(tǒng)理論，從系統(tǒng)穩(wěn)定性的角度來分析船舶在隨機(jī)橫浪上的運(yùn)動(dòng)穩(wěn)定性，籍此來研究隨機(jī)海浪中船舶傾覆的機(jī)理。他們的研究發(fā)現(xiàn)隨機(jī)動(dòng)力系統(tǒng)的全局分岔是導(dǎo)致系統(tǒng)失穩(wěn)并導(dǎo)致船舶傾覆的一種途徑，基于這一思路借助隨機(jī)邁爾尼科夫法，通過求取相流函數(shù)零點(diǎn)得到了船舶運(yùn)動(dòng)全局穩(wěn)定性喪失時(shí)海浪條件的閾值，從而可以對(duì)船舶的抗傾覆能力做出定量的考察。金咸定等人[54]基于非線性動(dòng)力學(xué)理論，以系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)的全局分岔為出發(fā)點(diǎn)，來探索在規(guī)則橫浪中船舶傾覆的機(jī)理，應(yīng)用邁爾尼科夫法，通過構(gòu)造船舶運(yùn)動(dòng)的邁爾尼科夫函數(shù)來獲得導(dǎo)致船舶傾覆的海浪條件的閾值，從而對(duì)船舶的安全營(yíng)運(yùn)起到一定的指導(dǎo)作用。為了解決解析分析邁爾尼科夫函數(shù)的難題，他們?cè)谘芯恐羞€提出了便于工程分析應(yīng)用的邁爾尼科夫函數(shù)的數(shù)值算法。唐友剛等人[55]應(yīng)用邁爾尼科夫函數(shù)和相空間轉(zhuǎn)移率研究船舶在隨機(jī)波浪中的強(qiáng)非線性橫搖運(yùn)動(dòng)及其傾覆問題，分析了波浪特征頻率、特征波高、船舶非線性復(fù)原力臂以及阻尼特性對(duì)相空間轉(zhuǎn)移率的影響。以長(zhǎng)30.7m、寬6.9m的漁船為例，采用ISSC波浪譜，在時(shí)域內(nèi)計(jì)算了邁爾尼科夫函數(shù)，得到了相空間轉(zhuǎn)移率與邁爾尼科夫函數(shù)之間的關(guān)系以及有義波高對(duì)相空間轉(zhuǎn)移率的影響，他們的研究表明：隨著有義波高增大，相空間轉(zhuǎn)移率不斷增大，船舶航行的安全域迅速減小。從而揭示了相空間轉(zhuǎn)移率與船舶傾覆的內(nèi)在密切聯(lián)系，為船舶的設(shè)計(jì)和穩(wěn)性衡準(zhǔn)提供了有價(jià)值的參考。劉利琴等人[56]綜述了國內(nèi)采用非線性動(dòng)力學(xué)理論和方法研究船舶運(yùn)動(dòng)的復(fù)雜動(dòng)力學(xué)行為方面的進(jìn)展，特別總結(jié)了在船舶非線性耦合運(yùn)動(dòng)、橫浪運(yùn)動(dòng)、縱浪上參數(shù)激勵(lì)運(yùn)動(dòng)和波浪上參數(shù)與波浪聯(lián)合激勵(lì)運(yùn)動(dòng)方面的研究現(xiàn)狀及取得的主要成果，介紹了船舶在隨機(jī)橫風(fēng)橫浪中安全池的分析方法及采用邁爾尼科夫法研究船舶傾覆運(yùn)動(dòng)特性取得的進(jìn)展。浦金云等人[57]系統(tǒng)地分析了具有淹水艙的艦船在波浪中橫搖運(yùn)動(dòng)時(shí)船和艙內(nèi)水的能量耦合作用,根據(jù)拉格朗日方程建立了具有淹水艙的艦船橫搖運(yùn)動(dòng)兩自由度微分方程，并在此基礎(chǔ)上，用邁爾尼科夫法對(duì)某實(shí)船破損進(jìn)水后的橫搖運(yùn)動(dòng)進(jìn)行了非線性分析，驗(yàn)證了所建模型的實(shí)用性，為進(jìn)一步分析破損進(jìn)水艦船在風(fēng)浪中的橫搖運(yùn)動(dòng)特性提供了可行的數(shù)學(xué)模型。

