肖 燦 朱漢民

(湖南大學(xué) 岳麓書院,長沙 410082)

勾股新證
——岳麓書院藏秦簡《數(shù)》的相關(guān)研究

肖 燦 朱漢民

(湖南大學(xué) 岳麓書院,長沙 410082)

岳麓書院藏秦簡《數(shù)》里有一道“圓材薶地”算題,與《九章算術(shù)》“勾股”章第九題相同,這說明了《九章算術(shù)》“勾股”章的內(nèi)容在先秦數(shù)學(xué)著作中就有淵源,它為我們了解先秦 (或至遲秦朝)時代這類算法的情況提供了時代確切的直接材料。另外還有第二種可能性,即在《數(shù)》成書時,解答此題或可能是利用了相似直角三角形對應(yīng)邊成比例的性質(zhì)。

秦簡 《數(shù)》 勾股

岳麓書院藏秦簡《數(shù)》中有一例算題“圓材薶地”非常重要,為我們了解先秦 (或至遲秦朝)時代這類算法的情況提供了確切的材料。原簡釋文是：

□有圓材薶 (埋)地,不智 (知)小大,斲之,入材一寸而得平一尺,問材周大幾可(何)。即曰,半平得五寸,令相乘也,以深【0304簡】一寸為法,如法得一寸,有 (又)以深益之,即材徑也【0457簡】。①原竹簡首字殘缺,2009年發(fā)表的文章中補為“[今 ]有……”,現(xiàn)將殘字仍記為“□”。參見：肖燦、朱漢民《岳麓書院藏秦簡〈數(shù)〉的主要內(nèi)容及歷史價值》(《中國史研究》,2009年第 3期,第 47頁)和朱漢民、肖燦《從岳麓書院藏秦簡〈數(shù)〉看周秦之際的幾何學(xué)成就》(《中國史研究》,2009年第 3期,第 57頁)。

在已知的出土簡牘數(shù)學(xué)文獻中,沒有見到過類似的算題,而在傳世文獻《九章算術(shù)》里則有一例相同的算題,即《九章算術(shù)》“勾股”章第九題：

今有圓材埋在壁中,不知大小。以鋸鋸之,深一寸,鋸道長一尺。問徑幾何。答曰,材徑二尺六寸。術(shù)曰,半鋸道自乘,如深寸而一,以深寸增之,即材徑。

比較兩道算題,如果忽略題設(shè)情景的描述以及語言表達的差別,只從條件、數(shù)據(jù)、解題方法幾方面考察,則兩題完全一樣,可視為同一題;只是《九章算術(shù)》最終要求的是直徑,而《數(shù)》最終求的是周長,要通過先求直徑來達到目的。基于此,我們認為《數(shù)》所收錄的這道“圓材薶地”算題直接說明了《九章算術(shù)》里“勾股”章的內(nèi)容在先秦數(shù)學(xué)著作中就有淵源,此題為我們研究勾股定理在先秦時期被應(yīng)用的情況提供了新材料。

下面我們將要述及的內(nèi)容是：一,對算題的形成年代的推測;二,分析算題簡文敘述的算法所運用的數(shù)學(xué)原理;三,基于對此算題的分析結(jié)果來討論勾股定理在先秦的應(yīng)用情況以及此題與《九章算術(shù)》“勾股”章算題的關(guān)聯(lián)。

1 算題的形成年代

首先毫無疑問的是,“圓材薶地”算題的形成年代不遲于《數(shù)》的抄書年代。陳松長根據(jù)岳麓書院秦簡中的《質(zhì)日》所記載的信息推斷這批簡的抄寫年代下限是秦始皇三十五年 (公元前 212年)[1],《數(shù)》的抄書年代自然也符合這一下限,也就是說“圓材薶地”算題的形成年代下限是公元前 212年。

