李仲飛,李克勉

其中ε∈(0,1)是給定的VaR風(fēng)險(xiǎn)控制參數(shù)。將VaR的表達(dá)式(2.15)代入上式,可得投資策略的VaR約束集為:

動(dòng)態(tài)VaR約束下帶隨機(jī)波動(dòng)的衍生證券最優(yōu)投資策略＊

李仲飛,李克勉

該文研究了連續(xù)時(shí)間經(jīng)濟(jì)下投資者受動(dòng)態(tài)VaR約束時(shí)做出的債券、股票和衍生證券最優(yōu)投資組合策略。金融市場(chǎng)上同時(shí)存在股票價(jià)格的擴(kuò)散風(fēng)險(xiǎn)和波動(dòng)風(fēng)險(xiǎn),衍生證券的價(jià)格不僅依賴于標(biāo)的股票的價(jià)格,還依賴于標(biāo)的股票的波動(dòng),因此借助風(fēng)險(xiǎn)控制的思想對(duì)這類風(fēng)險(xiǎn)較大的衍生證券的投資行為進(jìn)行有效約束是很有必要的。文章通過(guò)將隨機(jī)控制問(wèn)題轉(zhuǎn)化為確定控制問(wèn)題得到了該最優(yōu)化問(wèn)題的解析解,在理論上借助一些數(shù)值例子分析了動(dòng)態(tài)VaR約束如何對(duì)衍生證券的投資策略產(chǎn)生影響以及加入這樣的風(fēng)險(xiǎn)約束與不進(jìn)行風(fēng)險(xiǎn)約束相比投資策略發(fā)生的變化

隨機(jī)波動(dòng);衍生證券;VaR;風(fēng)險(xiǎn)約束;投資策略

一、引言

本文研究的問(wèn)題是在連續(xù)時(shí)間情形下投資者考慮動(dòng)態(tài)(Value-at-Risk,簡(jiǎn)稱VaR)約束時(shí),如何做出債券、股票和衍生證券的最優(yōu)投資組合決策,以期實(shí)現(xiàn)投資者在投資期限結(jié)束時(shí)財(cái)富的期望效用達(dá)到最大的目標(biāo)。本文在莫頓(Merton,1971)經(jīng)典的連續(xù)時(shí)間投資組合模型基礎(chǔ)上加入以股票為標(biāo)的的資產(chǎn)的衍生證券,并且假設(shè)股票的波動(dòng)服從均值-回歸(Mean-Reverting)的隨機(jī)過(guò)程;同時(shí),投資者還必須動(dòng)態(tài)地受到VaR約束,使得投資者的財(cái)富損失程度隨時(shí)控制在一定的可容忍范圍內(nèi),這更能反映投資者進(jìn)行投資風(fēng)險(xiǎn)管理的現(xiàn)實(shí)心態(tài)。以下是一些文獻(xiàn)的回顧。

布萊克和舒爾茨(Black and Scholes,1973)建立的經(jīng)典歐式期權(quán)定價(jià)模型是基于一系列假設(shè)條件才成立的,其中一條便是假定標(biāo)的股票的波動(dòng)率為常數(shù)。然而一些文獻(xiàn),如魯賓斯坦(Rubinstein,1985)、亞克維特和魯賓斯坦(Jackwerth and Rubinstein,1996)等通過(guò)實(shí)證研究比較了歐式期權(quán)的Black-Scholes理論價(jià)格與其市場(chǎng)交易價(jià)格的差異,發(fā)現(xiàn)標(biāo)的股票的波動(dòng)率呈現(xiàn)某種“隨機(jī)”性質(zhì),其隱含波動(dòng)率隨行權(quán)價(jià)格呈“微笑(Smile)”特征。于是將波動(dòng)率設(shè)定為隨機(jī)形式進(jìn)行研究的文獻(xiàn)層出不窮,如赫爾和懷特(Hull and White,1987)的對(duì)數(shù)正態(tài)過(guò)程,斯科特(Scott,1987)、斯特恩和斯特恩(Stein and Stein,1991)的奧恩斯坦-烏倫貝克(Ornstein-Uhlenbeck,簡(jiǎn)稱OU)過(guò)程,以及赫斯頓(Heston,1993)、鮑爾和羅瑪(Ball和Roma,1994)的考克斯-英格索爾-羅斯(Cox-Ingersoll-Ross,簡(jiǎn)稱CIR)過(guò)程。除對(duì)數(shù)正態(tài)過(guò)程外,OU及CIR均為均值-回歸過(guò)程。因此當(dāng)標(biāo)的股票的波動(dòng)率呈現(xiàn)隨機(jī)性時(shí),Black-Scholes定價(jià)公式便不再成立。

