丘冠英

(嘉應學院 數(shù)學系，廣東 梅州 514015)

在文獻[1]中，利用Mawhin重合度理論研究了方程具狀態(tài)依賴時滯方程：x′(t)=-F(t,x(t-τ(t,x(t))))周期正解的存在性，而文獻[2]中研究了一類較之更為一般的方程：

x′(t)=-a(t)x(t)+f(t,x(t-τ1(t,x(t))),…,x(t-τm(t,x(t))))

(1)

x′(t)=a(t)x(t)-f(t,x(t-τ1(t,x(t))),…,x(t-τm(t,x(t))))

(2)

至少存在一個周期正解的充分條件．實際上，通過在一個函數(shù)空間構造一個全連續(xù)算子，再利用不動點定理，它有至少存在兩個周期正解和一些保證該類方程存在多個周期正解更好的充分條件．

上述a∈C(R×R+,R)，對?(t,x)∈R×R+有a(t+w,x)=a(t,x),f∈C(R×[R+]m，R+),f(t+w,x1,x2,…,xm)=f(t,x1,x2,…,xm),τi(t+ω,x)=τi(t,x),i=1,2,…,m,R+=[0,+∞],ω>0是一個常數(shù).

1 一些引理及證明

引入本文將要使用的不動點定理．

(1)對任意的x∈K∩?Ωr1和λ∈[0,1]有xλΦx；

(2)存在ψ∈K0對任意的x∈K∩?Ωr2和η≥0滿足xΦx+ηψ,

則算子Φ在K∩x∈X|r1<|x|

引理2[4]若引理1中的條件(1)和(2)分別用下面的條件來代替，

(1)*對任意的x∈K∩?Ωr2和λ∈[0,1]有xλΦx;

(2)*存在ψ∈K0對任意的x∈K∩?Ωr1和η≥0滿足xΦx+ηψ,

則算子Φ在K∩x∈X|r1<|x|

引理3 x是方程(1)的ω周期解，當且僅當x是下面積分方程的ω周期解.

(3)

對上面方程兩端從t到t+ω積分，得：

因而x是方程(1)的一個周期解．

反之，若x是方程(3)的一個周期解，則在方程(3)兩端同時對t求導，可得方程(1)，因而x是方程(1)的周期解，證畢．

下面在Banach空間X中定義算子如下：

(Tx)(t),?t∈R,x∈X.

因而T∶X→X．從上面的分析可知x是方程(1)的ω周期解當且僅當x是算子T在X中的不動點.

引理4T∶K→K.

引理4的證明對于任意的x∈K,t∈R,s∈[t,t+ω]，可得：

引理5 T∶K→K是全連續(xù)的．

引理5的證明先證明T是連續(xù)的．設Ω是K中的任一有界集，則存在數(shù)M>0滿足對任意的x∈Ω有‖x‖≤M，則由f的連續(xù)性和f關于t的周期性可得f(t,u1,…,um)在[0,w]×[0,M]m是一致連續(xù)的．因此對于任意的ε>0，存在δ>0滿足對任意的t∈R，只要ui，vi∈[0,M]并且|ui-vi|<δ，i=1,2,…,m都有|f(t,u1,…um)-f(t,v1,…,vm)|<ε．在Ω中任意選取一點x0，因為x0(t)在R上連續(xù)并且是周期的，所以有x0(t)是一致連續(xù)的，因此存在δ1>0(選取δ1>δ)，對于滿足|t1-t2|<δ1的R中的t1,t2都有：

|x0(t1)-x0(t2)|<δ/4

(4)

由于τi(t,y)，i=1,2,…,m關于t是周期的，又在R×[0,M]上關于(t,y)是連續(xù)的，所以可得τi(t,y),i=1,2,…,m在R×[0,M]上是一致連續(xù)的．因此存在數(shù)δ2>0(選取δ2<δ1/2)只要滿足u1,u2∈[0,M]并且|u1-u2|<δ2，對任意的t∈R都有： |τi(t,u1)-τi(t,u2)|<δ1i=1,2,…,m

(5)

因而，由(5)式，對任意的‖x0-y‖<δ2和y∈Ω，都有：

|τi(t,x0(t))-τi(t,y0(t))|<δ1, 對任意的t∈R,i=1,2,…,m

(6)

因此由(4)—(6)式可得對任意的t∈R,‖x0-y‖<δ2和y∈Ω都有：

|x0(t-τi(t,x0(t)))-y(t-τi(t,y(t)))|≤
|x0(t-τi(t,x0(t)))-x0(t-τi(t,y(t)))|+|x0(t-τi(t,y(t)))-y(t-τi(t,y(t)))|≤
δ/4+δ2<δ/4+δ/2<δ,i=1,2,…,m.

從而，對任意的y∈Ω，只要‖x0-y‖<δ2，有：

‖f(t,x0(t-τ1(t,x0(t))),…,x0(t-τm(t,x0(t))))-f(t,y0(t-τ1(t,y0(t))),…,y0(t-τm(t,y0(t))))‖<ε,

對任意的t∈R成立．

所以，若t∈R，y∈Ω并且‖x0-y‖<δ2，則有：

然后，證明集合Tx|x∈Ω中的函數(shù)在[0,ω]上是一致有界且等度連續(xù)的．因為f(t,u1,…,um)在R×[0,M]m是有界的，所以存在數(shù)M3>0滿足：

‖f(t,u1,…,um)‖≤M3，對任意的t∈R，ui∈[0,M]，i=1,2,…,m

(7)

對任意的x∈Ω，有‖x‖≤M，而且

因此可得：

(8)

最后，對任意的t∈R，可得：

(9)

2 多個周期正解的存在性

(H4)存在數(shù)p>0滿足：對任意t∈[0,ω]，只要σp≤|u|≤p就有：f(t,u1,…,um)>a1(t)pγ；

定理1 若(A)，(H1)和(H3)成立，則方程(1)至少存在兩個ω周期正解x1和x2滿足0<‖x1‖

f(t,u1,…,um)>γa1(t)(1+ε)|u|

(10)

因而，對任意的x∈K且‖x‖=r1，可得r1≥x(t)≥σ‖x‖=σr1>0.

