牟曉宇

(吉林師范大學(xué) 數(shù)學(xué)學(xué)院,吉林 四平 136000)

1 中西古代對π的計(jì)算

在人類的歷史上許多民族都或早或晚的涉及了π的計(jì)算，但都沒有達(dá)到古代中國和古希臘的計(jì)算精度.中國最早的數(shù)學(xué)著作《周髀算經(jīng)》里有關(guān)圓周率的計(jì)算是“周三徑一”，可見當(dāng)時(shí)認(rèn)為π=3；西漢時(shí)期的劉歆認(rèn)為π=3．1547；約在公元二世紀(jì)，張衡取π=3.1466和3.162；三國時(shí)吳王蕃認(rèn)為π=3.1566[1].但這些圓周率是通過什么樣的計(jì)算方法獲得的在中國古代的典籍中還缺乏明確的記載.中國歷史上可以和歐幾里得比肩的數(shù)學(xué)家劉徽在《九章算術(shù)注》中開創(chuàng)性的用“割圓術(shù)”的方法來計(jì)算圓周率，在中國的歷史中可謂是第一個(gè)對π進(jìn)行系統(tǒng)性理論性計(jì)算的數(shù)學(xué)家.用現(xiàn)代的幾何學(xué)觀點(diǎn)解讀劉徽的“割圓術(shù)”，可以發(fā)現(xiàn)劉徽非常巧妙地利用圓的內(nèi)接正多邊形去無限分圓.劉徽認(rèn)為當(dāng)正n邊形的邊數(shù)越多時(shí)，圓的面積便與這個(gè)內(nèi)接正多邊形面積越接近.劉徽指出：“割之彌細(xì)，所失彌少.割之又割，以至少不可割，則與圓合體而無所失矣”.通過計(jì)算得出π=3.14.后又進(jìn)一步求得π=3.1416.在劉徽之后南北朝時(shí)期著名的數(shù)學(xué)家、天文學(xué)家祖沖之(公元429-509)在其《綴術(shù)》中對圓周率的進(jìn)一步計(jì)算，不僅使結(jié)果更為精準(zhǔn)，而且把中國有關(guān)圓周率的研究又向前推進(jìn)了一步.遺憾的是祖沖之的數(shù)學(xué)著作《綴術(shù)》失傳了，成為中國數(shù)學(xué)史上的一大憾事.

2 中西古代數(shù)學(xué)家對π的研究的啟示

數(shù)學(xué)是一個(gè)民族理性思維創(chuàng)造力的表現(xiàn)，是一種抽象推理思維的表現(xiàn)形式.這種體現(xiàn)在數(shù)學(xué)家身上的理性思維的創(chuàng)造形式往往代表了不同民族對數(shù)學(xué)的理解與應(yīng)用.古代中國與古希臘是兩個(gè)不同的民族，但不同的計(jì)算方法卻獲得了幾乎有些相近的結(jié)果.當(dāng)我們把這兩個(gè)民族有代表性的方法—?jiǎng)⒒盏摹案顖A術(shù)”與阿基米德的“窮竭法”作以比較時(shí)，就會發(fā)現(xiàn)這兩位古人所用的思維方式有著奇妙的相似之處.他們都考慮從逐步增加圓的內(nèi)接正多邊形著手，進(jìn)而獲得圓的周長與直徑之間的關(guān)系.中國古代數(shù)學(xué)家劉徽用圓內(nèi)接正多邊形分割圓的周長時(shí)，認(rèn)識到當(dāng)多邊形的邊數(shù)無窮多時(shí)，就可以用正多邊形的邊長來替代圓的周長.通過前面的介紹可以看到“割圓術(shù)”涉及到極限的無窮思想與無窮小分割，是一個(gè)無限計(jì)算的過程.與此相類似，古希臘也是用圓內(nèi)接正多邊形的方法取得圓周率的計(jì)算，但是古希臘的“窮竭法”不含明確的極限步驟，它依賴于間接證法[2].即為證明一個(gè)幾何量(面積，體積等)S等于一個(gè)給定量C，以分割法構(gòu)造出兩個(gè)序列{Ln}和{Un}，使得對所有n,都有Ln

