金晶晶

(福建交通職業(yè)技術(shù)學(xué)院，福建 福州350007)

初探Sylvester方程的解

金晶晶

(福建交通職業(yè)技術(shù)學(xué)院，福建 福州350007)

給出了Sylvester方程AX+XB=C有唯一解的充要條件的一個(gè)直接證明，并且給出了該方程相容時(shí)的顯式解。

矩陣方程；特征值；克羅內(nèi)克爾直積；Jordan標(biāo)準(zhǔn)型

矩陣方程

0 引 言

1 方程的解的再討論

由定義1知：A ? B是(m p )× (n p)的矩陣，也可視為是以 aijB為子塊的分塊矩陣。

定理1 方程（1）有解的充要條件是A與B的特征值滿足：

（ 1,...,i m= ， 1,...,j n= ）其中iλ表示A的第i個(gè)特征值，jμ表示B的第j個(gè)特征值。

方程（1）等價(jià)于方程組：

推論1 AX + XB= 0有非零解的充要條件是：存在某個(gè)i和 j，有：

推論2 矩陣方程AX - XB = C 有唯一解的充要條件是：A和B沒有公共特征值。

由推論2可知方程： A1X - XA2= C 有唯一解X，這個(gè)解X所確定的P就使得：

定義3 若函數(shù)矩陣 A( x )= (aij(x ))m×n的所有各元素 aij(x) （ i = 1,...,m， j = 1,...,n）都在[a , b]上可積，

則稱 A( x)在[a , b]上可積，并且：

證：考慮方程：

由[8]中第11章知： ()AtBtY t e Ce= 。

即

證畢。

2 方程的顯式解

令

顯然， Dij(t)中每個(gè)元素都是多項(xiàng)式，其次數(shù)不超過 mi+ nj- 2。因此有：

同理可得：

[1]須田信英.自動(dòng)控制中的矩陣?yán)碚?曹長(zhǎng)修譯)[M].北京：科學(xué)出版社,1979.

[2]慕德俊,戴冠中.利用并行方法解AX+XB=C型線性矩陣方程[J].自動(dòng)化學(xué)報(bào),1966.

[3]劉畔畔,李慶春.矩陣方程AX+XB=C的對(duì)稱解及其最佳逼近[J].江西師范大學(xué)學(xué)報(bào),2009.

[4]蒙世奎,矩陣方程AX+XB=F的解[J].廣西民族大學(xué)學(xué)報(bào),2009.

[5]Kucěra V. The matrix equation AX+XB=C[J].SIAM J Appl Math,1974.

[6]F.R.Gantmacher,Theory of Matrices,Chelsea Publishing Co,New York,N.Y.,1977.

[7]韓俊林,劉建州.關(guān)于幾類矩陣的Kronecker和[J].數(shù)學(xué)理論與應(yīng)用,2002.

[8]王耕祿,史榮昌.矩陣?yán)碚揫M].北京:國(guó)防工業(yè)出版社,1998.

(責(zé)任編校：何俊華)

O152.2

A

1673-2219（2010）12-0009-04

2010－06－09

金晶晶(1983－)，男，漢族，福州人，理學(xué)碩士，助教，研究方向?yàn)榻M合數(shù)學(xué)與圖論。