范么清, 樓夢(mèng)麟

從而式(26)～(28)變?yōu)?/p>

非線性隨機(jī)振動(dòng)的分析方法有精確解析法、實(shí)用近似法和數(shù)值模擬法.數(shù)值模擬法以M onte Carlo法為代表.

從工程應(yīng)用的角度來(lái)看,各種實(shí)用近似方法主要有等效線性化法[1-6]、隨機(jī)有限元法[7-8]、構(gòu)造M arkov 狀態(tài)方程求解法[9]、半隱式積分法[10]、改進(jìn)攝動(dòng)法[11]等.其中,等效線性化法使用較多.

王國(guó)硯[1]提到兩種等效線性化方法:方程差法和能量差法.M Grigoriu[12]用等效線性化法研究了由Levy 白噪聲引起的隨機(jī)系統(tǒng)的隨機(jī)響應(yīng).S.H C randall[4]仔細(xì)研究了等效線性化方程差解法的兩種程序.A ndrew W.Smyth 和Sami F.M asri[5]用等效線性化方法計(jì)算非平穩(wěn)地震作用下線彈性彈簧系統(tǒng)的隨機(jī)響應(yīng).Wing Kam Liu 等用隨機(jī)有限元法[8]研究了內(nèi)力為位移、速度、單元尺寸的非線性函數(shù)的非線性隨機(jī)結(jié)構(gòu)的求解方法.R.C.Micaletti[9]提出采用構(gòu)造M arkov 狀態(tài)方程求解隨機(jī)反應(yīng).Yasuki Ohtori[9]提出采用半隱式積分法求解隨機(jī)激勵(lì)下有附加滯后阻尼的非線性結(jié)構(gòu)的隨機(jī)地震反應(yīng).

Nicola Impollonia 等[11]提出一種改進(jìn)的攝動(dòng)法,將隨機(jī)量(包括隨機(jī)質(zhì)量、隨機(jī)內(nèi)力——阻尼力和回復(fù)力)分解成均值部分和變分部分,求解非線性隨機(jī)結(jié)構(gòu)的隨機(jī)反應(yīng).

等效線性化法的等效方法很多,多用于非線性確定結(jié)構(gòu)的隨機(jī)反應(yīng)求解.對(duì)于非線性復(fù)合隨機(jī)系統(tǒng),應(yīng)用的不多.但非線性確定結(jié)構(gòu)的隨機(jī)反應(yīng)求解方法仍然給復(fù)合隨機(jī)系統(tǒng)的求解方法提供很多啟發(fā):首先,等效線性系統(tǒng)的等效參數(shù)與原非線性系統(tǒng)反應(yīng)獨(dú)立,這給等效參數(shù)的求解帶來(lái)很多方便,按這種等效原則得到的隨機(jī)反應(yīng)具有一定的精確度;第二,在非線性很復(fù)雜的情況下,可以將阻尼項(xiàng)與恢復(fù)力項(xiàng)分別等效以便求解等效參數(shù);第三,在假定非線性復(fù)合隨機(jī)振動(dòng)系統(tǒng)的反應(yīng)概率分布類型時(shí),不妨考慮反應(yīng)概率分布類型為正態(tài)分布或均勻分布.

隨機(jī)有限元法不涉及隨機(jī)變量單獨(dú)出現(xiàn)的式子,且方程右邊荷載項(xiàng)已為確定性荷載,故能否轉(zhuǎn)變?yōu)閺?fù)合隨機(jī)振動(dòng)求解,似乎很困難.構(gòu)造M arkov 狀態(tài)方程的方法,是典型的復(fù)合隨機(jī)微分方程的求解方法,但要求把通常給定隨機(jī)激勵(lì)的功率譜轉(zhuǎn)變成白噪聲過(guò)程的形式.半隱式積分法和構(gòu)造M arkov狀態(tài)方程求解法類似,如能熟練掌握由隨機(jī)激勵(lì)的功率譜轉(zhuǎn)換為白噪聲驅(qū)動(dòng)的隨機(jī)荷載,則也可利用構(gòu)造M arkov 狀態(tài)方程的方法直接求解非線性復(fù)合隨機(jī)系統(tǒng)的反應(yīng).由改進(jìn)攝動(dòng)法的解題過(guò)程知,結(jié)構(gòu)體系的反應(yīng)可表示為關(guān)于獨(dú)立隨機(jī)變量的線性組合形式,如將激勵(lì)表示為虛擬激勵(lì),就可采用改進(jìn)攝動(dòng)法求解非線性復(fù)合隨機(jī)系統(tǒng)的隨機(jī)反應(yīng).

