龔相超，胡百鳴

（武漢科技大學(xué)冶金工業(yè)過程系統(tǒng)科學(xué)湖北省重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，湖北武漢，430065）

有關(guān)液壓缸臨界載荷的計(jì)算方法很多，但不同的計(jì)算方法和計(jì)算模型結(jié)果差別很大[1]，原因是液壓缸所受載荷的工作階段及環(huán)境因素的不同，致使液壓缸的失穩(wěn)因素具有某種不確定性，即模糊性和隨機(jī)性。常規(guī)液壓缸穩(wěn)定性計(jì)算采用的是安全系數(shù)法，該法較大程度上依賴于設(shè)計(jì)者的經(jīng)驗(yàn)，因而不能充分反映實(shí)際存在的諸多不確定性因素的影響，為此，本文采用模糊可靠性方法來(lái)計(jì)算液壓缸的穩(wěn)定性。

1 模糊可靠度計(jì)算原理

設(shè)液壓缸工作壓力P和臨界壓力Pcr分別為論域U，V上的模糊子集S、R，故P∈U，Pcr∈V，且用數(shù)s、r來(lái)表述，s∈[0，1]，r∈[0，1]，s、r分別為S、R的隸屬度。S、R的隸屬函數(shù)分別為fs（P）、fr（Pcr）。模糊子集R中每個(gè)元素Pcr都可以作為穩(wěn)定性判據(jù)，因而將傳統(tǒng)設(shè)計(jì)中的單一判據(jù)擴(kuò)大為判據(jù)空間，在此基礎(chǔ)上進(jìn)行液壓缸穩(wěn)定性可靠度的計(jì)算，以此增大與實(shí)際情形相符的概率[2]。

設(shè)判據(jù)實(shí)空間Ω，對(duì)任意一個(gè)作為判據(jù)Pcr（Pcr∈Ω）都指定一個(gè)數(shù)μr∈[0，1]，即判據(jù)Pcr對(duì)模糊判據(jù)集（臨界壓力模糊子集R）的隸屬度，考慮到設(shè)計(jì)的安全因素，其隸屬度函數(shù)采用連續(xù)偏小型隸屬度函數(shù)。液壓缸的軸向壓力P可按隨機(jī)變量來(lái)設(shè)計(jì)，常見的分布有正態(tài)分布、威布爾分布等，一般根據(jù)實(shí)際工況來(lái)確定，本文計(jì)算采用正態(tài)分布。根據(jù)模糊等效隨機(jī)原理，將復(fù)雜的模糊不確定性等效為隨機(jī)不確定性[3]，得到工作壓力概率密度分布函數(shù)與液壓缸臨界壓力Pcr的隸屬函數(shù)組合，液壓缸穩(wěn)定性模糊可靠度可采用概率密度函數(shù)聯(lián)合積分法積分得到，也可采用功能密度函數(shù)積分法得到[4]。

2 臨界壓力隸屬函數(shù)

表1 臨界載荷計(jì)算值Pcr、實(shí)測(cè)值Pcr1及相對(duì)誤差δTable 1 Theoretical and experimental critical load values

傳統(tǒng)液壓缸穩(wěn)定性設(shè)計(jì)多采用歐拉公式和拉金公式[5]，且將液壓缸視為理想的等截面直桿，截面慣性矩取活塞桿與缸筒中較小者。研究表明，該法所得臨界壓力值趨于保守，作為判據(jù)的可信度為1。采用文獻(xiàn)[6]試驗(yàn)數(shù)據(jù)，臨界載荷歐拉計(jì)算值、實(shí)測(cè)值及相對(duì)誤差如表1所示。從表1中可以看出，所有臨界載荷的實(shí)測(cè)值均較計(jì)算值大，最大相對(duì)誤差為30.7%，最小相對(duì)誤差為1.3%，平均相對(duì)誤差為19.2%。因此臨界載荷的隸屬度函數(shù)采用降半階正態(tài)分布[7]，如圖1所示。臨界壓力為正態(tài)型模糊變量，其隸屬度函數(shù)可表示為

