倪軍娜, 于建華

(華南師范大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院，廣東廣州 510631)

辛三代數(shù)的Frattini子代數(shù)

倪軍娜, 于建華

(華南師范大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院，廣東廣州 510631)

討論了辛三代數(shù)的Frattini子代數(shù)和Frattini 理想的性質(zhì)，得到了Frattini 理想是辛三代數(shù)的冪零理想和可解balanced辛三代數(shù)的Frattini子代數(shù)等于Frattini 理想的結(jié)論.

辛三代數(shù); Frattini子代數(shù); Frattini理想

辛三代數(shù)是在文獻(xiàn)[1]中首次提出來(lái)的，它是Freudenthal三系的一種更廣泛的形式[2]，其上有李三系結(jié)構(gòu)的一種三系. 辛三代數(shù)作為一種更廣泛的代數(shù)結(jié)構(gòu)受到人們更多的關(guān)注[3-6]. 群的Frattini子群理論在群論中有著重要的地位, 相似的問題在與之結(jié)合密切的Lie代數(shù)中也被提出來(lái)[7-8].盡管辛三代數(shù)不象李代數(shù)那樣有很深的群背景，但是純代數(shù)地研究Frattini子代數(shù)本身就是有意義的.本文將這種概念推廣到辛三代數(shù)上.

(1)L(x,y)-L(y,x)=R(x,y)-R(y,x) (記S(x,y)=L(x,y)-L(y,x));

(2)S(x,y)R(z,w)=R(S(x,y)z,w)=R(z,S(x,y)w)=R(z,w)S(x,y);

(3)[R(x,y),R(z,w)]=R(R(z,w)x,y)+R(x,R(w,z)y),

其中R(y,z)x=L(x,y)z=M(x,z)y=xyz.

辛三代數(shù)U稱為balanced如果S(x,y)=x,yId, 其中x,y是U上的反對(duì)稱雙線性型.

子空間B是辛三代數(shù)U的理想，如果UBU?B,BUU?B,UUB?B.

1 Frattini子代數(shù)

定義1 辛三代數(shù)U的一個(gè)子代數(shù)B稱為極大的，如果真包含B的子代數(shù)只能是U自己.

定義2 辛三代數(shù)U的所有極大子代數(shù)的交稱為U的Frattini子代數(shù)，記為F(U). 而含在F(U)中的U的極大理想稱為U的Frattini理想, 記為φ(U).

命題1 設(shè)U是辛三代數(shù)，下列結(jié)論成立:

(1)如果B是U子代數(shù)使得B+F(U)=U,則B=U;

(2)如果B是U子代數(shù)使得B+φ(U)=U,則B=U.

證明如果B≠U,則必存U的一個(gè)極大子代數(shù)B1包含著B，則有B1+F(U)=U. 由定義2, 得F(U)?B1. 故得B1+F(U)=B1=U,這與B1是U的極大子代數(shù)矛盾. 因而B=U. 同樣地，我們可以得到(2).

命題2 設(shè)B是辛三代數(shù)U的一個(gè)理想，則存在U的一個(gè)極大子代數(shù)C使得B+C=U的充分必要條件是BF(U).

證明(?)如果BF(U),則必存在U的一個(gè)極大子代數(shù)C使得BC.因?yàn)锽是理想, 故得到B+C是U的子代數(shù)并且包含C.則由C的極大性得U=B+C.

(?)假設(shè)B?F(U)，由U=B+C?F(U)+C=U,得到U=F(U)+C. 由命題1, 得到C=U, 這與C的極大性矛盾.故BF(U).

命題3 設(shè)C,B分別是辛三代數(shù)U的子代數(shù)和理想，且使得B?F(C)(或φ(C), 則B?F(U)(或φ(U)).

證明如果C=U, 結(jié)論顯然成立.

現(xiàn)假設(shè)C≠U并且BF(U). 由命題2, 必有U的極大子代數(shù)V使得U=B+V=C+V.則C=B+C∩V. 故C=B+C∩V?C?F(C)+C∩V?C. 即C=F(C)+C∩V. 由命題1,得到C=C∩V.故U=B+V?C+V?V. 這與V的極大性矛盾. 因此B?F(U). 對(duì)φ(U)可類似得到.