虛擬激勵(lì)法是林家浩1985 年提出的,以計(jì)算隨機(jī)荷載作用確定結(jié)構(gòu)的隨機(jī)反應(yīng)[13].虛擬激勵(lì)法將線性結(jié)構(gòu)的平穩(wěn)隨機(jī)反應(yīng)功率譜分析轉(zhuǎn)化為確定性的簡(jiǎn)諧反應(yīng)分析.若設(shè)外部激勵(lì)的功率譜為SFF(ω),可以將虛擬激勵(lì)法的原理表述如下:

由上述虛擬反應(yīng)的表達(dá)式可知,虛擬反應(yīng)是時(shí)域和頻域上的復(fù)數(shù)變量.文獻(xiàn)[14]正是利用這一特點(diǎn)來(lái)直接消除1 階隨機(jī)反應(yīng)的久期項(xiàng).如果要完整地表述,顯然要利用復(fù)數(shù)空間;如果要在實(shí)數(shù)空間中觀察到虛擬反應(yīng),自然想到用復(fù)數(shù)的模.本研究?jī)H僅關(guān)心結(jié)構(gòu)的自振頻率附近的虛擬反應(yīng),因此,取ω為結(jié)構(gòu)自振頻率時(shí)虛擬反應(yīng)模的時(shí)程.

在上述分析的基礎(chǔ)上,引入非線性改進(jìn)隨機(jī)攝動(dòng)法,將雙線性隨機(jī)結(jié)構(gòu)離散為均值部分和變分部分,并把隨機(jī)激勵(lì)按虛擬激勵(lì)法展開(kāi),試著求解雙線性隨機(jī)結(jié)構(gòu)在隨機(jī)激勵(lì)下的隨機(jī)反應(yīng).

1 用非線性改進(jìn)隨機(jī)攝動(dòng)法展開(kāi)雙線性隨機(jī)結(jié)構(gòu)

考慮一個(gè)單自由度雙線性復(fù)合隨機(jī)振動(dòng)系統(tǒng)(圖1)

式中

圖1 單自由度系統(tǒng)力學(xué)模型Fig.1 Mechanical model of SDOF system

式(1)～(8)中:mns為隨機(jī)質(zhì)量;cns為隨機(jī)阻尼;fns(α2,y)為非線性隨機(jī)恢復(fù)力;kns為隨機(jī)剛度;m0為隨機(jī)質(zhì)量均值;ξ為結(jié)構(gòu)阻尼比;σm為隨機(jī)質(zhì)量均方差;α1,α2是均值為0、方差為1 的隨機(jī)變量,此處采用高斯隨機(jī)分布;k0為隨機(jī)剛度k1的均值;σk為隨機(jī)剛度均方差;Rρ,RE分別為密度、彈性模量的變異系數(shù)(此處假定隨機(jī)彈性模量與隨機(jī)密度相互獨(dú)立);下標(biāo)n和s分別表示非線性系統(tǒng)和隨機(jī)系統(tǒng),以區(qū)別于線性隨機(jī)系統(tǒng)[14]分別為加速度、速度和位移隨機(jī)反應(yīng)為輸入地震波隨機(jī)過(guò)程;yc為雙線性折線分界值.按非線性改進(jìn)隨機(jī)攝動(dòng)法,將雙線性隨機(jī)結(jié)構(gòu)展開(kāi)如下:

式中,X(·)表示隨機(jī)參數(shù)的均值.其中,隨機(jī)質(zhì)量、隨機(jī)阻尼各參數(shù)計(jì)算如下:

