李成 安佰勇 俞利江 海軍潛艇學(xué)院學(xué)員3隊(duì) 266071

淺析導(dǎo)航系統(tǒng)不同順序之間坐標(biāo)變換的統(tǒng)一性

李成 安佰勇 俞利江 海軍潛艇學(xué)院學(xué)員3隊(duì) 266071

列舉了在實(shí)踐中導(dǎo)航系統(tǒng)中坐標(biāo)變換的常用方法，指出在方向余弦陣中，應(yīng)用立體解析幾何分析，雖然旋轉(zhuǎn)角度不是矢量，不滿足平行四邊形法則，但是通過一定的變換，使每軸旋轉(zhuǎn)不同角度,則不同旋轉(zhuǎn)順序的坐標(biāo)軸變換都可以得到相同的結(jié)果,即體現(xiàn)方向余弦陣不同順序之間的統(tǒng)一性。給出了一種坐標(biāo)變換的思路，同時(shí)也解釋了導(dǎo)航坐標(biāo)變換的意義在于其有實(shí)際的物理意義。

坐標(biāo)變換；方向余弦陣；不同順序；統(tǒng)一性

1 引言

現(xiàn)代導(dǎo)航設(shè)備中不論是平臺(tái)式慣導(dǎo)還是捷聯(lián)式慣導(dǎo)，其隨著時(shí)間的推移都需要進(jìn)行大量的坐標(biāo)變換。旋轉(zhuǎn)矢量法在解決復(fù)雜角速度變化環(huán)境下的坐標(biāo)變換問題以其有效地補(bǔ)償不可交換性誤差而被廣泛采用。同時(shí)，其根據(jù)不同的角速度變化情況通過改變一個(gè)周期內(nèi)的采樣次數(shù)而進(jìn)行的多子樣的算法和與之匹配的龍格庫(kù)塔法可以大大提高坐標(biāo)系變換后的精度。而作為旋轉(zhuǎn)矢量法的單子樣的特例，四元數(shù)法在角速度變化不復(fù)雜的情況下也有著廣泛的應(yīng)用，四元數(shù)法的優(yōu)點(diǎn)在于其算法更新得快，運(yùn)算量小。大多數(shù)參考書上提到方向余弦矩陣法坐標(biāo)變化時(shí)都認(rèn)為它的不可交換性誤差導(dǎo)致了有限旋轉(zhuǎn)不是矢量。而通過立體幾何的分析可知，任何一種變換順序都可以完成從起始坐標(biāo)系到固定坐標(biāo)系的坐標(biāo)變換，而且彼此之間誤差固定在一個(gè)相差不大的數(shù)量上。同時(shí)，可以大大減少實(shí)際中的運(yùn)算量。

2 變換原理

起始如下圖所示，設(shè)固定A系，經(jīng)過旋轉(zhuǎn)變換到達(dá)B系，（這里忽略坐標(biāo)系的平動(dòng)和伸縮變換，其平動(dòng)和伸縮變換可以通過在變換結(jié)果上加一個(gè)固定矢量和乘一個(gè)比例因子得到）測(cè)量?jī)蓚€(gè)坐標(biāo)系對(duì)應(yīng)軸向之間的夾角，設(shè)定對(duì)應(yīng)X軸之間的夾角為α，對(duì)應(yīng)Y軸之間的夾角為β，對(duì)應(yīng)Z軸之間的夾角為γ。

圖1 固定坐標(biāo)系之間的對(duì)應(yīng)軸向角度

先對(duì)三個(gè)夾角的范圍進(jìn)行討論：由圖可知，B系的XB可以看作是以O(shè)為頂點(diǎn)，Z=x*tanα為母線的圓錐上的一條母線，其圓錐方程為：

設(shè)定XB軸與X軸形成的平面與YOZ平面形成的角度為θ，則可知在此XB軸的方向矢量為

同時(shí)以O(shè)點(diǎn)為頂點(diǎn)，以Y軸為軸心的圓錐方程為

通過聯(lián)立方程（2）（3）可得β角的取值范圍：

上式中，若tanβ=0，即β=0，則表示YB軸相對(duì)于Y軸沒有變化。同時(shí)取y=1，θ=π/2，得到Y(jié)B軸的方向，代入ZB軸的定義式中ZB=XB×YB可得到ZB的方向?yàn)椋?/p>

其中對(duì)應(yīng)于YB的兩種選法，ZB有兩種對(duì)應(yīng)。這樣，三個(gè)軸向都確定下來(lái)，α角可以任意選定，β角可以在范圍內(nèi)任意選定，對(duì)于選定的α和β，都有固定的γ與之對(duì)應(yīng)。

接下來(lái)對(duì)各個(gè)順序的坐標(biāo)變換進(jìn)行說明。下面以X—Y—Z的順序展開說明：其旋轉(zhuǎn)過程如下圖所示：

圖2 坐標(biāo)系的旋轉(zhuǎn)過程

對(duì)于X軸，由三垂線定理可以知道

對(duì)于Y軸，其變化過程如下圖所示：

圖3 Y軸的變化過程

由三垂線定理和余弦定理可得

對(duì)于Z軸，同理可得

其中α’、β’、γ’分別為原坐標(biāo)系繞著X、Y、Z旋轉(zhuǎn)地角度。聯(lián)立方程（5）（6）（7），就得到了關(guān)于X—Y—Z的變換順序的三個(gè)旋轉(zhuǎn)角度。

