呂登峰

一類含不定非線性項(xiàng)奇異橢圓方程的正解

呂登峰

(孝感學(xué)院數(shù)學(xué)系,湖北孝感432000)

研究了一類含Sobolev-Hardy臨界指數(shù)與不定非線性項(xiàng)的奇異橢圓方程,通過Nehari流形和精確的能量估計(jì),運(yùn)用集中緊性原理與強(qiáng)極值原理得到了這類方程正解的存在性.

正解;Sobolev-Hardy臨界指數(shù);橢圓方程

0 引言及主要結(jié)果

本文研究如下奇異橢圓方程正解的存在性

其中Ω?RN(N≥5)是包含原點(diǎn)的有界光滑區(qū)域是Sobolev-Hardy臨界指數(shù),λ>0.

當(dāng)K(x)≡C時(shí),已有許多這類問題解的存在性結(jié)果,如當(dāng)K(x)≡1,s=0時(shí),Jannelli在文[1]中給出了方程(1)在H10(Ω)中至少有一個(gè)正解,Ferrer和Gazzola在文[2]、Shen和Yang在文[3]中證明了方程(1)非平凡解的存在性,Chen在文[4]中證明了方程(1)多重解的存在性;當(dāng)λ=0時(shí),Deng和Jin在文[5]中證明了方程(1)G-對(duì)稱解的存性.本文對(duì)更一般形式的K(x)給出方程(1)正解的存在性.我們?cè)O(shè)K(x)滿足如下條件:

(A1)K(x)∈L∞(Ω),K+(x)=max{-K(x),0}≠0,K-(x)=max{-K(x),0}≠0;

(A2)KM:=supx∈ˉΩ|K(x)|=K(0)>0,且存在δ>0,使得對(duì)于x∈B2δ(0),有K(0)-K(x)=O(|x|α),其中

用H10(Ω)表示通常的Sobolev空間,其等價(jià)模定義為表示H10(Ω)的對(duì)偶空間,用C或Ci等表示正常數(shù),它們?cè)诓煌男谢蚨温渲锌梢圆煌?用→(?)表示在相應(yīng)空間中的強(qiáng)(弱)收斂,O(εt)表示|O(εt)|/εt≤C,o(εt)表示ε→0時(shí),|o(εt)|/εt→0.定義H10(Ω)上的能量泛函

由Hardy不等式,Hardy-Sobolev不等式與K(x)滿足的條件可知J(u)∈C1(H10(Ω),R),稱u∈H10(Ω)是方程(1)的弱解當(dāng)且僅當(dāng)對(duì)任意的φ∈H10(Ω),有

因而其弱解恰好是能量泛函J(u)在H10(Ω)上的臨界點(diǎn).定義最佳Sobolev-Hardy常數(shù)

由文[6]知Sμ的達(dá)到函數(shù)

而且Uε(X)是方程的解,并滿足

設(shè)B2δ(0)={x∈RN,|x|<2δ}?Ω.定義截?cái)嗪瘮?shù)φ(x)∈C∞0(Ω,[0,1]),使得當(dāng)x∈Bδ(0)時(shí),φ(x)=1當(dāng)x∈ΩB2δ(0)時(shí),φ(x)=0,且對(duì)于任意x∈Ω,|▽?duì)諀≤C.

本文的主要結(jié)果可表述為下面的定理.

定理1 若條件(A1),(A2)成立,且λ∈(0,λ1),μ∈(0,ˉμ-1),則方程(1)至少存在一個(gè)能量水平于(0,的正解.

1 主要結(jié)果的證明

引理1 記uε=jφUε,則在定理1的條件下,有

證明 由文[3],或[6,7]類似易得.

定義Nehari流形M={u∈H10(Ω):G(u)=〈J′(u),u〉=0,u?0}.由M的定義知,對(duì)任意u∈N,有

引理2 存在ρ>0,使得對(duì)任意u∈M,有‖u‖≥ρ.

證明 對(duì)u∈M,由式(6)與(A2)有,

因此,由Sobolev不等式有

從而由式(7)有

引理3 存在序列{un}?M,使得J(un)→c,J′(un)→0在H-1(Ω)中.{～un}?M為一相對(duì)于c=J(u)的極小化序列,由Ekeland變分原理,可找到序列{un}?{～un}?M,使得J(un)→c,J′(un)|M→0.又由Lagrange乘子法知,存在rn,使得

而J′(un)|M→0,所有有J′(un)-rnG′(un)→0,進(jìn)而有

由M的定義知

則由式(9),(6)及引理2有

由un∈M知〈J′(un),un〉=0,再結(jié)合(8),(10)式知rn=0,從而引理3得證.