非線性隨機(jī)回復(fù)力fns(α2,y)的各參數(shù)計(jì)算公式如下:

將隨機(jī)反應(yīng)寫成反應(yīng)均值及1 階展開(kāi)項(xiàng),得

如果式(33)包含1 階靈敏度的二次項(xiàng),則f11≠0,f22≠0.將式(33)代入式(26)～(28),化簡(jiǎn)后可得

式中,復(fù)合隨機(jī)系統(tǒng)隨機(jī)反應(yīng)的均值假定為零,但這一均值不同于

在文獻(xiàn)[14]中,采用Monte Carlo模擬法模擬過(guò)這種雙線性復(fù)合隨機(jī)系統(tǒng)的隨機(jī)反應(yīng),計(jì)算結(jié)果表明,隨機(jī)反應(yīng)的概率分布類型不是完全的正態(tài)分布,也不是均勻分布.其概率分布類型的離散程度較正態(tài)分布稍大,曲線稍緩和.本文參考文獻(xiàn)[ 4] 的做法,考慮兩種概率分布類型求非線性隨機(jī)恢復(fù)力參數(shù)并形成虛擬攝動(dòng)方程.

1.1 假定反應(yīng)概率分布類型為正態(tài)分布

若反應(yīng)服從正態(tài)分布,令

從而式(26)～(28)變?yōu)?/p>

將式(39)～(41)代入式(34),可得

將式(31),(32),(42)代入式(1),按攝動(dòng)法的思想,令式中隨機(jī)參數(shù)前的系數(shù)相等,化簡(jiǎn)后可得

1.2 假定反應(yīng)概率分布類型為均勻分布

若反應(yīng)分布服從下式的均勻分布:

同理,將式(47)～(52)代入式(34),可求得隨機(jī)恢復(fù)力,然后和隨機(jī)阻尼、隨機(jī)質(zhì)量代入雙線性隨機(jī)微分方程,得各階攝動(dòng)方程.限于篇幅,此處不贅述.

2 用迭代方法求解展開(kāi)后的隨機(jī)微分方程

和線性復(fù)合隨機(jī)振動(dòng)系統(tǒng)類似,此處不考慮隨機(jī)參數(shù)的交叉項(xiàng)及二次項(xiàng).對(duì)比式(43)～(45)與線性單自由度復(fù)合隨機(jī)系統(tǒng)的攝動(dòng)展開(kāi)公式[15],可以看到,由于同為攝動(dòng)法,運(yùn)動(dòng)方程左邊的常數(shù)項(xiàng)系數(shù)都是一樣的,因此,這個(gè)方法也存在久期項(xiàng)的問(wèn)題.非線性改進(jìn)攝動(dòng)法對(duì)于阻尼系數(shù)多了二階項(xiàng),當(dāng)考慮k2=k0時(shí),2I1(yc,σy)=1,雙線性復(fù)合隨機(jī)振動(dòng)系統(tǒng)的攝動(dòng)方程變?yōu)榫€性復(fù)合隨機(jī)振動(dòng)系統(tǒng)的攝動(dòng)方程,雙線性復(fù)合隨機(jī)振動(dòng)系統(tǒng)變?yōu)榫€性復(fù)合隨機(jī)振動(dòng)系統(tǒng).因此,用于線性復(fù)合隨機(jī)系統(tǒng)隨機(jī)反應(yīng)的求解方法,此處仍可采用.由于式(43)～(45)中,反應(yīng)均方差未知,因此在每一時(shí)間步,采用迭代方法求解反應(yīng)均方差,即先假定初始反應(yīng)均方差,從而計(jì)算得到新的均方差,反復(fù)迭代直到反應(yīng)均方差收斂,此時(shí)的均方差可作為下一時(shí)刻均方差值的初值.