取Ψ≡1．下面證明，對任意的x∈K∩?Ωr1，η≥0有： x≡Tx+ηΨ

(11)

其中Ωr1=x∈X|‖x‖

用反證法證明．若不然，則?x0∈K∩?Ωr1且η0≥0滿足： x0=Tx0+η0

(12)

可得α>(1+ε)α．顯然矛盾．因此(11)式成立．

接下來，利用假設(H3)的不等式證明對任意的x∈K∩?Ωp，λ∈[0,1]有： xλTx

(13)

其中Ωp={x∈X|‖x‖

用反證法證明.若不然，則存在x0∈K∩?Ωp和λ0∈[0,1]使得下面等式成立： x0=λ0Tx0

(14)

顯然，λ00，否則有x0≡0，這與x0∈K∩?Ωp相矛盾，因此對任意的t∈R，有‖x0‖=p且σp≤x0(t)≤p．由(H3)成立，可得對任意的t∈R，

(15)

那么由(14)和(15)式，對于任意的t∈R，有：

可得‖x0‖=p

由(11)、(13)式和引理2，可得算子T有不動點x1∈K∩x|r1<‖x‖0.所以x1(t)是方程(1)的一個周期正解.

(16)

取Ψ≡1.下面證明對任意的x∈K∩?Ωr2，η≥0有： xTx+ηψ

(17)

其中

用反證法證之．若不然，則存在x0∈K∩?Ωr3和η0≥0滿足： x0=Φx0+η0ψ

(18)

.

所以β≥(1+ε)β．于是，矛盾．因此(17)式成立．

再由(13)、(17)式和引理1，可得算子T有不動點x2∈K∩x|p<‖x‖0.因而，x2(t)是方程(1)的一個ω周期正解.

可見，方程(1)至少存在兩個ω周期正解，證畢.

顯然，由定理1可得下面的推論.

推論1 在定理1中，若條件(A)，(H3)保持不變，條件(H1)被下面條件代替:

注記1 定理1得到了比文獻[6]的定理2.1更好的結果，理由有二：

(1)若在方程(1)中的時滯不是狀態(tài)依賴的，且方程的右端線性項不含有x，則方程(1)的形式簡化為：

x′(t)=-a1(t)x(t)+f1(t,x(t-τ1(t)),…,x(t-τm(t)))

(19)

這是文獻[6]的定理2.1研究的方程．定理1要求的條件(H1)比文獻[6]的定理2.1要求的條件要弱，即極限值不需要是+∞．

(2)若方程(1)可轉化為方程(19)的形式，則函數(shù)f1可以不必是恒正的，因而文獻[6]的定理2.1的結論不能用在此類方程上．

定理2 假設條件(A)，(H2)和(H4)成立，則方程(1)至少存在兩個周期正解x1和x2滿足0<‖x1‖

定理2的證明證明方法類似定理1，略．

推論2 若定理2中的條件(A)和(H4)成立，條件(H2)被下面條件代替：

則方程(1)至少有兩個ω周期正解.

注記2 定理2得到了比文獻[6]的定理2.2更好的結果，理由有二：

(1)若在方程(1)中的時滯不是狀態(tài)依賴的，且方程右端線性項不含有x，則方程(1)的形式簡化為

x′(t)=-a1(t)x(t)+f1(t,x(t-τ1(t)),…,x(t-τm(t)))

(20)

這是文獻[6]的定理2.2研究的方程．定理2要求的條件(H1)比文獻[6]的定理2.2要求的條件要弱，即極限值不需要是0.

(2)若方程(1)可轉化為方程(20)的形式，則函數(shù)f1可以不必是恒正的．因而文獻[6]的定理2.2的結論不能用在此類方程上．

下面論證方程(2).

同理可得T∶X→X.

取如下假設：

(C4)存在數(shù)p>0滿足：對任意的t∈[0,ω]，只要σp≤|u|≤p就有： f(t,u1,…,um)>a2(t)pγ,

則與定理1、定理2的證明過程相同，可得下面定理．

定理3 假設條件(A)，(C1)和(C3)成立，則方程(2)至少存在兩個ω周期正解x1和x2滿足0<‖x1‖

定理4 假設條件(A)，(C2)和(C4)成立，則方程(2)至少存在兩個ω周期正解x1和x2滿足0<‖x1‖

參考文獻：

[1] Li Yongkun,Yang Kuang.Positive solutions in periodic state-dependent delay equations and population models[J].Proceedings of the American Mathematical Society,2001,130(5):1345-1353.

[2] 李大潛，林正炎.具狀態(tài)依賴時滯的微分方程的周期正解[J].高校應用數(shù)學學報，2002，17A(1)：22-28.

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[5] 尤秉禮.常微分方程補充教程[M].北京：人民教育出版社,1981:2-3.

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