推論1 設(shè)B是辛三代數(shù)U的一個(gè)子代數(shù)使得F(B)(或φ(B))是U的理想，則F(B)?F(U)(或φ(U)).

命題4 設(shè)B是辛三代數(shù)U的理想，則下列結(jié)論成立:

(1)(F(U)+B)/B?F(U/B)(φ(U)+B)/B?φ(U/B);

(2)若B?F(U),則F(U)/B=F(U/B),φ(U)/B=φ(U/B);

(3)若F(U/B)=0(或φ(U/B)=0),則F(U)?B(或φ(U)?B).

證明(1) 令π:U→U/B是自然同態(tài)，顯然π-1(F(U/B))=H是U的子代數(shù)且F(U/B)=H/B. 則H是U的包含B的極大子代數(shù)的交，并且有H包含F(xiàn)(U)和(F(U)+B)/B?F(U/B)=H/B. (φ(U)+B)/B?φ(U/B)可類似得到. 由(1), 不難得到(2)、(3).

命題5 設(shè)U是一個(gè)辛三代數(shù)，則有F(U)?U1. 特別地, 如果U是可換的，則F(A)=0.

證明如果U=U1, 則結(jié)論顯然. 如果U≠U1且F(U)U1,那么存在一個(gè)元素xF(U),xU1和U的余維數(shù)為1的子代數(shù)B使得U1?B,xB. 因此B是U的不含元素x的極大子代數(shù), 這與xF(U)矛盾. 故F(U)?U1.

引理1 設(shè)I是辛三代數(shù)U的理想，B是U的極小子代數(shù)使得U=I+B, 則I∩B?φ(B).

證明假設(shè)I∩Bφ(B),則I∩BF(B)，那么必存在B的極大子代數(shù)M使得I∩BM,且B=I∩B+M. 因此U=I+(I∩B+M)=I+M. 這與B的極小性矛盾, 故I∩B?φ(B).

命題6 設(shè)I是辛三代數(shù)U的可換理想且I∩φ(U)=0, 則必存在U的子代數(shù)B使得U=I?B.

證明選取B是滿足U=I+B的最小子代數(shù), 則由引理1有I∩B?φ(B). 又因?yàn)镮∩B是U的理想,由推論1得到I∩B?I∩φ(U)=0.

定理1 如果辛三代數(shù)U有如下的直和分解：U=U1?…?Uk,其中Ui(i=1,…,k)是U的理想, 則有下列結(jié)論:

(1)F(U)?F(U1)?…?F(Uk);

(2)φ(U)=φ(U1)?…?φ(Uk).

證明(1)設(shè)Bi是Ui(1≤i≤k)的極大子代數(shù)，則Bi+(U1?…?i?…?Uk) 是U的極大子代數(shù), 這里i表示Ui從和式中去掉，再令其相交就得到(1)的結(jié)果.

(x1+…+xk)UiUi=xUiUi=xiUiUi?

Ui∩φ(U)=φ(Ui),

Ui(x1+…+xk)Ui=UixUi=UixiUi?

Ui∩φ(U)=φ(Ui),

UiUi(x1+…+xk)=UiUix=UiUixi?

Ui∩φ(U)=φ(Ui),

故φ(Ui)+xi是U的包含于F(Ui)的理想，即xiφ(Ui)(i=1,…,k)且xφ(U1)?…?φ(Uk).

引理2 設(shè)σ是有限維向量空間V的一個(gè)線性變換，f是一個(gè)多項(xiàng)式使得f(σ)=0.則:

(1)如果f=f1f2且f1,f2是互素多項(xiàng)式,則存在σ的不變子空間V1,V2，使得V=V1?V2，且

f1(σ)(V1)=f2(σ)(V2)=0;

定理2 設(shè)B是辛三代數(shù)U的理想且B?F(U), 則B是冪零的. 特別地,φ(U)是U的冪零理想.

證明只需要證前一論斷.

我們知道在U中存在理想序列

B0=B?B1?B2?…?Bt=U,

其中Bi=B?Bi+1表示Bi是Bi+1的理想.令(x,y)=L(x,y)+R(x,y)+M(x,y)，其中x,yB.則存在整數(shù)n使得n(x,y)(U)?B. 由注1,U=I+H, 其中{zU|i(x,y)(z)=0,?x,yB}.故I?B,U=B+H且B?F(U),U=F(U)+C. 由命題1,得C=U, 即是說對(duì)某個(gè)整數(shù)m和任意的zU，有m(x,y)(z)=0, 即B是冪零的.