西爾卡和帕帕尼科拉烏(Sircar and Papanicolaou,1999)根據(jù)無(wú)套利均衡的定價(jià)原則,給出了當(dāng)波動(dòng)率服從馬爾科夫伊藤(It?)過(guò)程時(shí)歐式衍生證券的定價(jià)形式,該衍生證券的價(jià)格同時(shí)跟標(biāo)的股票的價(jià)格和波動(dòng)相關(guān),在到期日的支付(Payoff)根據(jù)衍生品種類的不同而不同。劉和潘(Liu and Pan,2003)同時(shí)考慮影響金融市場(chǎng)完備性的兩個(gè)特定因素:隨機(jī)波動(dòng)性和價(jià)格跳躍性,并以此來(lái)研究衍生證券的投資策略問(wèn)題。該文借鑒Heston(1993)的隨機(jī)波動(dòng)率模型,又將跳躍風(fēng)險(xiǎn)加入股票價(jià)格的運(yùn)動(dòng)方程,進(jìn)而使得衍生證券的價(jià)格過(guò)程被假定受股票價(jià)格、波動(dòng)率和跳躍性三者的影響。該文在效用函數(shù)采用CRRA(Constant Relative Risk Aversion)型,目標(biāo)為最大化終端財(cái)富期望效用的情形下,通過(guò)隨機(jī)控制方法求得最優(yōu)投資組合策略的解析表達(dá)式。何蘇庫(kù)(Hsuku,2007)在Liu和Pan(2003)的基礎(chǔ)上研究跨期消費(fèi)和衍生證券投資問(wèn)題,不過(guò)只考慮了隨機(jī)波動(dòng)性這一個(gè)因素。該文采用達(dá)菲和愛潑斯坦(Duffie and Epstein,1992)提出的連續(xù)時(shí)間遞歸偏好(Continuous Time Recursive Preference)效用形式,給出跨期替代彈性為1時(shí)的消費(fèi)及衍生證券投資最優(yōu)策略解析式以及不為1時(shí)的近似表達(dá)式。

VaR是近年來(lái)度量和控制金融風(fēng)險(xiǎn)最常用的工具之一。具體來(lái)說(shuō),VaR是指在一段時(shí)間內(nèi),在給定置信水平下,財(cái)富損失可能達(dá)到的最大數(shù)額。對(duì)于連續(xù)時(shí)間情形的投資組合決策問(wèn)題,如何動(dòng)態(tài)地將財(cái)富可能的最大損失控制在給定范圍內(nèi),以下文獻(xiàn)給出了一些理論研究。庫(kù)歐科、何和愛沙恩庫(kù)(Cuoco,He and Isaenko,2007)在經(jīng)典的Merton(1971)框架下加入VaR約束,假定一段很小的時(shí)間間隔內(nèi)市場(chǎng)參數(shù)及投資頭寸不發(fā)生變化,投資者在這段間隔內(nèi)財(cái)富的VaR數(shù)額被限定在一定范圍內(nèi)。由于投資期連續(xù)地由這些很小的時(shí)間間隔組成,因此投資者在投資期內(nèi)能反復(fù)度量投資組合的風(fēng)險(xiǎn),財(cái)富的數(shù)額連續(xù)地受到風(fēng)險(xiǎn)約束,進(jìn)而在這更加現(xiàn)實(shí)的動(dòng)態(tài)一致性模型下實(shí)現(xiàn)最優(yōu)投資策略的選擇。皮爾烏(Pirvu,2007)采用與上述文獻(xiàn)相同的假設(shè),同時(shí)考慮消費(fèi)和投資的最優(yōu)選擇。與之不同的是,前者運(yùn)用隨機(jī)控制方法求解,后者的求解方法主要是利用It?積分的鞅性質(zhì)將該隨機(jī)控制問(wèn)題轉(zhuǎn)化為確定控制問(wèn)題。該文在最大化跨期消費(fèi)及終端財(cái)富的總效用目標(biāo)下給出自然對(duì)數(shù)效用形式下最優(yōu)策略的解析解和一般CRRA效用形式下的數(shù)值解。陳、李和李(Chen,Li and Li,2009)也采用同樣的VaR約束方法研究保險(xiǎn)公司的投資和再保險(xiǎn)策略,目標(biāo)是最小化保險(xiǎn)公司的破產(chǎn)概率,并得到最優(yōu)策略的解析解。

