劉天虎 ,黃武軍 ,許維勝 ,吳啟迪,

(1.同濟(jì)大學(xué) 電子與信息工程學(xué)院, 上海200092;2.同濟(jì)大學(xué)經(jīng)濟(jì)與管理學(xué)院, 上海200092)

早在1980 年Tullock[1]就提出了尋租博弈的概念, Tullock 分析了尋租成本, 發(fā)現(xiàn)企業(yè)壟斷地位的獲取是有成本的, 且尋租中的企業(yè)壟斷會通過競爭實(shí)現(xiàn)均衡, 均衡的結(jié)果使尋租成本與經(jīng)濟(jì)租的量值相等.Tullock 進(jìn)一步揭示了政府在對經(jīng)濟(jì)主體實(shí)施行政干預(yù)的過程中會造成資源的緊張, 誘發(fā)尋租行為,導(dǎo)致社會資源的浪費(fèi).Perez-Castrillo 等[2]證明了Tullock 尋租博弈模型具有唯一的純策略Nash均衡.Bruce[3]分析了尋租博弈者的風(fēng)險中性行為模式,提出了Stackelberg 博弈模型, 實(shí)現(xiàn)了在不完全信息下的子博弈均衡.次年, Bruce[4]研究了重復(fù)尋租博弈中的合作行為, 利用重復(fù)博弈的特性來維持尋租的合作性, 并將Nash 談判均衡應(yīng)用于對稱和不對稱的尋租環(huán)境中.Skaperdas 等[5]研究了兩位具有風(fēng)險厭惡特性的博弈方的純策略N ash 均衡的存在條件.Szidarovszky 等[6]證明了在生產(chǎn)函數(shù)嚴(yán)格遞增且呈凸性的情況下,尋租博弈的非對稱純策略Nash均衡的唯一存在性.在此博弈中, 所有參與者都假定為風(fēng)險中性的.William[7]建立了N位對稱競爭對手的尋租博弈模型,每位博弈方都對尋租有不同賦值,且各自能力不同, 其中一位基于Tullock 概率能獲勝,由此得到純策略Nash 均衡.Cornes 等[8]允許風(fēng)險厭惡的博弈方參與Szidarovszdy 尋租博弈模型,證明了純策略Nash 均衡的存在.David 等[9]給出了對稱尋租博弈的純策略Nash 均衡, 在競爭成功函數(shù)同質(zhì)的條件下均衡策略具有簡單模式, 并給出了均衡存在的充分條件.Matros[10]對T ullock 尋租博弈模型進(jìn)行了擴(kuò)展,證明了隨著租金費(fèi)用的增加,尋租人成功的機(jī)會將減少, 更多尋租人的參與將導(dǎo)致租金發(fā)生變動, 得到了尋租博弈的純策略均衡.Riechmann[11]建立了局中人相對支付最大化的Tullock 尋租博弈數(shù)學(xué)模型, 研究表明, 局中人傾向于為尋租過程過度投入, 租金的耗費(fèi)與局中人數(shù)量無關(guān).Yamazaki[12-13]假定博弈方受到尋租活動的收益及預(yù)算約束, 其均衡受到一定的限制,基于對稱尋租博弈的特點(diǎn), 證明了純策略Nash 均衡的存在.Matros[14]分析了存在補(bǔ)償條件下的Tullock 尋租博弈模型,研究表明獲得補(bǔ)償?shù)木种腥藢⒆畲蠡呺H支付,而失去補(bǔ)償?shù)木种腥藢⒆钚』呺H支付, 并證明了均衡策略的唯一性.Schoonbeek[15]分析了存在潛在進(jìn)入者的兩階段Tullock 尋租博弈模型, 第一階段通過賄賂來規(guī)避競爭,第二階段則實(shí)施尋租競爭,得到了存在潛在進(jìn)入者的均衡策略.

而房地產(chǎn)開發(fā)商對土地資源的尋租實(shí)際上也是一種不完全信息博弈, 博弈各方的信息是不對稱的[16-17] .由于尋租競爭的存在, 開發(fā)商有機(jī)會獲得尋租的成功,也可能會失敗, 可見開發(fā)商面對的是不確定性條件下的選擇, 各位開發(fā)商的風(fēng)險態(tài)度會影響他的行為.本文將對T ullock 尋租博弈模型進(jìn)行擴(kuò)展,研究開發(fā)商土地尋租博弈的均衡解.