式中：μr（Pcr）為模糊臨界壓力的隸屬度函數(shù)；Pcr為模糊臨界壓力；ar為等截面歐拉公式計(jì)算值；σr為模糊臨界壓力的標(biāo)準(zhǔn)差。

圖1 臨界載荷隸屬度函數(shù)Fig.1 Membership grade function of critical load

σr是反映液壓缸真實(shí)臨界壓力合理取值的重要參數(shù)，將液壓缸臨界壓力這一模糊變量等效為隨機(jī)變量，則模糊臨界壓力等效概率密度函數(shù)為

3 模糊可靠度

鑒于現(xiàn)場(chǎng)工況較為復(fù)雜，液壓缸所受荷載具有很大的隨機(jī)性，故將本文液壓缸隨機(jī)載荷視為正態(tài)分布形式，其概率密度函數(shù)為

式中：P為隨機(jī)載荷；as為隨機(jī)載荷均值；σs為隨機(jī)載荷標(biāo)準(zhǔn)差。

為了使計(jì)算結(jié)果盡可能符合實(shí)際情況，隨機(jī)載荷標(biāo)準(zhǔn)差σs應(yīng)根據(jù)實(shí)際統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)確定?；诂F(xiàn)場(chǎng)諸多不確定性因素，as的離散性很大，故取

對(duì)于已知臨界壓力和工作載荷概率密度的情形，可采用概率密度函數(shù)聯(lián)合積分法得到可靠度[4]，概率密度函數(shù)聯(lián)合積分原理如圖2所示。代入載荷和臨界壓力的概率密度函數(shù)積分后可得液壓缸穩(wěn)定性可靠度R。

若式（4）積分得不到原函數(shù)，則可用數(shù)值積分計(jì)算出可靠度。由于本文液壓缸的臨界壓力和工作載荷均為正態(tài)分布，且二者為相互獨(dú)立的隨機(jī)變量，所以采用功能密度函數(shù)積分法[3]得到。定義隨機(jī)變量Z＝Pcr－P仍服從正態(tài)分布N（aZ，σZ），其中；可靠性指數(shù)則可靠度符合標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布。

圖2 概率密度函數(shù)聯(lián)合積分Fig.2 Joint probability density function integral

液壓缸可靠度可查標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)概率積分表得到?？梢娪檬剑?）來(lái)計(jì)算穩(wěn)定性可靠度簡(jiǎn)單易行。

4 計(jì)算實(shí)例

沿用文獻(xiàn)[1]表2中的第5號(hào)液壓缸，等截面直桿臨界壓力計(jì)算值和試驗(yàn)實(shí)測(cè)值分別為126.27 k N和153.46 k N，相對(duì)誤差為17.7%，將數(shù)值代入式（1），且σr＝0.192ar，可得臨界壓力的隸屬度函數(shù)和等效概率密度函數(shù)分別為

鑒于液壓缸工況環(huán)境復(fù)雜，取安全系數(shù)為k＝2，as＝ar／k，且令σs＝0.2as

對(duì)于工況特別復(fù)雜的情形，可取k＝2.5，令σs＝0.3as，則β＝3.235 0，R＝0.999 4。考慮到液壓缸的臨界載荷受到液壓油、導(dǎo)向長(zhǎng)度、約束等諸多因素的影響，參考表1中數(shù)據(jù)，宜取σr＝0.2ar和σs＝0.2as。

5 結(jié)語(yǔ)

本液壓缸穩(wěn)定性可靠度計(jì)算方法為復(fù)雜環(huán)境和載荷及特殊工況下的設(shè)計(jì)提供了一條新思路，可以降低傳統(tǒng)液壓缸設(shè)計(jì)中對(duì)設(shè)計(jì)者經(jīng)驗(yàn)的依賴性。本文中的幾個(gè)重要參數(shù)的選取僅參考了表1中的1組實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)，要想獲得與實(shí)際情況吻合的理想?yún)?shù)值，尚需進(jìn)行大量的試驗(yàn)數(shù)據(jù)統(tǒng)計(jì)分析。本文各個(gè)參數(shù)和概率的計(jì)算采用了MATLAB軟件編程，MATLAB提供了豐富的概率統(tǒng)計(jì)函數(shù)，使得計(jì)算程序異常簡(jiǎn)潔。

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