李德榮，何莉敏

（內(nèi)蒙古科技大學(xué) 數(shù)理與生物工程學(xué)院，內(nèi)蒙古 包頭 014010）

牛頓法在隱函數(shù)中的應(yīng)用

李德榮，何莉敏

（內(nèi)蒙古科技大學(xué) 數(shù)理與生物工程學(xué)院，內(nèi)蒙古 包頭 014010）

牛頓法是求非線性方程根的一種非常重要的方法，它還可以用來求非線性方程組的根等，但是牛頓法在隱函數(shù)中的應(yīng)用卻鮮為人知.本文給出牛頓法在隱函數(shù)中的應(yīng)用，當(dāng)x給定時(shí)，如何來求對(duì)應(yīng)的滿足精度要求的y值.

牛頓法；隱函數(shù)；迭代

眾所周知，牛頓法的應(yīng)用非常廣泛，它可以用來求非線性方程的單根、重根，非線性方程組的根等，但是牛頓法在隱函數(shù)中的應(yīng)用卻鮮為人知.下面我們就來討論牛頓法在隱函數(shù)中的應(yīng)用.

1 牛頓法簡(jiǎn)述

設(shè)xk是方程f(x)=0的一個(gè)近似根，把f(x)在xk處進(jìn)行泰勒展開有：

從而，將方程近似的轉(zhuǎn)化為：f(xk)+f(xk)(x-xk)=0

2 隱函數(shù)定理

3 牛頓法在隱函數(shù)中的應(yīng)用

根據(jù)上述的隱函數(shù)定理，我們知道在相當(dāng)一般的條件下，方程F(x,y)=0定義了y作為x的一個(gè)函數(shù)是存在的.那么，在應(yīng)用中我們經(jīng)常遇到的問題是，對(duì)隱函數(shù)F(x,y)，當(dāng)x給定時(shí)，如何來求y的值.如果是顯函數(shù)的話，給定x，代到函數(shù)中直接可得到函數(shù)值y.當(dāng)是隱函數(shù)的時(shí)候，我們就可以用牛頓法來求y的值.根據(jù)牛頓公式，將其改進(jìn)為：

因此，當(dāng)x給定時(shí)，就可得到y(tǒng)1,y2,…，從而，就可以得到滿足精度的y值.如果，我們已經(jīng)得到一對(duì)值(xn,yn)，使得F(xn,yn)=0，我們希望得到xn附近xn+1對(duì)應(yīng)的值yn+1，則由(xn+1,yn)開始進(jìn)行牛頓迭代.因?yàn)镕(xn,yn)=0并且xn+1接近于xn，所以我們希望F(xn+1,yn)較小且很少的幾步迭代就能對(duì)yn進(jìn)行必要的校正，從而得到滿足精度要求的yn+1的值.

例 建立一個(gè)x與y相對(duì)應(yīng)的表，這里y被定義為x的一個(gè)隱函數(shù).利用F(x,y)=3x7+2y5-x3+y3-3且從x=0開始，以0.1為步長(zhǎng)，依次進(jìn)行到x=10為止.

解 從 x=0開始，且當(dāng) x=0時(shí)，y=1.所以設(shè) x0=0，y0=1，接下來求當(dāng)x1=-.1時(shí)，y1的值.迭代從(x1,y0)開始，利用所給公式應(yīng)有進(jìn)行迭代，取 y=y，即：1,00(x1,y1,0)代入x1=0.1，y1,0=1依次進(jìn)行4步迭代后有y1,4=1.0000077，所以求得y2=y1,4=1.0000077.利用同樣的方法，可以求得x2=0.2時(shí)對(duì)應(yīng)的y2的值，令y1=y2,0，迭代公式為：

將上述算法還可以編程上機(jī)進(jìn)行運(yùn)算.

〔1〕David Kincaid Ward Cheney.數(shù)值分析[M]．湖北廣播電視大學(xué)學(xué)報(bào)，2005：63-67.

〔2〕李有法，李曉勤.數(shù)值計(jì)算方法（第 2 版）[M].北京：高等教育出版社，2005：21-28.

〔3〕李慶揚(yáng)，王能超，易大義.數(shù)值分析（第 4 版）[M].清華大學(xué)出版社，施普林格出版社，2006:276-282.

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