1 經(jīng)典Tullock 模型

Tullock[1]提出了經(jīng)典的尋租博弈理論, 基于Tullock 的尋租博弈模型,若令N≡{1 ,2,…,n}為N位博弈局中人, 局中人i為獲取勝利而付出的努力可用x i表示,X=(x1,x2,…,xn), 其中局中人i獲取勝利的概率可表示為πi(X), 令(π1,π2,…, πn)為競爭成功函數(shù), 對于尋租博弈的成功而言, 所有局中人都有一個普遍一致的估值VAL,在局中人都是風(fēng)險中性的前提下,局中人i的期望效用為

Tullock 的競爭函數(shù)可表示為[18]

其中,r＞0 .

Skaperdas[19]通過5 條公理對Tullock 競爭函數(shù)進(jìn)行了完整的描述:

公理1 (可能性)對于 ?i∈N,?X,有如果x i＞0 ,則有πi(X)＞0 .

公理2 (單調(diào)性)對于?i∈N,?j≠i,πi(X)在xi域是遞增的,在x j域是遞減的.

公理4 (獨(dú)立性)對于?S?N,?i∈S,πSi(X)與集合S之外的博弈參與人是相互獨(dú)立的.

公理5 (同質(zhì)性)對于?t＞0,?X,?i∈N,有πi(tX)=πi(X).

公理1 和公理2 表明Tullock 競爭成功函數(shù)具有概率函數(shù)的特性, 局中人增加努力會使其成功的可能性增大,從而使其他局中人的成功機(jī)會減少.公理3 表明任何兩位局中人在相同努力下的成功可能性是相同的.公理4 表明如果某位局中人a1 未能獲勝,則a1對于其他局中人的獲勝可能性不帶來影響.公理5 表明任意兩位局中人的努力具有同質(zhì)性.

2 尋租博弈分析

2 .1 尋租博弈模型的改進(jìn)

同樣,可將尋租的期望效用推廣到N位開發(fā)商競爭的模式,則eTi可由n×n的矩陣表示,用來表示開發(fā)商的效用支付:

為了得到開發(fā)商a1的最優(yōu)支付條件, 需對U a1(ξ)求偏導(dǎo):

用同樣的方法, 可以得到每一位開發(fā)商的最優(yōu)支付條件如下:

通過計(jì)算等式兩邊的值, 可以得到Nash 均衡解,雖然計(jì)算比較復(fù)雜, 但通過Matlab 編程可簡化計(jì)算過程.為了簡化分析過程, 接下來以三位房地產(chǎn)開發(fā)商a1,a2,a3的尋租博弈為例進(jìn)行研究.

2.2 均一估值分析

對于房地產(chǎn)開發(fā)商而言, 土地尋租的效益決定了開發(fā)商付出的程度, 如果對于獲得土地開發(fā)權(quán)的博弈中開發(fā)商具有相同的效益期望, 則可以通過以下形式進(jìn)行分析:

假設(shè)三位開發(fā)商a1 ,a2 ,a3 對土地尋租的價值判定分別為

于是三位開發(fā)商的效用函數(shù)可以表達(dá)如下:

為了得到Nash 均衡解, 對U i(ξ)求偏導(dǎo)可得均衡條件如下:

通過矩陣運(yùn)算可以得到:

由于

由式(1)和式(2)可求得:

如果令φ=0 ,可以得到Tullock 最初的博弈模型,每位開發(fā)商的支付均衡為2/9,三位開發(fā)商總共的支付配置為2/3 .而在此模型中, 開發(fā)商的尋租博弈的單個支付和總體支付都下降,從dα/dφ=-2/3＜0 可以看出,開發(fā)商支付總的增長為負(fù), 也就說開發(fā)商在相同效益期望的情況下的尋租博弈均衡總體支付下降.同時,個體支付也下降,

從均一估值的分析可以看出, 如果開發(fā)商對于土地尋租具有相同的效益期望時, 個體和總體的支付都將下降, 這將節(jié)約社會資源, 減少不必要的消耗.但從社會實(shí)際看,由于開發(fā)商個體及所處環(huán)境的差異使得這種均一估值不太可能出現(xiàn), 更多的是如下所分析的差異估值情形.

