朱仁義

（巢湖學院物理與電子科學系，安徽 巢湖 238000）

不同振子耦合系統固有頻率的研究

朱仁義

（巢湖學院物理與電子科學系，安徽 巢湖 238000）

根據質心運動與相對運動建立耦合彈簧振子的動力學方程，通過特征根方程求解，確定系統固有頻率，并加以討論。

耦合彈簧振子；固有頻率；振幅比

耦合彈簧振子系統的研究，無論在鐵路運輸、高速列車，還是在汽車運輸過程中帶有拖車，以及晶體學中格點的振動都廣泛應用，且涉及到彈簧振子的耦合問題。例如，一列火車是多節(jié)車廂掛接在一起，每節(jié)車廂可以看作一個彈簧振子，從一維振動角度來分析火車，可以簡化多彈簧振子串聯。在工程上常常用多彈簧振子的串聯來描述一個實際力學系統，因此，分析由多個振子串聯而成的系統的運動規(guī)律，是一件有意義的工作。過去研究多半是假設耦合振子質量相同，彈簧的勁度系數相同。[1]本文將討論一般情況下振子的耦合，首先，建立耦合彈簧振子質心運動和相對運動下動力學方程，其次，解其特征根方程，再討論各種彈簧振子的耦合情況乃至極端情況。

1 系統的動力學方程

如圖1所示，取m1物體的平衡位置為坐標原點，水平向右為x軸正方向，彈簧的自然長度為L0，任意時刻兩物體的位置坐標分別為x1、x2。

圖1

根據牛頓第二定律，有：

作簡單的變換，令 x′2=x2-L0、再用 x2代替 x′2得：

為了了解系統的運動規(guī)律，往往要知道整體的運動，即質心的運動，以及各部分之間的運動即相對運動。為此，引入取質心坐標xc和相對坐標xr[2]（不是嚴格的系統質心坐標與相對坐標）

2 系統動力學的本征解

因為，b21-4b0＞0，所以以上四個解都是純虛數，p1，2和p3，4為兩對共軛復數。每對共軛復根，對應一個振動模式，說明系統質心圍繞著平衡作周期性振動，它的振動是圓頻率為ω1、ω2簡諧振動的疊加。同理，兩振子相對運動也為周期性振動，它的振動是圓頻率為ω1、ω2簡諧振動的疊加，這種運動稱為固有振動或主振動。ω1、ω2稱為系統固有頻率。

3 各種耦合的振動頻率ωi的討論

下面就可能出現的各種耦合振動進行討論。

物理意義非常清楚，從振子1角度來看，由于振子m1的質量非常大，振子2就可以看成振子1附屬物，且可以忽略，系統的質心基本取決于m1的位置。也就是說，系統整體運動簡化為m1在彈簧1作用下運動，其振動頻率是大家熟知ω2；從振子2角度來看，由于振子m1的質量非常大，其振動極其緩慢，可以視為靜止，振子2的振動就回歸為我們熟知單振子的振動。

物理意義也很明確，彈簧1的勁度系數很大，相當于一根剛性桿將1物體連接固定起來，振動頻率極高。振子2連接在剛性物體上，因而振子2的振動就回歸為我們熟知單振子的振動，其振動頻率就是自身的固有頻率。

（5）兩振子質量相近，但彈簧勁度k2?k1

對于彈簧1來說，m1與m2用勁度系數很大的k2連接，就相當于用剛性桿連接，如圖2所示，其振動圓滿頻率由（15）式中ω2決定。對于討論m1與m2振子相對運動來說，由于它們之間用倔強系數很大的k2連接，相互作用力很大，彈簧1對系統的作用力可以忽略不計，模型可以簡化為如圖（3）來表示。振動圓頻與（15）中 ω1一致。

圖2

圖3

4 系統的運動情況

將（11）式代入（6），再代入（5）式可得到相應的振幅比值：

ri稱為振幅比，由（16）式看出，振幅比由系統本身物理特性決定，而與初始條件無關，也是系統的固有屬性。

將本征解（10）式代入（6），同時考慮到（16）可得：

其中 C1、C2、ω1、φ2，由系統的初始條件確定。 從（17）不難看出，系統在振動過程中，各質點同時到達平衡位置或最大位移，而在整個振動過程中，各質點位移比值將始終保持不變。

5 結束語

兩個線性彈簧振子的耦合，其固有頻率有兩個，只決定于系統本身的物理特性，振子作周期性振動，其運動是兩簡諧振動的疊加得到?？紤]到外加激勵時，為了防止共振，激勵的頻率應避開兩固有頻率。

[1]楊正波，夏清華.耦合彈簧振子系統的研究[J].高等函授學報（自然科學版），2008，2（1）.

[2]周衍柏，理論力學教程[M].北京：高等教育出版社，1984.

[3]胡少華，苗同臣.結構振動理論及其應用[M].北京：中國建筑工業(yè)出版社，2005.

STUDY ON THE NATURAL FREQUENCY OF COUPLING SYSTEM FOR DIFFERENT OSCILLATORS

ZHU Ren-yi
（Department of Physics and Electronic Science，Chaohu University，Chaohu Anhui 238000）

According to the motion of mass center and relative motion，the dynamic equation of coupling spring oscillator was established in this thesis.Based on the solution of latent root equation，the natural frequency of the system was determined and discussed.

coupling spring oscillator； natural frequency； amplitude ratio

O32

A

1672－2868（2010）06－0053－04

2010－09－16

朱仁義（1958－），男，安徽和縣人。高級實驗師，研究方向：理論物理。

責任編輯：宏 彬