3.3 應(yīng)用邁爾尼可夫法時(shí)應(yīng)注意的問題

我們注意到在推導(dǎo)邁爾尼科夫衡準(zhǔn)公式（11）時(shí)只考慮了橫搖和橫蕩運(yùn)動(dòng)，這也就是說在用已有的邁爾尼科夫衡準(zhǔn)作實(shí)例分析時(shí)只研究了船舶的橫穩(wěn)性。因?yàn)樗械拇岸贾饕窃跈M向傾覆[58]，用邁爾尼科夫分析就可以輔助處理初始設(shè)計(jì)階段大多數(shù)的船舶穩(wěn)性問題。但是船舶的隨浪穩(wěn)性問題目前也在引起人們的注意，用邁爾尼科夫解析分析來處理此類問題看來是有局限的[48]，因?yàn)樵跀?shù)學(xué)建模時(shí)要包含作用于船上的載荷的過多細(xì)節(jié)[48]。

4 首次穿越理論

4.1 國內(nèi)外對(duì)用首次穿越理論分析船舶穩(wěn)性的已有研究

研究船舶在隨機(jī)海浪中的穩(wěn)性和傾覆問題的另一方法是利用隨機(jī)結(jié)構(gòu)動(dòng)力學(xué)中的首次穿越（first passage）理論。目前對(duì)于首次穿越問題只有基于馬爾科夫（Markov）隨機(jī)過程的一階問題才有解。文獻(xiàn)[59]的作者研究了由諧和和白噪聲聯(lián)合激勵(lì)的非線性振蕩系統(tǒng)的首次穿越時(shí)間。他們首先用隨機(jī)平均法將系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)方程降階為一組伊藤（It?）隨機(jī)微分方程，接著建立了控制條件可靠性函數(shù)的后向科馬格諾夫（Kolmogorov）方程和一組控制首次穿越時(shí)間條件矩的廣義龐垂亞根（Pontryagin）方程。最后通過解帶適當(dāng)?shù)某跏己瓦吔鐥l件的后向Kolmogorov方程和廣義Pontryagin方程獲得了條件可靠性函數(shù)和首次穿越時(shí)間的條件概率密度和條件矩。他們用數(shù)值仿真驗(yàn)證了其解析解。以上即是解決首次穿越問題的一般步驟。已故英國學(xué)者Roberts[60-64]不但對(duì)首次穿越理論的發(fā)展貢獻(xiàn)頗多，而且首先應(yīng)用首次穿越理論來進(jìn)行船舶在隨機(jī)海浪中的橫搖和傾覆研究。他[65-67]首先采用基于能量包線的隨機(jī)平均法來預(yù)報(bào)受不規(guī)則波激勵(lì)的船舶和運(yùn)輸駁船的橫搖響應(yīng)的平均首次穿越時(shí)間，基于能量包線的隨機(jī)平均法并不受外激勵(lì)水平高低的限制。但是應(yīng)該指出文獻(xiàn)[65]、[66]和[67]研究的重點(diǎn)是開發(fā)船舶橫搖運(yùn)動(dòng)的隨機(jī)理論，有關(guān)船舶穩(wěn)性的首次穿越理論并沒有被完整地系統(tǒng)地闡述出來，所提供的計(jì)算的例子也太過于簡(jiǎn)化。近期王迎光等人[68]在Roberts的初步工作的基礎(chǔ)上做了進(jìn)一步的研究，他們利用一組基于廣義諧和函數(shù)的變換首先將船舶橫搖方程降階為一組一階隨機(jī)微分方程，接著利用一個(gè)新的隨機(jī)平均程序獲得了幅值過程微分方程的平均漂移和擴(kuò)散系數(shù)的閉合形表達(dá)式，接下來建立了控制橫搖幅值過程平均首次穿越時(shí)間的Pontryagin-Vitt方程。推導(dǎo)了Pontryagin-Vitt方程的兩個(gè)邊界條件，通過數(shù)值求解該邊界值問題獲得了平均首次穿越時(shí)間和首次穿越概率值。他們還首次研究了非線性阻尼系數(shù)對(duì)平均首次穿越時(shí)間的影響。