3 計(jì)算結(jié)果比較

單自由度系統(tǒng)質(zhì)點(diǎn)平均密度ρ0=2.5 ×103kg ·m-3,變異系數(shù)Rρ=5%,質(zhì)點(diǎn)體積V=2 m3,彈性模量均值E0=1010Pa,變異系數(shù)R E=3%,截面慣性矩I=0.005 208 m4,桿件高度h=2 m.阻尼比ξ=0.05,質(zhì)量m=ρV,剛度計(jì)算公式k=3EI/h3,屈服階段的彈性模量為E0=3×109Pa.結(jié)構(gòu)所受的地震作用為均勻調(diào)制非平穩(wěn)隨機(jī)地震作用,基巖與地面之間場(chǎng)地土的基頻ωg=15.6 rad·s-1,基巖與地面之間場(chǎng)地土的阻尼比ξg=0.6,地面運(yùn)動(dòng)加速度峰值期望值峰值因子ν=3.阻尼的計(jì)算公式為c=2ξmk.均勻調(diào)制非平穩(wěn)隨機(jī)地震模型參數(shù)分別為λ1 =1.012 6,t1=1 s,t2=7 s,λ2=1.783 2,Te=10 s.假定反應(yīng)概率分布類型為正態(tài)分布和均勻分布,分別求隨機(jī)反應(yīng).

3.1 假定反應(yīng)概率分布類型為正態(tài)分布時(shí)的計(jì)算結(jié)果

3.1.1 虛擬反應(yīng)

圖2 為假定反應(yīng)概率分布類型為正態(tài)分布時(shí),該非線性非平穩(wěn)復(fù)合隨機(jī)振動(dòng)系統(tǒng)在65 rad·s-1處的虛擬反應(yīng)(按虛擬激勵(lì)法的原理,虛擬反應(yīng)實(shí)際是一個(gè)復(fù)數(shù)量,這里用復(fù)數(shù)的模描述這個(gè)物理量).由圖可見(jiàn),由于非線性的影響,在反應(yīng)的初始階段和衰減階段,虛擬反應(yīng)變化劇烈,表現(xiàn)出很強(qiáng)的非平穩(wěn)性.

圖2 虛擬反應(yīng)(ω=65 rad·s-1)Fig.2 Pseudo response(ω=65 rad·s-1)

3.1.2 隨機(jī)反應(yīng)

圖3 為計(jì)算得到的非線性復(fù)合隨機(jī)振動(dòng)系統(tǒng)的隨機(jī)反應(yīng).圖4 為位移反應(yīng)的計(jì)算結(jié)果與Monte Carlo法模擬結(jié)果之間的相對(duì)誤差.由圖可知,在平穩(wěn)階段,相對(duì)誤差近5%;速度和加速度反應(yīng)的相對(duì)誤差不大,平穩(wěn)階段時(shí)不到0.5%.在地震作用的非平穩(wěn)階段(包括地震作用初始增大階段和衰減階段),相對(duì)誤差較大,但由于這時(shí)隨機(jī)反應(yīng)不大,二者差別也不大.

圖5 為不同時(shí)刻的迭代次數(shù),由圖可知,最大迭代次數(shù)為5 次.

圖4 非線性復(fù)合隨機(jī)系統(tǒng)反應(yīng)均方差相對(duì)誤差(正態(tài)分布)Fig.4 Relative error of response mean variation about no-linear compound stochastic system(normal distribution)

圖5 迭代次數(shù)Fig.5 Iteration frequency

3.1.3 迭代計(jì)算精度的影響

圖6 是迭代計(jì)算精度分別為0.1,0.05,0.01,0.001時(shí)得到的均方差反應(yīng).由圖可見(jiàn),計(jì)算時(shí)可以采用0.1 的相對(duì)誤差.

3.2 假定反應(yīng)概率分布類型為均勻分布

3.2.1 虛擬反應(yīng)

圖7 為假定反應(yīng)概率分布類型為均勻分布時(shí)的非線性非平穩(wěn)復(fù)合隨機(jī)振動(dòng)系統(tǒng)在65 rad·s-1處的虛擬反應(yīng).圖7 與圖2 的差別表現(xiàn)在平穩(wěn)階段的虛擬反應(yīng)減小,地震作用增長(zhǎng)階段虛擬反應(yīng)跳躍振蕩更劇烈.