本文在前述文獻(xiàn)的基礎(chǔ)上所做的研究是,在衍生證券的投資過(guò)程中動(dòng)態(tài)地加入風(fēng)險(xiǎn)控制,以便有效地隨時(shí)約束風(fēng)險(xiǎn)性較大的衍生品投資。Liu和Pan(2003)及Hsuku(2007)設(shè)定的衍生證券同時(shí)考慮了標(biāo)的資產(chǎn)價(jià)格的擴(kuò)散風(fēng)險(xiǎn)和波動(dòng)風(fēng)險(xiǎn),但它們對(duì)風(fēng)險(xiǎn)如此大的衍生品投資的分析卻沒(méi)有考慮到投資過(guò)程中投資者財(cái)富可能出現(xiàn)巨大損失的可能性。本文在此基礎(chǔ)上采用Cuoco,He和Isaneko(2007)的思想,在連續(xù)時(shí)間的投資過(guò)程中動(dòng)態(tài)地加入VaR約束。假設(shè)在某個(gè)很小的時(shí)間區(qū)間內(nèi)市場(chǎng)參數(shù)及投資策略不發(fā)生變化,并用VaR度量這個(gè)間隔內(nèi)財(cái)富損失的風(fēng)險(xiǎn)。倘若每一個(gè)給定的時(shí)間區(qū)間內(nèi)都這樣度量財(cái)富損失的風(fēng)險(xiǎn),那么財(cái)富將會(huì)連續(xù)地滿足風(fēng)險(xiǎn)約束的要求。借鑒Pirvu(2007)的求解方法,通過(guò)將隨機(jī)控制問(wèn)題轉(zhuǎn)化為確定控制問(wèn)題,本文給出該最優(yōu)化問(wèn)題的解析解,即得到了在加入動(dòng)態(tài)VaR約束后投資股票和衍生證券的最優(yōu)策略。從這個(gè)最優(yōu)策略的表達(dá)式可以看出,進(jìn)行風(fēng)險(xiǎn)約束后投資者將會(huì)更加謹(jǐn)慎地進(jìn)行投資決策:越嚴(yán)格地控制財(cái)富損失的風(fēng)險(xiǎn),就會(huì)越小比例地投資風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)(包括股票和衍生證券)。另外一個(gè)有趣的結(jié)論是,本文給出的最優(yōu)投資行為既可以選擇與未考慮風(fēng)險(xiǎn)控制的情形同向的操作,也可以選擇與之反向的操作,只是要求進(jìn)行同向或反向的操作時(shí)兩個(gè)風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)同時(shí)都要進(jìn)行。

二、模型的建立與描述

(一)金融市場(chǎng)環(huán)境

本文考慮連續(xù)時(shí)間情形下的隨機(jī)經(jīng)濟(jì),數(shù)學(xué)模型的隨機(jī)性建立在概率空間(Ω,F,P)上。假設(shè)金融市場(chǎng)上存在債券和股票這兩種基礎(chǔ)證券,以及一種以股票為標(biāo)的資產(chǎn)的衍生證券。

債券是無(wú)風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn),價(jià)格過(guò)程如下:

其中利率r>0為常數(shù)。

股票是風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn),代表整個(gè)股權(quán)市場(chǎng),價(jià)格服從下面的動(dòng)態(tài)過(guò)程:

其中Zt是標(biāo)準(zhǔn)布朗運(yùn)動(dòng),反映股價(jià)的擴(kuò)散風(fēng)險(xiǎn)。這里假定股票的預(yù)期超額收益ηVt隨其波動(dòng)Vt的變動(dòng)而變動(dòng)①嚴(yán)格意義上來(lái)說(shuō),t表 示股票收益的波動(dòng)率,Vt表示股票收益的方差。,常數(shù)η反映這種變動(dòng)的程度,即股票收益的風(fēng)險(xiǎn)溢價(jià)程度。波動(dòng)則參照Heston(1993)的假設(shè),服從下面的均值-回歸過(guò)程:

其中κ>0表示均值-回歸的規(guī)模,υ>0表示波動(dòng)收斂的長(zhǎng)期均值,σ≥0表示波動(dòng)的系數(shù);~Zt也是標(biāo)準(zhǔn)布朗運(yùn)動(dòng),是市場(chǎng)上除了擴(kuò)散風(fēng)險(xiǎn)外的另一風(fēng)險(xiǎn)源,它反映的是股票的波動(dòng)風(fēng)險(xiǎn)。假設(shè)這兩種風(fēng)險(xiǎn)源的相關(guān)系數(shù)為常數(shù)ρ∈(-1,1),則d一般地,假設(shè)ρ<0。直觀上看,波動(dòng)風(fēng)險(xiǎn)越大,波動(dòng)得越頻繁越激烈,資產(chǎn)的價(jià)格就會(huì)越低。可將~Zt分解為兩部分,如下所示:

衍生證券以上述股票為標(biāo)的資產(chǎn),其價(jià)格形式采用Liu和Pan(2003)及Hsuku(2007)的設(shè)定。具體來(lái)說(shuō),衍生證券價(jià)格是標(biāo)的股票的價(jià)格及其波動(dòng)的函數(shù),運(yùn)動(dòng)方程如下:

其中常數(shù)ξ反映隨機(jī)波動(dòng)的風(fēng)險(xiǎn)溢價(jià)程度②股票價(jià)格的波動(dòng)風(fēng)險(xiǎn)表示為Z~t,嚴(yán)格來(lái)說(shuō),ξ反映的是風(fēng)險(xiǎn)源Zˉt的溢價(jià)程度。。這里gS和gV分別衡量股票的價(jià)格和波動(dòng)發(fā)生變化時(shí)衍生證券價(jià)格的變化程度,具體形式如下:

非零的gS和gV反映衍生證券對(duì)擴(kuò)散風(fēng)險(xiǎn)和波動(dòng)風(fēng)險(xiǎn)的暴露(Exposure)。

對(duì)此衍生證券的價(jià)格過(guò)程需要說(shuō)明以下三點(diǎn):首先,這是根據(jù)無(wú)套利均衡定價(jià)原則給出的一般形式,具體的衍生品種類由其到期日具體的支付形式來(lái)確定。比如g(τ,Sτ,Vτ)=max(Sτ-K,0)表示該衍生品為歐式看漲期權(quán),g(τ,Sτ,Vτ)=max(K-Sτ,0)表示其為歐式看跌期權(quán),其中τ和K分別表示上述期權(quán)的到期日和行權(quán)價(jià)格。其次,該衍生證券的到期時(shí)間不一定要與投資者的投資期限一致,只要在投資期限內(nèi)存在這樣的衍生品就行。比如一個(gè)投資者做10年的證券投資決策,他選擇投資的期權(quán)也許在兩年內(nèi)就到期。但只要該期權(quán)到期后市場(chǎng)上仍存在具有相同價(jià)格過(guò)程(2.6)的與之相同或不同種類的衍生品,他就可以繼續(xù)投資該新的衍生品。因此他只需關(guān)注在投資的時(shí)刻如何選擇衍生品的投資,而不需考慮其到期后的情況。第三,只要ρ≠±1,該衍生品就能使市場(chǎng)完備,是非冗余的證券。任意由風(fēng)險(xiǎn)源Z和所驅(qū)動(dòng)的風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn),其支付都可由股票和該衍生證券的支付的組合復(fù)制出來(lái)。因此,它能完備地反映出市場(chǎng)上存在的兩種基本風(fēng)險(xiǎn):擴(kuò)散風(fēng)險(xiǎn)和波動(dòng)風(fēng)險(xiǎn)。

(二)交易策略及財(cái)富過(guò)程

本文討論投資者采取自融資方式進(jìn)行投資操作行為,即他的財(cái)富變化源自于投資損益,沒(méi)有額外的資金注入或撤出;同時(shí)假設(shè)市場(chǎng)允許投資者賣空,即證券的頭寸可以為負(fù);另外,頭寸的再調(diào)整不產(chǎn)生任何交易費(fèi)用。

令Wt表示投資者在時(shí)刻t擁有的財(cái)富,他所做的決策是確定在時(shí)刻t投資于股票及衍生證券上的財(cái)富比例θt和φt。自然地,投資在債券上的財(cái)富數(shù)額即為(1-θt-φt)Wt。于是他的財(cái)富滿足下面的動(dòng)態(tài)過(guò)程:

合理地假設(shè):

并已知投資者的初始財(cái)富W0>0,則隨機(jī)微分方程(2.7)存在惟一解:

(三)動(dòng)態(tài)VaR約束

本文依據(jù)Cuoco,He和Isaenko(2007)的方法計(jì)算投資者財(cái)富損失的VaR數(shù)額。考慮從某個(gè)時(shí)刻t≥0開始,固定一個(gè)很小的時(shí)間間隔δ>0。假設(shè)在時(shí)間區(qū)間[t,t+δ]內(nèi)市場(chǎng)參數(shù)以及交易策略均不發(fā)生變化,則投資者在時(shí)刻t+δ的財(cái)富為:

進(jìn)而在[t,t+δ]內(nèi)財(cái)富的損失額為:

給定置信水平為1-α,α∈(0,1/2]。根據(jù)VaR的定義,投資者在[t,t+δ]內(nèi)財(cái)富損失的VaR數(shù)額滿足:

令Φ(·)表示標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)累積分布函數(shù),Φ-1(·)為其反函數(shù),則VaR的表達(dá)式由命題2.1給出。

命題2.1 給定1-α的置信水平條件下,投資者在[t,t+δ]內(nèi)財(cái)富損失的VaR水平為:

證明 參見附錄1。

本文借鑒Pirvu(2007)的思想,考慮財(cái)富損失率的概念,即財(cái)富損失的VaR數(shù)額與財(cái)富數(shù)額的比例。于是在連續(xù)時(shí)間投資組合選擇問(wèn)題中加入的風(fēng)險(xiǎn)約束即為財(cái)富損失率在每個(gè)交易時(shí)刻不超過(guò)事先給定的水平。具體來(lái)說(shuō),VaR約束表示為投資者在任一時(shí)刻t所做的投資決策(θt,φt)或必須滿足:

其中ε∈(0,1)是給定的VaR風(fēng)險(xiǎn)控制參數(shù)。將VaR的表達(dá)式(2.15)代入上式,可得投資策略的VaR約束集為:

(四)投資者追求的目標(biāo)

假設(shè)投資者從初始時(shí)刻開始參與金融市場(chǎng)的投資活動(dòng),投資期為給定的T>0。他的行為是在時(shí)期[0,T]內(nèi)的每一時(shí)刻做出債券、股票以及衍生證券的投資決策,同時(shí)在每一時(shí)刻控制較小的財(cái)富損失率,目標(biāo)是最終實(shí)現(xiàn)終端時(shí)刻財(cái)富期望效用的最大化。