Cai等人[69-70]采用基于能量包線的隨機(jī)平均法研究了在隨機(jī)海浪中遭受外激和參激聯(lián)合作用的船舶的首次穿越問題。Yim[71]等人在2005年研究了一艘駁船的非線性耦合運(yùn)動(dòng)，建立了一個(gè)擬二自由度隨機(jī)模型，并進(jìn)行了在隨機(jī)海浪中的穩(wěn)性分析。由于非線性橫搖和升沉運(yùn)動(dòng)的耦合效應(yīng)是明顯的，通過利用觀測(cè)到的升沉幅值試驗(yàn)測(cè)量結(jié)果和波浪高程的強(qiáng)依賴性，他們將二自由度橫搖升沉模型中的升沉值表示為波高的函數(shù)，因而開發(fā)了一個(gè)精確和有效的擬二自由度模型。利用此擬二自由度模型基于首次穿越時(shí)間公式對(duì)此駁船進(jìn)行了隨機(jī)穩(wěn)性分析。根據(jù)美國海軍制定的運(yùn)營(yíng)和生存海況（1到9級(jí)），結(jié)果顯示在7級(jí)以上海況運(yùn)營(yíng)時(shí)，該駁船的可靠性顯著降低。

4.2 應(yīng)用首次穿越理論時(shí)應(yīng)注意的問題

建立在馬爾科夫擴(kuò)散過程理論和隨機(jī)平均法之上的首次穿越理論是很嚴(yán)密和精深的，將其應(yīng)用于船舶在隨機(jī)海浪上的穩(wěn)性和傾覆預(yù)報(bào)可以說是一種非常積極和有意義的探索。但是對(duì)首次穿越理論本身的理解和將理論應(yīng)用于具體問題都是有相當(dāng)難度的，尤其是要達(dá)到使工業(yè)界的船舶工程師能理解這套理論并應(yīng)用于日常的設(shè)計(jì)實(shí)踐中難度將更大，因而還需船舶教學(xué)和科研工作者們繼續(xù)為此做出不懈的努力。

5 研究展望

在新概念船型的初始開發(fā)過程中，特別是一些高性能特殊船型和一些軍用的高速艦船的初始開發(fā)設(shè)計(jì)中，穩(wěn)性問題將是一個(gè)突出的問題，因?yàn)楝F(xiàn)行的穩(wěn)性規(guī)范衡準(zhǔn)僅在應(yīng)用于普通常規(guī)船型時(shí)才是可靠的，在這方面，邁爾尼科夫分析可被用作為一個(gè)分析船舶動(dòng)態(tài)穩(wěn)性的高效的輔助工具。筆者認(rèn)為諸如此類的針對(duì)邁爾尼科夫法的應(yīng)用研究是很值得進(jìn)行的。另外，在一些用邁爾尼科夫解析分析來處理有局限的問題上，例如船舶的隨浪穩(wěn)性問題，是否可將邁爾尼科夫法和時(shí)域仿真配合起來使用？即先用邁爾尼科夫分析縮小應(yīng)研究的船舶初始條件和控制參數(shù)的范圍，然后再有針對(duì)性地進(jìn)行時(shí)域仿真，這將大大提高時(shí)域仿真的效率，作者認(rèn)為在這方面也值得進(jìn)行進(jìn)一步的研究。

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