黨紅剛，何萬生，劉曉君

(天水師范學(xué)院 數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院，甘肅 天水 741001)

自從1990年 L.M.Pecora 和 T.L.Carroll［1］提出驅(qū)動(dòng)——響應(yīng)同步方法，線性和非線性反饋控制［2－3］、自適應(yīng)控制［4］、模糊控制等多種不同方法都被成功地應(yīng)用于混沌系統(tǒng)的控制與同步中。自適應(yīng)控制方法由于其控制簡單，物理圖像明了，易于操作，使其在混沌同步的研究中占有非常重要的地位。劉崇新等于2004年提出了一個(gè)新混沌系統(tǒng)［5］，并研究了它的Lyapunov指數(shù)，Lyapunov維數(shù)及其吸引子的形成機(jī)制。文獻(xiàn)［6－10］研究了不確定Liu混沌系統(tǒng)的控制與同步。本文以Liu混沌系統(tǒng)為例，采用自適應(yīng)控制方法實(shí)現(xiàn)混沌同步，把這種同步方案應(yīng)用到保密通訊中，并用Matlab數(shù)值仿真證明這種方案的有效性。

1 Liu混沌系統(tǒng)的模型及其混沌特性

Liu系統(tǒng)如下:

其中，(x，y，z)T∈R3為系統(tǒng)的狀態(tài)變量，a，b，c，k，h 為控制參數(shù);當(dāng)選取參數(shù) a=10，b=40，c=2.5，k=1，h=4 時(shí)，具有三個(gè)平衡點(diǎn):s1=(0，0，0)，s2=(5，5，40)和 S3=(－5，－5，40)，系統(tǒng)的 Lyapunov指數(shù)為(1.64328，0，－14.142)。此時(shí)系統(tǒng)處于混沌狀態(tài)。

2 參數(shù)未知的自適應(yīng)同步

混沌系統(tǒng)的最大特點(diǎn)就在于系統(tǒng)的演化對(duì)初始條件十分敏感。在未加控制的情況下對(duì)于兩個(gè)完全相同的Liu系統(tǒng)，若選取的初值不同，則兩個(gè)系統(tǒng)的軌道會(huì)迅速分開變得毫不相干，如果設(shè)計(jì)適當(dāng)?shù)目刂破?，就可以使兩個(gè)Liu系統(tǒng)從任何初始條件下出發(fā)都可以漸近的達(dá)到同步，設(shè)系統(tǒng)(1)為驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)，響應(yīng)系統(tǒng)為:

其中(x1，y1，z1)T∈R3是響應(yīng)系統(tǒng)狀態(tài)向量，a，b，c，k，h 是已知參數(shù)，(k1，h1)T是參數(shù)(k，h)T的估計(jì)，u=(u1，u2，u3)T是控制器。記狀態(tài)誤差變量為e1=x1－x，e2=y1－y，e3=z1－z，ek=k1－k，eh=h1－h(huán)。

設(shè)計(jì)的控制器為:

未知參數(shù)k，h自適應(yīng)辨識(shí)結(jié)構(gòu)為:

定理1 若選取控制器為(3)式，并且參數(shù)自適應(yīng)辨識(shí)結(jié)構(gòu)為(4)時(shí)，驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)(1)和響應(yīng)系統(tǒng)(2)從任意初始值出發(fā)均可達(dá)到同步。

證明 (2)式－(1)式整理得誤差方程:

令Lyapunov函數(shù)為

3 混沌保密通信中的應(yīng)用

混沌同步應(yīng)用在保密通信中的基本思路是通信系統(tǒng)的發(fā)送端利用混沌信號(hào)作為載波，將有用信號(hào)隱藏在混沌信號(hào)之中，而在接收端利用混沌同步恢復(fù)出傳輸?shù)男盘?hào)，從而實(shí)現(xiàn)傳輸信號(hào)從發(fā)送端加密到接收端解密的全過程。實(shí)現(xiàn)混沌保密通信的關(guān)鍵是發(fā)送系統(tǒng)與接收系統(tǒng)之間混沌同步。

下面以Liu混沌系統(tǒng)為例，基于混沌掩蓋方法，用混沌信號(hào)與有用信號(hào)相加的方式，驗(yàn)證在(3)控制器和(4)參數(shù)識(shí)別對(duì)于響應(yīng)系統(tǒng)(1)和驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)(2)在通信系統(tǒng)中的有效性。

設(shè)i(t)為有用信號(hào)，混合發(fā)送信號(hào)為s(t)=i(t)+x(t)，混合接收信號(hào)為˙s(t)=+x1(t)。建立如下發(fā)送系統(tǒng)和接收系統(tǒng):

采用(3)式控制器和(4)式參數(shù)識(shí)別對(duì)上述系統(tǒng)進(jìn)行驗(yàn)證。

4 數(shù)值仿真

針對(duì)驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)(1)和響應(yīng)系統(tǒng)(2)構(gòu)造的非線性自適應(yīng)同步方案，令系統(tǒng)參數(shù)值為(a，b，c，k，h)=(10，40，2.5，1，4)，驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)向量初值為(x，y，z)=(2，2，2)，響應(yīng)系統(tǒng)向量初值為(x1，y1，z1)=(4，4，6)，未知參數(shù)初值為(k1，h1)=(3，1)，i(t)=sin(t)，采用步長為0.01的四階龍格－庫塔函數(shù)進(jìn)行仿真，圖1為 e1，e2，e3的誤差曲線圖，圖2為 k1，h1的辨識(shí)曲線圖，控制器成功的實(shí)現(xiàn)了系統(tǒng)狀態(tài)同步和系統(tǒng)不確定參數(shù)的識(shí)別。對(duì)于有用信號(hào)i(t)=sin(t)，由圖3－圖6可以看出，經(jīng)過一段短暫的時(shí)間后，接收系統(tǒng)有效地恢復(fù)了傳送的有用信號(hào)。

圖1 非線性參數(shù)未知的同步誤差曲線圖

圖2 參數(shù)未知的參數(shù)辨識(shí)曲線圖

圖3 輸入的有用信號(hào)

圖4 輸出的有用信號(hào)

圖5 混合信號(hào)

圖6 輸入和輸出的信號(hào)誤差

5 結(jié)論

本文針對(duì)保密通信的應(yīng)用，以Liu混沌系統(tǒng)設(shè)計(jì)了一套自適應(yīng)混沌同步方法，將傳輸信號(hào)調(diào)制到驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)中形成混沌信號(hào)，通過信道傳輸?shù)巾憫?yīng)系統(tǒng)，在響應(yīng)系統(tǒng)中通過設(shè)計(jì)合適的控制器，并在驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)的k1，h1參數(shù)未知的情況下，可以使兩個(gè)系統(tǒng)在初始值不同的情況下達(dá)到混沌同步，從而將傳輸信號(hào)成功解密，實(shí)現(xiàn)保密通信。通過實(shí)例及數(shù)值仿真表明，該方法運(yùn)用廣泛、方案設(shè)計(jì)簡單，收斂速度快，同步時(shí)間短。

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