張保俊,嵇　哲,李　華

(淮北師范大學(xué) 數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院,安徽 淮北　235000)

0　引言

引言與預(yù)備知識(shí)交換子是一類與奇異積分算子相關(guān)聯(lián)的重要算子,由于它與偏微分方程Cauchy積分等問題有密切的聯(lián)系,所以交換子是調(diào)和分析的重要問題之一.而多線性奇異積分算子又是交換子的推廣,因而具有重要的意義.θ型Calderon-Zygmund核是在1985年由Yabuta引入的,之后關(guān)于這一類帶有θ型Calderon-Zygmund核的多線形奇異積分算子引起廣泛的關(guān)注.

下面定義如下推廣的θ型Calderon-Zygmund核:

定義1設(shè)θ為R+=(0,∞)上非負(fù)不減函數(shù),若滿足

1) |K(x,y)|≤C|x-y|-n,x≠y;

則Rn×Rn{(x,x):x∈Rn}上的可測(cè)函數(shù)K(x,y)被稱為是一個(gè)推廣的θ型核.

1　引理及主要證明

本文需要的幾個(gè)引理.

引理1[3]設(shè)b(x)是定義在Rn上的函數(shù),且m階微商屬于Ln(Rn),對(duì)某個(gè)s,n

則

引理5[5](Marcinkiewicz算子內(nèi)插定理)

設(shè)T為線形算子.如果T為(p0,p0)(1

2　主要結(jié)果

定理1的證明設(shè)f∈L1(Rn)∩L2(Rn),由引理2得,

其中M2f(0)≤‖f‖∞.

由于Rm+1(A,x,y)=Rm+1(ABε,x,y),所以

Ι(x)+Π(x).

由文獻(xiàn)[3]知

|Rm(ABε;x,y)-Rm(ABε;x0,y)|≤

由于|β|

(*)

所以

同(*)方法

則

上面用到了關(guān)系式：|x0-y|≈|x-y|≈|y|≥|x-x0|.

同(*)方法

那么得到

Ι(x)≤Ι1(x)+Ι2(x)≤

則

令

由于

則得到,

同理

由平移不變性,對(duì)任意球體B,存在ΙB,使下面不等式成立.

參考文獻(xiàn)：

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