陳小山

(華南師范大學數學科學學院,廣東廣州 510631)

半正定極因子在酉不變范數下的絕對與相對擾動界

陳小山

(華南師范大學數學科學學院,廣東廣州 510631)

極分解; 酉不變范數; 絕對與相對擾動界

(1)

(2)

(3)

(4)

為了證明本文的結論, 需要用到下面的引理.

引理1[7]設M,N都是n階Hermite矩陣,S是適當維數的矩陣, 記

Δ=[α,β]?,Δ′=(α-δ,β+δ),δ>0.

下面給出Hermitian半正定極因子在酉不變范數下的絕對擾動界.

(1) 當max{r,s}

(5)

(2) 當r=n,s

(6)

(3)當r=s=n時,

(7)

(8)

(9)

(10)

(11)

類似由式(9)與式(10)可得

(12)

式(11)應用引理1得到

(13)

注意到

(14)

結合式(12)、(13)和(14)得到

因此擾動界(5)成立.

(15)

由引理1和式(15)可知擾動界(6)成立; 對r=n,s

(16)

因此由引理1和式(16)即可知式(7)成立. 證畢.

(1)當max{r,s}

(17)

(2)當r

(18)

(3)當r=n,s

(19)

(4)當r=s=n時,

(20)

證明此定理的證明類似于定理1的證法,因此我們只給出(1)的證明過程,其余情況類似可得.

(21)

(22)

(23)

(24)

式(22)應用引理1得到

(25)

又由式(23)和式(24),有

(26)

由式(14)、(25)和(26)可知擾動界(17)成立. 證畢.

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Keywords： the polar decomposition; unitarily invariant norm; absolute and relative perturbation bounds

【責任編輯 莊曉瓊】

THEABSOLUTEANDRELATIVEPERTURBATIONBOUNDSFORTHEHERMITIANPOSITIVESEMIDEFINITEPOLARFACTORUNDERUNITARILYINVARIANTNORM

CHEN Xiaoshan

(School of Mathematics,South China Normal University, Guangzhou 510631, China)

2009-07-10

國家自然科學基金資助項目(10971075);廣東省自然科學基金資助項目(91510631000021)

陳小山(1970—),男, 江西吉安人, 理學博士,華南師范大學副教授, 主要研究方向: 數值代數, Email:chenxs33@163.com.

1000-5463(2010)03-0001-03

O241.1

A