圖6 不同迭代精度的反應(yīng)結(jié)果比較Fig.6 Result comparison about different iteration precision

圖7 虛擬反應(yīng)(ω=65 rad·s-1)Fig.7 Pseudo response(ω=65 rad·s-1)

3.2.2 隨機(jī)反應(yīng)

圖8 非線性復(fù)合系統(tǒng)隨機(jī)反應(yīng)(均勻分布)Fig.8 Response mean variation about no-linear compound stochastic system(equal value distribution)

圖8,9 分別為該非線性非平穩(wěn)復(fù)合隨機(jī)振動(dòng)系統(tǒng)的均方差反應(yīng),以及相對(duì)于M onteCarlo模擬結(jié)果的相對(duì)誤差.當(dāng)假定反應(yīng)的概率分布為均勻時(shí),所算得平穩(wěn)階段的位移、速度均方差反應(yīng)較M onte Carlo 模擬結(jié)果小,相對(duì)誤差很大(15%～25%),加速度方差響應(yīng)和Monte Carlo 模擬結(jié)果接近.非平穩(wěn)階段的相對(duì)誤差依然很大.

圖9 非線性復(fù)合系統(tǒng)反應(yīng)均方差相對(duì)誤差(均勻分布)Fig.9 Relative error of response mean variation about no-linear compound stochastic system(equal value distribution)

圖10 為不同時(shí)刻的迭代次數(shù),由圖可知,最大迭代次數(shù)為5 次.

圖10 迭代次數(shù)Fig.10 Iteration frequency

4 誤差原因及需要進(jìn)一步研究的問(wèn)題

本文將非線性改進(jìn)攝動(dòng)法與虛擬激勵(lì)法結(jié)合,求解了雙線性復(fù)合隨機(jī)系統(tǒng)的隨機(jī)反應(yīng).計(jì)算結(jié)果與Monte Carlo 模擬結(jié)果[15]有誤差,這些誤差產(chǎn)生的原因有如下幾點(diǎn):

(1)隨機(jī)反應(yīng)的展開(kāi)為1 階展開(kāi).由于是單自由系統(tǒng),計(jì)算結(jié)果與模擬結(jié)果誤差不是很大;但當(dāng)用于多自由度系統(tǒng)時(shí),誤差可能會(huì)大.

(2)對(duì)隨機(jī)反應(yīng)概率分布類型的假定.本文假定概率分布類型為正態(tài)分布與均勻分布,計(jì)算結(jié)果表明,不同概率分布類型的計(jì)算誤差是不一樣的.Monte Carlo 模擬結(jié)果表明,平穩(wěn)階段反應(yīng)概率分布類型不是完全正態(tài)分布,而是比對(duì)應(yīng)正態(tài)分布的離散程度稍大,曲線稍平緩.

因此,還需要在以下方面展開(kāi):①將本方法用于多自由度系統(tǒng);②進(jìn)一步探討其他非線性情況;③對(duì)不同反應(yīng)概率類型進(jìn)行比較.

5 結(jié)論

與等效隨機(jī)線性化法[15]相比,按非線性改進(jìn)攝動(dòng)虛擬激勵(lì)法求解隨機(jī)反應(yīng),更容易收斂.等效隨機(jī)線性化法的計(jì)算精度不是很好,而改進(jìn)隨機(jī)攝動(dòng)法的計(jì)算精度要好些.但改進(jìn)隨機(jī)攝動(dòng)法也存在久期項(xiàng)問(wèn)題.反應(yīng)的概率分布類型也影響計(jì)算精度.

雙線性非平穩(wěn)復(fù)合隨機(jī)振動(dòng)系統(tǒng)的隨機(jī)反應(yīng)有一些特點(diǎn):頻域虛擬反應(yīng)在非平穩(wěn)增長(zhǎng)階段跳躍性很大,表現(xiàn)較強(qiáng)的非平穩(wěn)性;地震作用增長(zhǎng)和衰減的非平穩(wěn)階段相對(duì)誤差很大,但此時(shí)的反應(yīng)很小,不影響計(jì)算結(jié)果;當(dāng)假定反應(yīng)概率分布類型為均勻分布時(shí),平穩(wěn)階段的均方差相對(duì)誤差較大.

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