本文采用自然對(duì)數(shù)型效用函數(shù)U(x)=Inx來(lái)衡量風(fēng)險(xiǎn)規(guī)避投資者的財(cái)富效用。由于本文主要考察的是衍生證券的最優(yōu)投資策略在加入動(dòng)態(tài)風(fēng)險(xiǎn)約束后,相較不控制風(fēng)險(xiǎn)的情形將會(huì)發(fā)生何種變化,因而效用函數(shù)形式?jīng)]有考慮風(fēng)險(xiǎn)厭惡參數(shù)的作用和影響。于是投資者面臨的最優(yōu)投資策略問(wèn)題如下:

這是一個(gè)受兩個(gè)狀態(tài)過(guò)程(2.5)和(2.7)約束的隨機(jī)控制問(wèn)題。常用的求解方法是構(gòu)建Hamilton-Jacobi-Bellman(簡(jiǎn)稱HJB)方程,猜測(cè)值函數(shù)的形式,運(yùn)用隨機(jī)動(dòng)態(tài)規(guī)劃知識(shí)得到控制變量和狀態(tài)變量的最優(yōu)路徑。在本文中,由于控制變量(即證券投資決策)還受到VaR約束集的影響,求解上述高階非線性偏微分方程比較困難,因此本文采用Pirvu(2007)中將隨機(jī)控制問(wèn)題轉(zhuǎn)化為確定控制問(wèn)題的手段求解最優(yōu)化問(wèn)題(2.19)。第三節(jié)便利用這種方法求得該問(wèn)題的最優(yōu)解析解。

三、最優(yōu)投資組合策略

考慮投資者的財(cái)富方程(2.10),對(duì)其兩端取自然對(duì)數(shù),得:

假設(shè)股票的隨機(jī)波動(dòng)Vt滿足:

這是一個(gè)技術(shù)性假設(shè),但對(duì)于一般的金融市場(chǎng)而言,這個(gè)假設(shè)也是合理的。

證明 參見附錄2。

由引理3.1的結(jié)論可知,投資者終端時(shí)刻財(cái)富的期望效用為:

引理3.2 對(duì)任意給定的路徑ω∈Ω和時(shí)刻t∈[0,T],如果是函數(shù)的最大值點(diǎn),即:

證明 參見附錄3。

根據(jù)引理3.2的結(jié)論并結(jié)合(3.4)可知,在動(dòng)態(tài)風(fēng)險(xiǎn)約束下,若要最大化EU(WT),可以先同時(shí)固定路徑ω∈Ω和時(shí)刻t∈[0,T],選擇最優(yōu)的(π,ˉπ)∈Q(t)來(lái)最大化L(t,π,ˉπ)。于是原動(dòng)態(tài)最優(yōu)化問(wèn)題(2.19)可先轉(zhuǎn)化為如下靜態(tài)最優(yōu)化問(wèn)題的求解:

引理3.3 對(duì)任意給定的路徑ω∈Ω和時(shí)刻t∈[0,T],最優(yōu)化問(wèn)題(3.7)的解為:

證明 參見附錄4。

定理3.4 在動(dòng)態(tài)VaR約束下,投資者為實(shí)現(xiàn)其終端財(cái)富期望效用最大化的目標(biāo)而選擇的股票和衍生證券的最優(yōu)投資組合策略如下:令

證明 參見附錄5。

至此,本文已經(jīng)給出在動(dòng)態(tài)VaR約束下股票和衍生證券的最優(yōu)投資策略。定理3.4表明,不加入風(fēng)險(xiǎn)控制而直接進(jìn)行投資操作所得的最優(yōu)策略即為情形1°的結(jié)果(3.10);進(jìn)行了動(dòng)態(tài)VaR約束后最優(yōu)投資策略則要根據(jù)市場(chǎng)參數(shù)以及VaR約束帶來(lái)的外生參數(shù)所滿足的條件來(lái)確定,即為情形2°的結(jié)果(3.11)。下一節(jié)將研究市場(chǎng)參數(shù)(如隨機(jī)波動(dòng)Vt等)和外生參數(shù)(如置信水平1-α等)對(duì)最優(yōu)投資組合策略選擇的影響,以及動(dòng)態(tài)VaR約束對(duì)投資策略產(chǎn)生的影響和作用。

四、最優(yōu)策略的經(jīng)濟(jì)分析

(一)最優(yōu)投資組合策略的選擇

與Liu和Pan(2003)不考慮股票價(jià)格跳躍的情形及Hsuku(2007)最大的不同之處在于,本文引入動(dòng)態(tài)VaR約束后最優(yōu)證券投資組合策略將直接受到來(lái)自由VaR約束帶來(lái)的外生參數(shù)1-α,δ和ε,即置信水平、時(shí)間間隔和風(fēng)險(xiǎn)控制參數(shù)的影響。由定理3.4可知,兩種不同情形下最優(yōu)策略的選擇是不同的。市場(chǎng)參數(shù)中的隨機(jī)波動(dòng)Vt,股票收益和隨機(jī)波動(dòng)的風(fēng)險(xiǎn)溢價(jià)程度η和ξ,無(wú)風(fēng)險(xiǎn)利率r,再加上前述三個(gè)外生參數(shù)一起,共同決定了最優(yōu)策略的選擇。