2.3 差異估值分析

如果開發(fā)商對于獲得土地開發(fā)權(quán)的效益期望不同,此時博弈的均衡策略將發(fā)生變化,這里還是以三家房地產(chǎn)開發(fā)商a1,a2,a3作為分析的對象以簡化計(jì)算過程.假設(shè)a1 ,a2 ,a3 認(rèn)為自己能獲勝的期望值分別為:e11,e22,e33,而a1認(rèn)為a2能獲得開發(fā)權(quán)的期望值為φe11(0 ≤φ＜1),a2認(rèn)為a1能獲得開發(fā)權(quán)的期望值為φe22(0 ≤φ＜1),a3認(rèn)為a1和a2獲勝的期望值為零,于是便形成了不同環(huán)境下的對稱尋租博弈,可以得到期望值矩陣為

于是其效用函數(shù)可以表達(dá)如下:

為得Nash 均衡解,對U i(ξ)求偏導(dǎo)得均衡解為

從式(3)～(6)可以看出, 只有所有開發(fā)商參與才能形成一個有效的均衡.若式(3)～(5)中有負(fù)值存在,則該開發(fā)商不會參與尋租博弈,所以必須確保式(3),(4),(5)為正值.在這里需要進(jìn)一步分析在何種情況下開發(fā)商都會加入尋租博弈中, 這里分兩種情況進(jìn)行討論:

(1)情況一:假設(shè)此時a1和a2已參與尋租博弈中, 而a3正考慮是否參與其中, 如果a3的期望的邊際收益為正, 即?U a3(ξ1,ξ2,ξ3)/?ξ3＞0 ,a3會認(rèn)為付出努力是值得的.則a3愿意參與的條件是:

如果a3 不愿意加入博弈, 則有ξ3 =0 ,于是由式(5)有而為a1和a2博弈均衡的總期望值.在這種情況下,如果要吸引a3加入尋租博弈中來, 則必需有:e33＞,當(dāng)φ=0 時,可以看出a3只有在其預(yù)期值大于a1 和a2 估值的平均值時才愿意加入.

(2)情況二:假設(shè)此時a1 和a3 已參與尋租博弈中, 而a2正考慮是否參與, 如果a2的期望的邊際收益為正, 即?U a2(ξ1,ξ2,ξ3)/?ξ2＞0 ,a2會認(rèn)為付出的努力是值得的.則a2愿意參與的條件是:

如果a2不愿意加入博弈, 則有ξ2=0 ,于是由式(4)有而為a1和a3博弈均衡的總期望值.在這種情況下, 如果要吸引a2加入尋租博弈中來, 則必需有:e22＞,當(dāng)φ=0 時,可以看出a2只有在其預(yù)期值大于a1和a3估值的平均值時才愿意加入.如果a1和a3對尋租博弈的期望值有所提高, 則a2也必需提高期望值來達(dá)到加入博弈的目的.

從差異估值的分析可以看出, 當(dāng)市場上存在兩位開發(fā)商參與尋租博弈時, 只有當(dāng)?shù)谌邔τ谕恋貎r值的期望值大于前兩位開發(fā)商的平均值時, 他才會愿意加入博弈.也就是說,第三者的加入受到前兩位開發(fā)商期望值的約束.同理可以推廣到第N位開發(fā)商的情況,其加入博弈的條件受到前N-1 位開發(fā)商的平均期望值的約束.

3 尋租博弈均衡策略

從上面的分析可以看出,a1,a2,a3對于主動參與博弈的最小期望值分別為

于是每位開發(fā)商的均衡策略可表示為

(1)開發(fā)商a1 的均衡策略如下:

①當(dāng)eii＞e*ii,i∈{1,2 ,3}時,

②當(dāng)e22≤e2*2時,

③當(dāng)e33 ≤e3*3時,

④當(dāng)e11≤e1*1時, ξ1*=0 .

(2)開發(fā)商a2的均衡策略如下:

①當(dāng)eii＞e*ii,i∈{1,2 ,3}時,

②當(dāng)e11≤e1*1時,

③當(dāng)e33≤e3*3時,

④當(dāng)e22≤e2*2時, ξ2*=0 .

(3)開發(fā)商a3的均衡策略如下:

①當(dāng)eii＞e*ii,i∈{1,2 ,3}時,

②當(dāng)e11≤e1*1時,

③當(dāng)e22 ≤e2*2時,

④當(dāng)e33≤e3*3時, ξ3*=0 .

在此尋租博弈中,若假設(shè)所有開發(fā)商都會積極加入競爭,于是對a1,a2,a3的行動進(jìn)行比較, 可以發(fā)現(xiàn), 若a1和a2認(rèn)為對方獲勝的概率比較大,即:增大φ值, 則對于競爭中所產(chǎn)生的期望支付ξ*1,ξ*2,α*則會減小, 而此時a3的期望支付ξ*3則會增加.