在劉徽的“割圓術(shù)”中可以看到他的主要思想是無限細(xì)分中的曲直轉(zhuǎn)化.追溯歷史可以發(fā)現(xiàn)這是中國古代數(shù)學(xué)家一種樸素直觀的邏輯聯(lián)想，但是還缺乏明確的計(jì)算和演繹步驟.古希臘人是對數(shù)學(xué)有特別崇拜心理的民族，畢達(dá)哥拉斯(Pythagoras)學(xué)派把善與惡同有限與無限聯(lián)系起來;亞里士多德(Aristotle)提出要把潛在的無窮(大)與真實(shí)的無窮(大)加以區(qū)別，并且認(rèn)為只存在潛在的無窮大[2].由此可以看出古希臘的數(shù)學(xué)都回避無限無窮的方法，以免把“惡”的“數(shù)學(xué)”引進(jìn).

在中國古代的數(shù)學(xué)家看來數(shù)學(xué)只是一種計(jì)算或計(jì)量的“術(shù)”，它的作用只能被用來解釋具體問題的數(shù)量性.于是在想到無窮分割之后，認(rèn)為直與曲沒有什么區(qū)別，至于無窮的存在是否“善”與“惡”是不在中國古代數(shù)學(xué)家的思考之列的.中國人關(guān)注社會實(shí)踐，關(guān)注數(shù)學(xué)解決實(shí)際，對數(shù)學(xué)是“善”、是“惡”并不在意.當(dāng)然對無限(無窮)的使用也就順其自然了.拿《九章算術(shù)》來說,里面的二百四十六個(gè)數(shù)學(xué)問題,都是為了解決當(dāng)時(shí)的某些生產(chǎn)實(shí)踐活動(dòng)而提出來的[4].但對由此形成的數(shù)學(xué)方法、數(shù)學(xué)理論構(gòu)成形式并不十分關(guān)注.數(shù)學(xué)家張奠宇教授認(rèn)為中國古代數(shù)學(xué)就是一種“管理數(shù)學(xué)”和“木匠數(shù)學(xué)”，這種數(shù)學(xué)觀無法使中國的古代數(shù)學(xué)形成進(jìn)一步的理性構(gòu)建[5].也有的研究的學(xué)者認(rèn)為劉徽的這種思想起源于古代勞動(dòng)人民用磚砌物的生產(chǎn)實(shí)踐.而阿基米德的“窮竭法”與現(xiàn)今我們所用的“兩面夾”證明方法相類似，具有較高的理性思維和邏輯演義論證.在古希臘，數(shù)學(xué)是哲學(xué)家追求真理整體的一部分，因而必須是演繹的.美國數(shù)學(xué)史學(xué)者M(jìn)·克萊因指出:古希臘的數(shù)學(xué)家是一種哲學(xué)思想的幾何學(xué)家，他們從哲學(xué)、邏輯的演繹推理中獲得啟發(fā)，以宗教哲學(xué)為價(jià)值取向，深入追究我們可以看到數(shù)學(xué)在古希臘是一種理性的信仰[5].正是由于對數(shù)學(xué)的信仰和崇拜，數(shù)學(xué)所使用的方法、運(yùn)算的形式都嚴(yán)格地受到了限制.所以古希臘人放棄了直觀的無限思維方法，而采用“雙邊夾”的非無限的證明方式.