當(dāng)r,α,δ和ε滿足Δ>0條件時(shí),則需依據(jù)隨機(jī)波動(dòng)Vt的取值來(lái)確定的表達(dá)式。若最優(yōu)策略仍由(3.10)給出,具體的經(jīng)濟(jì)分析如前所述,此處不再贅述。若則最優(yōu)策略由(3.11)給出,這是定理3.4中的情形2°。這時(shí),本文發(fā)現(xiàn)以下四個(gè)有趣的結(jié)論。第一,(3.11)給出的最優(yōu)策略有兩個(gè),投資者不論選擇哪一個(gè),都能實(shí)現(xiàn)終端財(cái)富期望效用最大化的目標(biāo)。第二,情形2°下的股票及衍生證券投資策略都與情形1°呈正比例關(guān)系,比例系數(shù)要么同為1+f1(Vt),要么同為1-f2(Vt)。第三,由f1(Vt)和f2(Vt)的表達(dá)式(3.9)可以看出,1+f1(Vt)>0,1-f2(Vt)<0。這說(shuō)明情形2°下的投資操作與情形1°相比,既可讓兩種風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)同時(shí)與之同向操作,亦可讓兩者同時(shí)與之反向操作。例如0表明情形1°下投資者在時(shí)刻t持有股票和賣空衍生證券,倘若參數(shù)的值滿足情形2°,那么投資者在時(shí)刻t可以選擇持有財(cái)富比例的股票和賣空|財(cái)富比例的衍生證券,也可以選擇賣空財(cái)富比例的股票和持有財(cái)富比例的衍生證券。第四,根據(jù)情形2°下參數(shù)所滿足的條件可推得這個(gè)結(jié)論由以下命題給出。

命題4.1 當(dāng)定理3.4中的情形2°出現(xiàn),即Δ>0且N1

證明 參見附錄6。

由此可知,情形2°相較情形1°而言,兩種風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)的投資組合策略在絕對(duì)值意義上來(lái)說(shuō)是同比例減少了。仍以前述情形1°下<0為例,在情形2°時(shí),若兩者同時(shí)采取與情形1°同向的操作,則投資者在時(shí)刻t持有的股票份額將比情形1°時(shí)同比例的少,而賣空的衍生證券份額也將同比例的少;若兩者同時(shí)采取與情形1°反向的操作,則投資者在時(shí)刻t選擇賣空股票和持有衍生證券,但賣空的股票份額卻比情形1°時(shí)持有的股票份額同比例的少,持有的衍生證券份額也比情形1°時(shí)賣空的衍生證券份額同比例的少。

(二)財(cái)富損失率的約束對(duì)投資策略的影響

由對(duì)投資者財(cái)富的動(dòng)態(tài)VaR約束所帶來(lái)的三個(gè)外生參數(shù)中,置信水平1-α和時(shí)間間隔δ可根據(jù)現(xiàn)實(shí)的金融市場(chǎng)環(huán)境來(lái)確定。例如,1995年4月巴塞爾銀行監(jiān)督管理委員會(huì)在對(duì)銀行資本充足率進(jìn)行風(fēng)險(xiǎn)管理時(shí),要求各銀行計(jì)算的VaR數(shù)額需基于10個(gè)交易日(或兩個(gè)星期)和99%的置信水平①參見喬瑞(Jorion,2001)第3章第3節(jié)的描述。。因此本文著重研究風(fēng)險(xiǎn)控制參數(shù)ε(即財(cái)富損失率的約束)如何影響投資者的投資行為。一般來(lái)說(shuō),ε越小表明投資者對(duì)財(cái)富的損失情況控制得越嚴(yán)格,即是對(duì)投資風(fēng)險(xiǎn)的厭惡程度越高。