由于:

從式(13)中可以看出, ξ*1+ξ*2與e11,e22成正比,而與e33,φ成反比;而ξ*3與e11,e22成反比, 而與e33,φ成正比.

目前對尋租博弈研究的應(yīng)用模型通常為古諾模型及Stackelberg 模型,古諾尋租博弈在假定租金嚴(yán)格為正,博弈雙方對于可競爭租金具有相同估值,通過區(qū)分各自的支付函數(shù),在一階效用最大化條件下完成古諾均衡的策略選擇,而Stackelberg 尋租博弈中的博弈雙方對于租金擁有不對稱估值,通過比較無差異曲線的斜率發(fā)現(xiàn),率先行動者將可能有一個更高的期望支付.相比之下,Stackelberg 模型對于不完全信息條件下的尋租博弈分析具有更為重要的現(xiàn)實(shí)意義.本文所使用的方法則是基于Stackelberg 尋租博弈思想的延伸,在拓展Tullock 模型的基礎(chǔ)上,基于土地開發(fā)的不同效益期望, 得到了尋租博弈的有效均衡策略, 通過改變φ值可以實(shí)現(xiàn)尋租博弈均衡的轉(zhuǎn)移, 從而有選擇地引導(dǎo)博弈均衡策略的實(shí)現(xiàn).

4 實(shí)例分析

假設(shè)一個區(qū)域內(nèi)有三家房地產(chǎn)開發(fā)商a1,a2,a3,他們認(rèn)為自己能獲勝的期望值分別為:e11=6 ,e22=8 ,e33=10 ,而a1認(rèn)為a2能獲得開發(fā)權(quán)的期望值為φe11=0 .5 ×6 =3(φ=0 .5),a2認(rèn)為a1能獲得開發(fā)權(quán)的期望值為φe22=0 .5 ×8 =4(φ=0 .5),a3認(rèn)為a1和a2獲勝的期望值為零, 于是便形成了不同環(huán)境下的對稱尋租博弈, 可以得到期望值矩陣為

由式(7)～(9)可得:

由以上計(jì)算可知:在a1 ,a2 ,a3組成的開發(fā)商中,a1,a2,a3都會積極地加入尋租博弈中來,而a1的期望支付最小,a3的期望支付最大, ξ*3＞ξ*2＞ξ*1,由可知:在同等期望支付的條件下,a3獲勝的概率較小,而a1獲勝的概率較大.

接下來改變φ值,博弈的均衡策略將發(fā)生重大變化.假設(shè)開發(fā)商a1存在誠信問題,而開發(fā)商a2對社會的貢獻(xiàn)較突出,此時希望尋租博弈均衡向a2傾斜, 則可增大φ值,取φ=0 .8 ,期望值矩陣變化如下:

由式(7)～(9)可得:e*11=6 .90 ,e*22=5 .36 ,e*33=0 .69.由于,e11≤e*11,由前面第3 節(jié)的分析可知:ξ*1=0 ;.可以看出,在該尋租博弈中實(shí)際的支付總值ξ*1+ξ*2+ξ*3下降了,社會資源得到節(jié)約.由于開發(fā)商a1的實(shí)際期望值達(dá)不到參與博弈的最小期望值,即:e11≤e*11,故a1將淡出尋租競爭,而在開發(fā)商a2與a3的競爭中,ξ*2＜ξ*3,故在同等期望支付的條件下,a3獲勝的概率較小,而a2獲勝的概率較大.可見,通過增大φ值,使尋租博弈的均衡策略發(fā)生轉(zhuǎn)移,有利于社會公平的實(shí)現(xiàn).

5 結(jié)論

在房地產(chǎn)領(lǐng)域,開發(fā)商以自身利益最大化為目標(biāo),為獲取土地的開發(fā)權(quán)而實(shí)施尋租,開發(fā)商的尋租行為會帶來利益競爭,損害社會公平,最終會將尋租成本傳遞到房地產(chǎn)的市場定價上.本文在經(jīng)典Tullock 尋租博弈模型的基礎(chǔ)上,考慮到開發(fā)商對于土地價值期望的不同,利用期望矩陣擴(kuò)展了尋租博弈的應(yīng)用范圍.并分析了均一估值和差異估值下的博弈均衡的變化,得到了尋租博弈的有效均衡策略.該模型是對房地產(chǎn)開發(fā)商土地尋租博弈的有益嘗試,可以預(yù)測博弈的結(jié)果,通過改變φ值可以改變尋租博弈的均衡,從而有選擇地引導(dǎo)博弈均衡策略向有利于社會公平方向轉(zhuǎn)移.

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