接下來要討論這道算題的形成年代上限。我們推測,這道算題的形成年代已經(jīng)不是“學(xué)在官府”的時代,而是“禮崩樂壞、學(xué)術(shù)下移”的春秋戰(zhàn)國時代 (公元前 722年至公元前221年)。做出這樣論斷的原因在于算題的表述形式。郭書春指出“‘學(xué)在官府’的時代,人們根據(jù)官方或權(quán)威部門的有關(guān)規(guī)定,以‘程’起首提出若干數(shù)學(xué)問題”,表述為“程曰……。今……,問……幾何”,待到“‘禮崩樂壞’,學(xué)術(shù)下移,民間對人們生產(chǎn)、生活中的某些活動的數(shù)量關(guān)系作了一些約定”,這類數(shù)學(xué)問題不再用“程”字,而演變?yōu)椤坝小瘛瓎枴瓗缀巍?以及“今有……問……幾何”的表述形式。[2]考察《數(shù)》里的算題,也見到一部分以“程……”和“有……”起首提出問題的算題。如“圓材薶地”算題正是用“□有”開頭的,表述為“□有……,問……幾可 (何)”的形式,這說明此題可能出現(xiàn)于春秋戰(zhàn)國時代,形成年代上限就該在公元前 8世紀中葉。但是彭浩認為此說可疑,他指出,秦漢時期的著作中常見“程”字的這種用法,故不可以此作為斷代的依據(jù)。我們以為,秦漢時期的著作當(dāng)然可以延用“程”的表述,但不用“程”字起首而用“今有”、“有”的情況最早應(yīng)該出現(xiàn)在春秋戰(zhàn)國時代,因此“圓材薶地”算題可能的最早形成年代就是春秋戰(zhàn)國時代,當(dāng)然也可能形成于年代上限與下限之間的某一時期。另外,在確定此題的形成年代時,還需考慮此題涉及的算法和數(shù)學(xué)原理最早出現(xiàn)在什么年代。

2 算題簡文敘述的解題方法的數(shù)學(xué)原理

考察算題簡文敘述的解題方法：“……即曰,半平得五寸,令相乘也,以深一寸為法,如法得一寸,有 (又)以深益之,即材徑也”,將它寫為算式：

可以看出,算題簡文敘述的只是算法,實際上我們并不能從這樣的算法斷言它是運用何種數(shù)學(xué)原理求解的。如果依照現(xiàn)在的數(shù)學(xué)知識,則無論運用勾股定理、相似三角形相應(yīng)線段成比例原理,或是圓的相交弦定理,都能推導(dǎo)出上面的算法式。運用圓的相交弦定理求解的可能性可以排除,因為它在中國傳統(tǒng)數(shù)學(xué)中毫無蹤跡。因此,當(dāng)時此題的解答方法只有兩種可能：一是運用勾股定理;一是運用相似直角三角形對應(yīng)邊成比例的性質(zhì)。

第一種方案可以這樣來理解問題的解答方法：由于《九章算術(shù)》“勾股”章第九題與秦簡《數(shù)》的這個問題的數(shù)值和解法都相同,那么考察前者的解法及其劉徽注是有益的。劉徽注說：“此術(shù)以鋸道一尺為勾,材徑為弦,鋸深一寸為股弦差之一半,鋸 (道)長是半也”,“亦以半增之,如上術(shù),本當(dāng)半之,今此皆同半差,不復(fù)半也”。劉徽是把此題作為已知勾與股弦差求股、弦的問題來對待的。在此題的注中劉徽沒有具體介紹如何求解。但此問題與前面的三個問題“引葭赴岸”、“立木系索”、“依木于垣”同型,而在注“引葭赴岸”、“立木系索”兩問題時,劉徽利用勾股定理來解決問題。劉徽對“圓材薶地”的注釋思路與其解釋“立木系索”相同,可以解釋為：以鋸道長度、直徑與 2倍鋸深之差、直徑分別為勾、股、弦,為便于理解,分別以它們的一半為勾 a、股 b、弦 c。令正方形 ABCD為弦冪 (c2),正方形 EBHJ為股冪 (b2),那么利用勾股定理,勾的平方 (a2)=弦的平方 (c2)-股的平方(b2)=正方形 ABCD-正方形 EBHJ=曲尺形 AEJHCD(矩冪),它可以化為以股弦差 (cb)為寬 (DF),以股弦并 (b+c)為長 (AG+CD)的長方形 (圖 1)。因此,勾的平方 (a2)=股弦差 (c-b)×股弦并 (b+c),由此可知,勾的平方除以股弦差就得到股弦并,即 b+c=a2/(c-b),再加上鋸深 (c-b),就是半徑的 2倍 (2c)即直徑。