參照Liu和Pan(2003)對(duì)市場(chǎng)參數(shù)的設(shè)定,本文取無(wú)風(fēng)險(xiǎn)的年利率r=5%,股價(jià)的風(fēng)險(xiǎn)溢價(jià)程度η=4,波動(dòng)的風(fēng)險(xiǎn)溢價(jià)程度ξ=-6,股票在時(shí)刻t的瞬時(shí)波動(dòng)率根據(jù)前述巴塞爾委員會(huì)在要求各銀行計(jì)算VaR時(shí)對(duì)各參數(shù)的設(shè)定,本文取置信水平1-α=99%(即Φ-1(α)=-2.326),時(shí)間間隔δ=0.04②假設(shè)全年共有250個(gè)交易日,則10個(gè)交易日即為0.04年。。由于本文著重研究在加入VaR約束后的投資策略所發(fā)生的變化,且Liu和Pan(2003)及Hsuku(2007)已經(jīng)研究了各市場(chǎng)參數(shù)對(duì)未加風(fēng)險(xiǎn)約束情形的股票及衍生證券投資策略的影響,因此本文的數(shù)值例子僅分析情形2°中正比例系數(shù)隨變化而產(chǎn)生的變化。由前面H(r,η,ξ,Vt;α,δ)的表達(dá)式可算出H≈38%,這表明若財(cái)富損失率控制在38%以內(nèi),投資者將采取(3.11)給出的投資操作行為。此時(shí),結(jié)合f1(Vt)和f2(Vt)的表達(dá)式(3.9)可描繪出正比例系數(shù)與ε的關(guān)系,如圖1所示。

圖1 正比例系數(shù)與風(fēng)險(xiǎn)控制參數(shù)ε的關(guān)系

上圖顯示情形2°下兩種風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)同時(shí)采取與情形1°同向操作時(shí)正比例系數(shù)隨ε嚴(yán)格遞增,下圖顯示反向操作時(shí)正比例系數(shù)隨ε嚴(yán)格遞減。

五、結(jié)論

本文研究了連續(xù)時(shí)間經(jīng)濟(jì)下投資者受動(dòng)態(tài)VaR約束時(shí)在債券、股票和衍生證券市場(chǎng)上做出的最優(yōu)投資組合決策。市場(chǎng)上同時(shí)存在股票價(jià)格的擴(kuò)散風(fēng)險(xiǎn)和波動(dòng)風(fēng)險(xiǎn),衍生證券為了同時(shí)對(duì)沖這兩種風(fēng)險(xiǎn)并使市場(chǎng)完備而被設(shè)計(jì)出來(lái)。然而投資這樣的衍生品本身就具有很大的風(fēng)險(xiǎn),因此隨時(shí)約束此類衍生品投資是很有必要的。本文的結(jié)論表明,考慮了財(cái)富損失的風(fēng)險(xiǎn)約束后,投資者將會(huì)更加謹(jǐn)慎地進(jìn)行財(cái)富的投資分配。對(duì)股票和衍生證券這樣的風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn),投資者將會(huì)做出與沒(méi)有考慮任何風(fēng)險(xiǎn)約束的情形相同或者規(guī)模更小的投資操作行為;自然地,投資者將更加垂青債券這樣的無(wú)風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)。

不過(guò),仍有一些問(wèn)題可作思考。第一,本文考慮了市場(chǎng)上的兩種風(fēng)險(xiǎn),但倘若存在其他的風(fēng)險(xiǎn)源(比如股票價(jià)格的跳躍風(fēng)險(xiǎn)),有更多對(duì)沖這類風(fēng)險(xiǎn)的衍生證券出現(xiàn),那么投資者應(yīng)如何約束或控制此種風(fēng)險(xiǎn)更大的衍生品投資呢?第二,本文采用VaR方法來(lái)度量投資的風(fēng)險(xiǎn),但阿次恩爾等(Artzner et al.,1999)指出,VaR不滿足次可加性因而并非一致的風(fēng)險(xiǎn)測(cè)度,而且它不能度量財(cái)富損失的尾部風(fēng)險(xiǎn),以至于有可能在極小的概率出現(xiàn)時(shí)發(fā)生巨大的財(cái)富損失。那么使用其他的風(fēng)險(xiǎn)測(cè)度是否會(huì)有更好的效果呢?比如Conditional Value-at-Risk(簡(jiǎn)稱CVaR)或稱為Conditional Tail Expectation(簡(jiǎn)稱CTE)風(fēng)險(xiǎn)測(cè)度。CVaR或CTE被定義為一段時(shí)間內(nèi)給定置信水平條件下財(cái)富損失超過(guò)其VaR數(shù)額的條件期望值,它克服了VaR的上述兩大缺陷。用CVaR代替VaR進(jìn)行動(dòng)態(tài)的風(fēng)險(xiǎn)約束能否使投資組合策略更好地服務(wù)于投資者追求的目標(biāo)?第三,本文采用的效用函數(shù)是最簡(jiǎn)單的自然對(duì)數(shù)型,它是CRRA型當(dāng)相對(duì)風(fēng)險(xiǎn)厭惡參數(shù)等于1時(shí)的特例。倘若使用更一般的CRRA型來(lái)衡量投資者財(cái)富的效用是否會(huì)對(duì)最優(yōu)投資組合策略帶來(lái)某些影響或變化?以上問(wèn)題將作為作者進(jìn)一步研究的方向。

Artzner,P.,Delbaen,F.,Eber,J.and Heath,D.,1999.Coherent measures of risk,Mathematical Finance,Vol.9,203-228.

Ball,C.A.and Roma,A.,1994.Stochastic volatility option pricing,Journal of Financial and Quantitative Analysis,Vol.29,589-607.