這樣，就得到了終止坐標(biāo)系B系相對(duì)于A系變換后對(duì)應(yīng)于六種旋轉(zhuǎn)方式的每個(gè)軸的轉(zhuǎn)量。然后通過比較一個(gè)固定的矢量如在A系的(1,1,1)，來(lái)比較各種旋轉(zhuǎn)順序的誤差大小。

3 實(shí)驗(yàn)仿真

通過matlab進(jìn)行運(yùn)算，設(shè)定初始條件下三個(gè)軸向上的對(duì)應(yīng)夾角分別是α=12. 3°，β=14.6°，γ=19.1°。那么通過上面各個(gè)方程的迭代，得到如下表所示，其相對(duì)誤差的標(biāo)準(zhǔn)為取第一種變換方式，其他變換的結(jié)果與這種方式進(jìn)行比較，如在試驗(yàn)中，取相對(duì)誤差的標(biāo)準(zhǔn)是X—Y—Z順序的誤差限。

經(jīng)過分析比較，各種變換方式其誤差相差不多，而誤差的造成主要是因?yàn)榉蔷€性三角方程時(shí)算法的誤差引入的，與其方程本身無(wú)關(guān)。

再進(jìn)行大角度的比較，α=64.3°，β =87.3°，γ=52.2°，那么通過上面各個(gè)方程的迭代，得到如下表所示，同樣其誤差的標(biāo)準(zhǔn)為比較原矢量在新坐標(biāo)系下沿著坐標(biāo)單位矢量的投影所構(gòu)成的向量。

經(jīng)過分析比較，當(dāng)旋轉(zhuǎn)角度比較大的時(shí)候（超過了5°角），其各種旋轉(zhuǎn)順序的結(jié)果的相對(duì)誤差依然較小。

再進(jìn)行連續(xù)的比較，當(dāng)坐標(biāo)系B系做一個(gè)連續(xù)的變化的時(shí)候，其相對(duì)誤差隨著角度的變化的趨勢(shì)如下圖所示。

圖4 各種旋轉(zhuǎn)方式的相對(duì)誤差隨角度的變化趨勢(shì)

由上圖可知，隨著角度的增加，其相對(duì)誤差基本處于不變的狀態(tài)，而且其值趨近于零。所以，由此可以看出，各種旋轉(zhuǎn)方式在坐標(biāo)旋轉(zhuǎn)的問題上可以看成是等價(jià)的。而導(dǎo)航系統(tǒng)中通常采取的Z—Y—X旋轉(zhuǎn)順序，是根據(jù)其擁有的物理意義來(lái)確定的，即航向角，縱搖角，橫搖角。

4 結(jié)束語(yǔ)

本文從立體解析幾何的角度出發(fā)，通過測(cè)量旋轉(zhuǎn)前后的坐標(biāo)系的對(duì)應(yīng)軸之間的夾角，得到不同順序下的旋轉(zhuǎn)角度，討論了不同的旋轉(zhuǎn)順序?qū)Y(jié)果的影響。在模擬仿真時(shí)，先討論了各種變化下其坐標(biāo)軸夾角的取值范圍，然后根據(jù)不同的旋轉(zhuǎn)情況進(jìn)行了小角度，大角度，連續(xù)情況下的探討，得到了在固定始終坐標(biāo)系的情況下，不同旋轉(zhuǎn)順序在效果上時(shí)等價(jià)的。并且因?yàn)檫@種直接測(cè)量對(duì)應(yīng)軸的角度來(lái)確定旋轉(zhuǎn)角度，進(jìn)而確定坐標(biāo)的方法，與坐標(biāo)系的運(yùn)動(dòng)過程無(wú)關(guān)，只與初始最終兩個(gè)狀態(tài)量有關(guān)，而且運(yùn)算量較小，其精度主要取決于非線性方程組的算法誤差，并無(wú)原理性誤差。因此可以為合適的精度下的坐標(biāo)轉(zhuǎn)換方法提供一種思路。同時(shí)導(dǎo)航系統(tǒng)中通常采取的Z—Y—X旋轉(zhuǎn)順序，也是根據(jù)其擁有的物理意義來(lái)確定的，即航向角，縱搖角，橫搖角。

表1 小角度旋轉(zhuǎn)后各種坐標(biāo)變換順序的結(jié)果和相對(duì)誤差

表2 小角度旋轉(zhuǎn)后各種坐標(biāo)變換順序的結(jié)果和相對(duì)誤差

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10.3969/j.issn.1001-8972.2010.16.152

李成(1985.08—)，男，海軍潛艇學(xué)院導(dǎo)航、制導(dǎo)與控制專業(yè)在讀研究生。