引理4 設(shè){un}?M,滿足J(un)→c,J′(un)→0在H-1(Ω),則{un}在H10(Ω)中必有一個(gè)強(qiáng)收斂的子列.

證明 由{un}?M,J(un)→c,0<λ<λ1知,

因此,{un}在H10(Ω)中有界.故可選取子序列不妨仍記為{un},使得當(dāng)n→∞時(shí),有un?u在H10(Ω)中;un→u,a.e.于Ω;由文[8]集中緊性原理知,存在至多可數(shù)集I,使得

取截?cái)嗪瘮?shù)φi=1,當(dāng)|x-xi|≤r時(shí);φi=0,當(dāng)|x-xi|≤2r時(shí),令ψi=unφi.由〈J′(un),ψi〉=o(1)‖ψi‖可得

令n→∞有,αi≤K(xi)βi≤KMβi,再結(jié)合(4)有(a)βi=0,或

若存在i∈I,使得βi≠0,即(b)發(fā)生,則由測(cè)度β的有界性知,集I必為有限的,再利用Brezis-Lieb引理(文[9])有

矛盾.所以,對(duì)任意i∈I,βi=0.

取截?cái)嗪瘮?shù)φ0=1,當(dāng)|x|≤r時(shí);φ0=0.當(dāng)|x|≥2r時(shí);令ψ0=unφ0.由〈J′(un),ψ0〉=o(1)‖ψ0‖可得

令n→∞,r→0有,α0-μ γ0≤K(0)β0≤KMβ0,再結(jié)合(5)有.同理可證集中在0點(diǎn)不可能發(fā)生,即β0=0.因此對(duì)任意i∈I,β0=βi=0.從而un→u在H10(Ω)中.

證明 取t0uε∈M,則

由引理1與(12),(A2)可得

從而

定理1的證明 由引理2-5可知,存在u0∈M達(dá)到c.由于若{un}是J(u)在M上的極小化序列,則{| un|}也是,故可設(shè)u0為非負(fù)臨界點(diǎn),即u0為方程(1)的一個(gè)非負(fù)解,再由強(qiáng)極值原理知u0為方程(1)的正解.

[1] JANNELLI E.The Role Played by Space Dimension in Elliptic Critical Problems[J].J Dif f erential Equations,1999, 156:407-426.

[2] FERRER A,GAZZOL F.Existence of Solutions for Singular Critical Growth Semilinear Elliptic Equations[J].J Dif f erential Equation,2001,177:494-522.

[3] SHEN Z,YANG M.Nontrivial Solutions for Hardy-Sobolev Critical Elliptic Equations[J].Act Mathematica Sinica,Chinese Series,2005,48:999-1010.

[4] CHEN J.Multiplicity Result for A Singular Elliptic Equation with Indefinite Nonlinearity[J].J Math A nal A ppl,2008, 337:493-504.

[5] DENG Y,J IN L.On Symmetric Solutions of A Sigular Elliptic Equation with Critical Sobolev-Hardy Exponent[J].J Math A nal A ppl,2007,329:603-616.

[6] KANG D,PENG S.Positive Solutions for A Singular Critical Elliptic Problem[J].A pplied Mathematics Letters,2004,329:603-616.

[7] CHEN J.Existence of Solutions for a Nonlinear PDE with an Inverse Square Potential[J].J Dif f erential Equations, 2003,195:497-519.

[8] LIONS P L.The Concentration Compactness Principle in the Calculus of Variations,the Limit Case,I,II[J].Rev Mat Iberoamericane,1985,1:145-201,45-121.

[9] BREZIS H,LIEB E.A Relation Between pointwise Convergence of Functions and Convergence of Integrals[J].Proc A mer Math Soc,1983,88:486-490.

[10] WILL EM M.Minimax Theorems[M].Boston:Birkh?user,1996.

Positive Solution for Singular Elliptic Equations with Indefinite Nonlinearity

LüDeng-feng
(Department of Mathematics,Xiaogan University,Xiaogan432000,China)

A class of singular elliptic equations with Sobolev-Hardy critical exponent and indefinite nonlinearity term is studied.With Nehari manifold and delicate energy estimates,the existence of positive solution is obtained by concentration-compactness principle and strong maximum principle.

positive solution;Sobolev-Hardy critical exponent;elliptic equation

O175.25

A

0253-2395(2010)03-0321-05

2009-11-27;

2010-02-07

國(guó)家自然科學(xué)基金重點(diǎn)項(xiàng)目(10631030);湖北省教育科學(xué)“十一五”規(guī)劃(2007B086)

呂登峰(1981-),男,湖北洪湖人,助教,碩士,主要研究領(lǐng)域:偏微分方程.E-mail:dengfeng1214@163.com