Black,F.and Scholes,M.,1973.The pricing of options and corporate liabilities,Journal of Political Economy,Vol.81,637-654.

Chen,S.,Li,Z.andLi,K.,2009.Optimal investment-reinsurance policy for an insurance company with VaR constraint,Working Paper.

Cuoco,D.,He,H.and Isaenko,S.,2007.Optimal dynamic trading strategies with risk l imits,Operations Research,Articles in Advance,1-11.

Duffie,D.and Epstein,L.G.,1992.Stochastic differential utility,Econometrica,Vol.60,353-394.

Heston,S.L.,1993.A closed-form solution foroptionswith stochastic volatilitywith applications to bond and currency options,Review of Financial Studies,Vol.6,327-343.

Hsuku,Y.,2007.Dynamic consumption and asset allocation with derivative securities,Quantitative Finance,Vol.7,137-149.

Hull,J.andWhite,A.,1987.The pricing of options on assetswith stochastic volatilities,Journal of Finance,Vol.42,281-300.

Jackwerth,J.C.and Rubinstein,M.,1996.Recovering probabilitydistributionsfromcontemporaneoussecurity prices,Journal of Finance,Vol.51,1611-1631.

Jorion,P.,2001.Value at Risk:the new benchmark for managing financial risk,McGraw-Hill,New York.

Liu,J.and Pan,J.,2003.Dynamic derivative strategies,Journal of Financial Economics,Vol.69,401-430.

Merton,R.C.,1971.Optimum consumption and portfolio rules in a continuous-time model,Journal of Economic Theory,Vol.3,373-413.

Pirvu,T.A.,2007.Portfolio optimization under the Valueat-Risk constraint,Quantitative Finance,Vol.7,125-136.Rubinstein,M.,1985.Nonparametric tests of alternative option pricingmodels using all reported trades and quoteson the 30 most active CBOE option classes from August 23,1976 through August 31,1978,Journal of Finance,Vol.40,455-480.

Scott,L.O.,1987.Option pricingwhen the variance changes randomly:Theory,estimation,and an application,Journal of Financial and Quantitative Analysis,Vol.22,419-438.

Sircar,K.R.and Papanicolaou,G.C.,1999.Stochastic volatility,smile&asymptotics,Applied Mathematical Finance,Vol.6,107-145.

Stein,E.M.and Stein,J.C.,1991.Stock price distributionswith stochastic volatility:an analytic approach,Review of Financial Studies,Vol.4,727-752.

附錄

1. 命題2.1的證明

因?yàn)棣t,δ是連續(xù)型隨機(jī)變量,所以(2.14)等價(jià)于

所以(2.15)成立。顯然VaR數(shù)額不能為負(fù)。

2. 引理3.1的證明

根據(jù)柯西-斯瓦茨(Cauthy-Schwatz)不等式,可得

3. 引理3.2的證明

對(duì)給定的路徑ω∈Ω,由于(3.5)對(duì)任意t∈[0,T]成立,根據(jù)定積分的性質(zhì)可得

現(xiàn)在讓?duì)卦跇颖究臻gΩ上隨機(jī)取所有可能的值,于是上述不等式兩端都成為隨機(jī)變量,進(jìn)而由數(shù)學(xué)期望的性質(zhì)可知(3.6)成立。

4. 引理3.3的證明

固定路徑ω∈Ω和時(shí)刻t∈[0,T]后,(3.7)為確定性的靜態(tài)最優(yōu)化問(wèn)題。

同時(shí)有互補(bǔ)松弛條件:

若λt=0,則由(A.3)可解得(π＊,ˉπ＊)=(η,ξ)。但它不滿足y(t,π＊,ˉπ＊)≥0的約束,所以只能是λt>0。此時(shí)有

聯(lián)立(A.3)和(A.5),可求得最優(yōu)解如下

其中f1(Vt)和f2(Vt)的表達(dá)式由(3.9)給出。

5. 定理3.4的證明

由(2.8)可得

則容易驗(yàn)證當(dāng)N1-1也是容易驗(yàn)證的。

再看f2(Vt)。容易驗(yàn)證當(dāng)N11和M3<2也是容易驗(yàn)證的。

【責(zé)任編輯:許玉蘭;責(zé)任校對(duì):許玉蘭,楊海文】

F830.9

A

1000-9639(2010)03-0184-09

2010-01-14

教育部人文社會(huì)科學(xué)研究規(guī)劃基金項(xiàng)目(批準(zhǔn)號(hào):07JA630031);國(guó)家杰出青年科學(xué)基金項(xiàng)目(批準(zhǔn)號(hào):70825002)

李仲飛(1963-),男,內(nèi)蒙古鄂爾多斯人,管理學(xué)博士,國(guó)家杰出青年科學(xué)基金獲得者,中山大學(xué)嶺南學(xué)院教授、博士生導(dǎo)師(廣州510275);李克勉(1981-),男,重慶人,中山大學(xué)嶺南學(xué)院博士研究生(廣州510275)。