3 從π的創(chuàng)造中體現(xiàn)的古代中西民族文化

考察中西方對π的計(jì)算及其使用方法，討論由此形成的關(guān)于無限(無窮)的觀念可以看出古代中西方對數(shù)學(xué)價(jià)值觀存在著很大差異.中國古代的文化傳統(tǒng)主要是儒家文化，儒家文化圈學(xué)習(xí)者的數(shù)學(xué)觀比較狹窄，把數(shù)學(xué)視為一門可計(jì)算的學(xué)科.因此中國古代數(shù)學(xué)是“計(jì)算”及實(shí)用的，即作為一種應(yīng)用性的技術(shù)來解決實(shí)際問題，在中國古代的民族文化中數(shù)學(xué)只是禮、樂、射、御、書、數(shù)六藝中的一個(gè)技藝.從數(shù)學(xué)文化學(xué)的意義來說，數(shù)學(xué)作為一種技藝是文化體系中技術(shù)的子系統(tǒng).西方文化的一個(gè)重要特征就是古希臘人把數(shù)學(xué)思維方式、數(shù)學(xué)的構(gòu)造模式上升到一種理性精神，這個(gè)理性精神后來被基督教吸收，用到對世界的、宗教信仰的思考上[5].在古希臘以及后來的西方文化中，追求非實(shí)用的數(shù)學(xué)理論是一種重要傾向，文化傳統(tǒng)的研究認(rèn)為，人類的文化系統(tǒng)通?？梢苑譃槿齻€(gè)大系統(tǒng)，即精神文化的子系統(tǒng)、組織與制度文化的子系統(tǒng).技術(shù)與生產(chǎn)的子系統(tǒng).比較而言，數(shù)學(xué)在古希臘的文化系統(tǒng)中處于理性或信仰的精神子系統(tǒng)[5].而中國古代數(shù)學(xué)處于技術(shù)生產(chǎn)的子系統(tǒng).縱觀中西和整個(gè)人類歷史長河我們可以看到，追求一個(gè)理性意義上的構(gòu)建要比追求實(shí)用有更深遠(yuǎn)的意義，因?yàn)榧词箶?shù)學(xué)作為一種理論、方法的形式失去應(yīng)用以后，它還會依附于精神子系統(tǒng)中的哲學(xué)或理性研究模式，在精神、觀念的范疇內(nèi)傳播.這種精神子系統(tǒng)的傳播，使數(shù)學(xué)最終會獲得關(guān)于自身理論、方法研究的關(guān)注，從而形成自身研究發(fā)展的新特點(diǎn).相比之下，中國古代數(shù)學(xué)作為一種技法，當(dāng)它在找不到社會的實(shí)踐應(yīng)用之后，就會隨著實(shí)用的社會需求消失而衰落、失傳[5].換句話說，在中國文化傳統(tǒng)中超越給定的技藝至用的發(fā)展方向的數(shù)學(xué)最終必然會成為“絕學(xué)”.

比較中國與古希臘在圓周率方面的研究，比較這兩個(gè)民族研究圓周率的方法，我們可以發(fā)現(xiàn)古希臘注重理性構(gòu)建、注重邏輯體系的數(shù)學(xué)理論.數(shù)學(xué)方法在古希臘文明衰落以后，仍然得以保存、發(fā)展，并最終以《幾何原本》的形式在世界各種文化中傳播.然而，注重實(shí)用、注重自然直觀邏輯思維的中國古代數(shù)學(xué)就是在中國文化傳統(tǒng)中也沒有構(gòu)成一種理論體系.(中國古代數(shù)學(xué)形成的籌算理論，實(shí)際在宋元時(shí)代之后就逐漸失傳了).由此可見，通過回溯π的歷史，比較研究東西方民族的差異，借鑒和學(xué)習(xí)西方文化中的理論追求，會把我們中國的數(shù)學(xué)推向新的發(fā)展道路.

[1]錢寶琮.中國數(shù)學(xué)史[M].北京:科學(xué)出版社出版,1964.

[2]M·克萊因.古今數(shù)學(xué)思想[M].上海:上?？茖W(xué)技術(shù)出版社,2002.

[3]孫宏安.中國古代數(shù)學(xué)思想[M].大連:大連理工大學(xué)出版,2008.

[4]李強(qiáng).祖聰之圓周率產(chǎn)生的歷史條件[J].中國歷史博物館館刊,1987.

[5]王憲昌,劉鵬飛,耿鑫彪.數(shù)學(xué)文化概論[M].北京:科技出版社,2010.