2 可解辛三代數(shù)的Frattini子代數(shù)

命題7 設(shè)H是可解辛三代數(shù)U的極小理想，則H可換.

證明由U是可解的,得H也是可解的，故HHH≠H. 而HHH是真包含于H的理想，故必有HHH=0.

定理3 設(shè)U是可解的balanced辛三代數(shù)，則F(U)是U的理想, i.e.,F(U)=φ(U).

證明對(duì)dimU進(jìn)行數(shù)學(xué)歸納. 當(dāng)dimU=1時(shí)顯然成立. 假設(shè)結(jié)論對(duì)k

(H∩N)UU=(H∩N)(N+H)(N+H)?H∩N,
U(H∩N)U=(N+H)(H∩N)(N+H)?H∩N,
UU(H∩N)=(N+H)(N+H)(H∩N)?H∩N,

得H∩N是H的理想，故H∩N=0，則U=H?N.

下面分2種情況討論.

(1)若H真包含于CU(H),則N∩CU(H)是U的非零理想, 且對(duì)U的每個(gè)極大子代數(shù)N必包含U的極小理想T. 此時(shí),F(U)=∩{F(U:T)|T是U的極小理想}是U的理想.

mxy+myx=axy+ayx+[R(x,y)+

R(y,x)](axy+ayx)=axy+ayx=0.

定義3 辛三代數(shù)U的理想I稱為是Jacobson根基(記為J(U))，若I是U的所有極大理想的交.

命題8 設(shè)U是辛三代數(shù), 則J(U)?U1.

證明類似于命題5.

定理4 設(shè)U是可解辛三代數(shù)，則J(U)=U1.

證明由命題8,J(U)?U1=U(1).故只需證明U1?J(U). 設(shè)I是U的一個(gè)極大理想, 則U/I是可解并無(wú)任何真理想. 故U/I必定是可換的且I?U(1). 這樣U1?J(U)成立.

推論2 設(shè)U是可解辛三代數(shù), 則F(U)?J(U).

定理5 設(shè)U是一個(gè)冪零辛三代數(shù),則

(1)U的每個(gè)極大子代數(shù)都是理想;

(2)F(U)=U(1)=φ(U)=J(U).

證明(1)由U是冪零的，故存在正整數(shù)m，使得

U=U(0)?U1?…?Um=0.

設(shè)M是U的一個(gè)極大子代數(shù), 則必存在整數(shù)k使得Uk+M≠M(fèi), 但Uk+1+M=M. 則有(Uk+M)*M?Uk+1+M=M, i.e.,M≠Uk+M?NU(M). 因此NU(M)=U，進(jìn)而得M是U的理想.

(2)設(shè)T是U的極大子代數(shù)，則由(1),T是U的理想且U/T沒有真理想.因此U/T是可換的,則U(1)?T且U(1)?F(U). 再由命題5, 得F(U)=U(1). 由(1)有F(U)=φ(U)=J(U).

推論3 設(shè)U是辛三代數(shù),若U(1)冪零的且φ(U)=0，則U(1)可換.

證明由U(1)冪零得U是可解的. 由定理4,得F(U)=φ(U).再由定理5,得F(U(1))=φ(U(1))=(U(1))(1)=(U(1))1.故由命題3，得φ(U(1))?F(U). 因此

(U(1))1=φ(U(1))?F(U)=φ(U)=0.

即U(1)是可換的.

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Keywords： symplectic ternary algebra; Frattini subalgebra; Frattini ideal

【責(zé)任編輯 莊曉瓊】

THEFRATTINISUBALGEBRASOFSYMPLECTICTERNARYALGEBRAS

NI Junna, YU Jianhua

(School of Mathematics, South China Normal University, Guangzhou 510631, China)

The Frattini subalgebras and Frattini ideals of symplectic ternary algebras are studied. It is gotten that Frattini ideal of a symplectic ternary algebra is a nilpotent ideal, and the Frattini subalgebra is equal to the Frattini ideal for a solvable balanced symplectic ternary algebra.

2009-06-29

倪軍娜(1973—),女,山東乳山人,博士,華南師范大學(xué)講師,Email:nijunna@126.com.

1000-5463(2010)02-0001-03

O151.26

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