圖1 劉徽的解題方法

劉徽對這個問題的解法所作的注用到勾股定理和出入相補原理。

在傳世文獻中,勾股定理最早見《周髀算經(jīng)》。書中記載西周初年數(shù)學(xué)家商高在回答周公的問題時說:“故折矩,以為勾廣三,股修四,徑隅五?！视碇灾翁煜抡?此數(shù)之所生也”([3],10—11頁)。商高不僅提到勾三、股四、弦五的勾股定理之特例,而且還提到大禹治水就運用了勾股術(shù)。書中又記載另一個數(shù)學(xué)家陳子給出了一個方法,由太陽的高度、太陽在地面的正下方位置到觀測者的距離來計算太陽到觀測者的距離:“若求邪至日者,以日下為勾,日高為股。勾、股各自乘,并而開方除之,得邪至日”([3],20頁)。這段話說明“陳子不是湊數(shù)而是確實知道普遍的勾股定理并且知道開平方法,即 c”[4]。陳子活動的年代,科學(xué)史家根據(jù)天象記錄,擬定為公元前 7至公元前 5世紀之間,最遲不晚于公元前 4世紀[5—7]。由于出入相補原理是最直觀、簡單的原理,它在中國古代數(shù)學(xué)推導(dǎo)幾何算法中是一個行之有效的基本方法,這個方法在春秋戰(zhàn)國時代已經(jīng)運用,因此前人推論中國人在先秦時期就利用這一原理推導(dǎo)和認識了普遍的勾股定理[4]。

這一觀點和秦簡《數(shù)》“圓材薶地”問題正好可以互相發(fā)明。先秦已認識勾股定理和出入相補原理,說明先秦能提出并解決“圓材薶地”問題決非偶然,當(dāng)時存在處理這類問題的理論和方法;劉徽利用勾股定理和出入相補原理來解釋這一問題的算法,其具體細節(jié)可能有出入,但體現(xiàn)了一種淵源有自的數(shù)學(xué)傳統(tǒng)。秦簡《數(shù)》記錄這一問題,不僅說明《九章算術(shù)》的這個問題有著更早的來源,而且它的時間下限為中國人在先秦就認識了勾股定理 (更不用說出入相補原理)的觀點提供了更明確和直接的支持。

另外,對于“圓材薶地”算題的解答,我們還考慮過第二種可能性,即當(dāng)時人們有可能利用相似直角三角形對應(yīng)邊成比例的性質(zhì)解題。如圖 2所示,因為 Rt△ABC與 Rt△CBE及 Rt△ACE相似,如果利用相似直角三角形對應(yīng)邊成比例的性質(zhì),也很容易得出“圓材薶地”算題簡文敘述的算法式。

我們之所以這樣推測,是因為西周初年商高至少已認識到有一個公共角的相似直角三角形對應(yīng)邊成比例的性質(zhì),而春秋戰(zhàn)國時期則認識了直角三角形對應(yīng)邊成比例的一般性質(zhì) ([8],505—506頁)?！吨荀滤憬?jīng)》記載：“商高曰,平矩以正繩,偃矩以望高,覆矩以測深,臥矩以知遠。環(huán)矩以為圓,合矩以為方”([3],17頁)。商高說的“偃矩以望高”,按錢寶琮先生的意見可以解釋如下：矩尺 ABC,待測高度 EF,視線 AF,交點 D(如圖 3)。那么 EF=BD ×AE÷AB,這是由 Rt△ABD相似于 Rt△AEF,依據(jù)比例關(guān)系得出的。其實《九章算術(shù)》第 9章的第 17題到第 24題也都是測量問題,也完全可以運用相似直角三角形相應(yīng)線段成比例的原理解答。如若再考察世界數(shù)學(xué)史,不難發(fā)現(xiàn),在歐幾里得 (Euclid)《幾何原本》(Elem ents)第 6篇里,就是利用第 5篇的比例理論來討論相似形的?？梢?利用比例來認識相似形,是很自然的思維發(fā)展過程。先秦數(shù)學(xué)中對比例原理的運用已經(jīng)達到了很高的水平,當(dāng)時人們有可能把比例觀念運用到某些相似幾何圖形如直角三角形上,通過兩個直角三角形在一定條件下相應(yīng)線段之間存在比例關(guān)系的原理來解決問題 ([8],115—120、501—506頁)。再有,《周髀算經(jīng)》里商高說的“環(huán)矩以為圓”可能就是圓的內(nèi)切直角三角形的概念,也就說明當(dāng)時人們已經(jīng)知道了直徑所對的圓周角為直角的性質(zhì)[9]。既然“相似直角三角形對應(yīng)邊成比例”的性質(zhì)和“直徑所對的圓周角為直角”的性質(zhì)都可能是已知的,那么圖 2所示的解答方法也就有可能被運用,或者說不能完全排除這種可能。當(dāng)然,由于上述圖 2中的直角三角形相似,要基于一些在中國傳統(tǒng)數(shù)學(xué)中難以找到根據(jù)的幾何原理 (如同弧所對的圓周角相等,或直角三角形兩銳角之和為一直角),所以,我們認為第二種推測只是一種可能性很小的復(fù)原方案。

圖2 用相似三角形解題

圖3 矩尺測高

3 由算題引出的關(guān)于勾股、旁要、《九章算術(shù)》的推論

其實我們推測的兩種解題思路之間是有聯(lián)系的。在中國古代數(shù)學(xué)中,人們認識相似直角三角形對應(yīng)邊成比例的性質(zhì)和勾股定理的時間都很早。錢寶琮[10]和劉鈍[11]都認為“從旁要取”來測量的《九章算術(shù)》“勾股”章的最后八個問題,可能是古代的旁要,這些問題用到的相似直角三角形對應(yīng)邊成比例的性質(zhì),是中國古代“旁要”術(shù)的實質(zhì)。關(guān)于“旁要”,韓祥林有過論證：“‘旁要’就是利用直角三角形中所容正方形或矩形 (腰)兩邊 (旁)的兩個小勾股形對應(yīng)邊成比例,來進行間接測量”,“旁要、重差、夕桀都是我國古代的測量術(shù),其實質(zhì)皆為相似勾股形”[12]。也就是說“旁要”術(shù)利用了相似直角三角形對應(yīng)邊成比例這一性質(zhì)?！稊?shù)》的“圓材薶地”算題雖然不是“勾股容方”的典型“旁要”問題,但如按上述第二種方案,它卻有可能運用了與“旁要”密切相關(guān)的相似直角三角形對應(yīng)邊成比例的性質(zhì),那么此算題是不是“旁要”的變化運用實例呢?

《數(shù)》的“圓材薶地”算題出現(xiàn)于先秦時期,它又出現(xiàn)在《九章算術(shù)》的“勾股”章,而“九章”源于“九數(shù)”,其中勾股源于旁要,那么《九章算術(shù)》的“勾股”章所收錄的算題,會不會包含一些原先是運用“旁要”解答的算題?如果“圓材薶地”算題原屬于旁要,那么漢編《九章》把它納入“勾股”也是可能的。

以上關(guān)于“旁要”的說法多是猜測,應(yīng)該說《數(shù)》的“圓材薶地”算題最可能是勾股問題。由于在張家山漢簡《算數(shù)書》里,沒有發(fā)現(xiàn)“勾股”類算題,而《算數(shù)書》的成書時代在《九章算術(shù)》之前,所以有學(xué)者認為《九章算術(shù)》里“勾股”章的形成時間比較晚,是在《算數(shù)書》出現(xiàn)之后才逐步完成的?，F(xiàn)在《數(shù)》的“圓材薶地”算題說明了勾股問題已出現(xiàn)在先秦時期的數(shù)學(xué)著作里,算題也較復(fù)雜,需要熟練地將勾股定理變化運用。但是在《數(shù)》里我們只見到這一個算題屬于勾股問題,所以也不能說《數(shù)》里已形成“勾股”章。至于《九章算術(shù)》里“勾股”章的第九題,也不一定是摘錄改編自《數(shù)》的“圓材薶地”算題,可能只是有相同的源頭。迄今,我們雖已發(fā)現(xiàn)《數(shù)》的許多算題與《九章算術(shù)》的算題相同或近似,但仍不能說《數(shù)》對《九章算術(shù)》產(chǎn)生了直接影響。關(guān)于《九章算術(shù)》的成書問題,郭書春已提出一些證據(jù)說明《九章算術(shù)》的主要內(nèi)容成于先秦[13,14]。鄒大海則更詳細、更充分地論述了《九章算術(shù)》的主要內(nèi)容和方法形成于先秦[8,15,16]。在漢編《九章算術(shù)》之前,一定存在很多數(shù)學(xué)著作,張家山漢簡《算數(shù)書》只是其中的一種,它對《九章算術(shù)》沒有直接的影響[17,18]。秦簡《數(shù)》支持這一意見。類似地,正因為在漢《九章算術(shù)》之前一定存在很多數(shù)學(xué)著作,不能僅憑《數(shù)》與《九章算術(shù)》有一些相同的算題就斷言兩者有直接的關(guān)聯(lián),這個問題很復(fù)雜,還需進一步研究。

致 謝本文寫作得到中國科學(xué)院自然科學(xué)史研究所郭書春教授、鄒大海教授,湖北省荊州博物館彭浩教授的指導(dǎo)。

1 陳松長.岳麓書院藏秦簡內(nèi)容綜述[J].文物,2009,(3)：75—78.

2 郭書春.試論《算數(shù)書》的理論貢獻與編纂[A].法國漢學(xué)[C].第 6輯.北京：中華書局,2002.505—537.

3 錢寶琮校點.算經(jīng)十書·周髀算經(jīng)[A].李儼錢寶琮科學(xué)史全集[Z].第 4卷.沈陽：遼寧教育出版社,1998.

4 鄒大海.從先秦文獻和《算數(shù)書》看出入相補原理的早期應(yīng)用[J].中國文化研究,2004,(冬之卷)：52—60.

5 章鴻釗.周髀算經(jīng)上之勾股普遍定理：“陳子定理”[J].中國數(shù)學(xué)雜志,1951,1(1)：13—15.

6 梁宗巨.世界數(shù)學(xué)史簡編[M].沈陽：遼寧人民出版社,1981.331—332.

7 席澤宗,程貞一.陳子模型和早期對于太陽的測量[A].古新星新表與科學(xué)史探索[C].西安：陜西師范大學(xué)出版社,2002.426—435.

8 鄒大海.中國數(shù)學(xué)的興起與先秦數(shù)學(xué)[M].石家莊：河北科學(xué)技術(shù)出版社,2001.

9 李儼.中國數(shù)學(xué)大綱[A].李儼錢寶琮科學(xué)史全集[C].第 3卷.沈陽：遼寧省教育出版社,1998.22.

10 錢寶琮.中國數(shù)學(xué)史[M].北京：科學(xué)出版社,1981.44—45.

11 劉鈍.大哉言數(shù)[M].沈陽：遼寧教育出版社,1995.404.

12 韓祥林.“旁要、夕桀、重差”釋義[J].曲阜師范大學(xué)學(xué)報 (自然科學(xué)版),2001,27(1)：106—108.

13 郭書春.古代世界數(shù)學(xué)泰斗劉徽[M].濟南：山東科學(xué)技術(shù)出版社,1992.98—105.

14 郭書春.張蒼與《九章算術(shù)》[A].劉鈍,韓琦等.科史薪傳——慶祝杜石然先生從事科學(xué)史研究 40周年學(xué)術(shù)論文集[C].沈陽：遼寧教育出版社,1997.112—121.

15 鄒大海.出土《算數(shù)書》初探[J].自然科學(xué)史研究,2001,20(3)：193—205.

16 鄒大海.睡虎地秦簡與先秦數(shù)學(xué)[J].考古,2005,(6)：57—65.

17 鄒大海.從《算數(shù)書》與《九章算術(shù)》的關(guān)系看算法式數(shù)學(xué)文獻在上古時代的流傳[J].贛南師范學(xué)院學(xué)報,2004,(6)：7—10.

18 鄒大海.出土簡牘與中國早期數(shù)學(xué)史[J].人文與社會,2008,2(2)：71—98.

Abstract This article analyzes a problem in Qin bamboo manuscripts on mathematics,Shu,collected by the Yuelu Academy of Hunan University in Changsha.The problem is about how to calculate the diameter of a buried log.It is interesting that the same problem can be found inthe N ine Chapters on M athematical Procedureswhich is the most important of all ancient Chinese mathematical texts.After analysis,this problem is believed to be documentary evidence showing that the ancient Chinese were aware of a particular case of the Pythagorean Theorem.And the article speculates the mid-8th century BC to be the earliest date of this Pythagorean Theorem problem.But it still have doubts about the problem. It is also possibly associated with another mathematical principle,that corresponding sides of two similar right triangles are proportional.

Key words Qin bamboo Manuscripts on Mathematics,Shu,the Pythagorean theorem

A Pythagorean Theorem Problem in Qin BambooManuscripts on Mathematics,Shu,Collected by Yuelu Academy

X IAO Can,ZHU Hanmin
(Yuelu Academy,Hunan University,Changsha410082,China)

N092∶O112

A

1000-0224(2010)03-0313-06

2009-03-17;

2010-04-26

肖燦,1976年生,湖南湘潭人,湖南大學(xué)岳麓書院博士生,講師,研究方向：中國思想文化史;朱漢

民,1954年生,湖南邵陽人,湖南大學(xué)岳麓書院教授、博士生導(dǎo)師,主要研究方向：中國思想文化史。

國家社會科學(xué)基金項目《岳麓書院藏秦簡的整理與研究》(批準號：09BZS001)