楊曉雷

(上海師范大學數(shù)理學院 上海 200234)

在實際電路中，即使是一個簡單的線圈，不僅有電感，還有電阻，不能分割，但可以用集中的電感L與電阻R串聯(lián)電路模型來表示.作為具有代表性的典型模型，經(jīng)常研究電阻、電感、電容串聯(lián)電路.

1 RLC串聯(lián)電路的特點與諧振現(xiàn)象

如圖1所示是由電阻、電感和電容相串聯(lián)所組成的RLC串聯(lián)電路.在此電路中，電容和電感是儲能元件，其中能量的轉換是可逆的，而電阻是耗能元件，其中電能單向地轉為熱.

圖1 RLC串聯(lián)電路

由電阻R，電感L，電容C與直流電源組成的各種組合電路中，當電源由一個電平的穩(wěn)定狀態(tài)變?yōu)榱硪粋€不同電平的穩(wěn)定狀態(tài)時(如接通或斷開直流電源)，由于電路中電容上的電壓不會瞬間突變和電感中的電流不會瞬間突變，這樣電路由一個穩(wěn)定狀態(tài)變到另一個穩(wěn)定狀態(tài)中間要經(jīng)歷一個變化過程，這個變化過程稱為暫態(tài)過程.利用暫態(tài)過程的規(guī)律可以測量R，L，C元件的量值，也可用于產(chǎn)生脈沖信號(如鋸齒波、微分脈沖信號等).而RLC串聯(lián)電路如果與頻率可調的交流電源組合后，當電源的頻率與RLC串聯(lián)電路的固有頻率相等時，會發(fā)生諧振現(xiàn)象.因而暫態(tài)過程的規(guī)律和諧振現(xiàn)象在電磁學、電子技術等領域中的用途非常廣泛.

1.1 RLC串聯(lián)電路的特點

從能量變化的角度來說明，由于RLC串聯(lián)電路中存在著兩種不同性質的貯能元件，因此它的過渡過程就不僅是簡單的積累能量和釋放能量，還可能發(fā)生電容的電場能量和電感的磁場能量相互反復交換的過程，這一點決定于電路參數(shù).當電阻比較小時(該電阻應該是電感線圈本身的電阻和回路中其余部分電阻之和)，電阻上消耗的能量較小，而L和C之間的能量交換占主導位置，所以電路中的電流表現(xiàn)為振蕩過程.當電阻較大時，能量來不及交換就在電阻中消耗掉了，使電路只發(fā)生單純的積累或釋放能量的過程，即非振蕩過程.

在RLC串聯(lián)電路中，無論電壓、電流怎樣變化，在任意時刻，它們仍應該遵守基爾霍夫定律.

1.1.1 電壓與電流的瞬時關系

設在上述電路中通過的正弦交流電流為i=Imsinωt，則

uR=ImRsinωt

u=uR+uL+uC

1.1.2 相量圖(圖2，以電流為參考相量)

圖2 電流與電壓關系的相量圖

1.1.3 端電壓與電流的關系

圖3 電壓三角形

(1)大小關系

1)電壓三角形：電路的端電壓與各分電壓構成一直角三角形，叫電壓三角形(圖3).

2)RLC串聯(lián)電路中歐姆定律的表達式

圖4 阻抗三角形

3)電抗：感抗與容抗之差叫做電抗.用X表示X=XL-XC，單位為Ω.

4)阻抗三角形：如圖4所示，阻抗角φ為|Z|與R兩個邊的夾角

(2)相位關系

1)當XL>XC時，端電壓超前電流φ角，電路呈電感性，稱為電感性電路.

2)當XL

3)當XL=XC時，端電壓與電流同相，電路呈電阻性，電路的這種狀態(tài)叫串聯(lián)諧振.

1.2 RLC串聯(lián)電路的諧振

在RLC串聯(lián)電路中，當電路端電壓和電流同相時，電路呈電阻性，電路的這種狀態(tài)叫串聯(lián)諧振.諧振是正弦交流電路在特定條件下產(chǎn)生的一種特殊物理現(xiàn)象.諧振現(xiàn)象在無線電和電工技術中得到廣泛應用，研究電路中的諧振現(xiàn)象有重要的實際意義.交流電路的諧振有很多用途，一般可用于測量電感、電容、頻率，還可用于選頻、陷波、調諧放大、作振蕩器和頻率補償?shù)?

1.2.1 串聯(lián)諧振的條件

由以上分析可知，串聯(lián)電路發(fā)生諧振的條件是

XL-XC=0 或XL=XC

即

1.2.2 實現(xiàn)電路諧振的方法

(1)如果電感L和電容C固定不變，可通過改變電源頻率使電路諧振.設串聯(lián)諧振時的角頻率為ω0，頻率為f0，則

其中L的單位為H，C的單位為F，f0的單位為Hz.

諧振時的角頻率和頻率僅決定于電路的電感和電容的量值，是電路所固有的.所以f0和ω0常稱為電路的固有頻率和電路的固有角頻率.當電源頻率等于電路的固有頻率時，電路發(fā)生諧振.

(2)如果電源的頻率一定，可改變電感或電容使電路諧振.

改變電感或電容，都能改變電路的固有頻率f0，使f0等于電源頻率f，電路就出現(xiàn)諧振現(xiàn)象.調節(jié)L或C使電路諧振的過程稱為調諧.

1.2.3RLC串聯(lián)諧振的基本特點

(2)諧振時，電路中電流最大,且與電源電壓同相.

(3)諧振時，電路的電抗為零，感抗和容抗相等并等于電路的特性阻抗ρ.

由于諧振時

則

所以

(4)諧振時，電感與電容兩端的電壓相等，且相位相反，其大小為電源電壓U的Q倍.

則

UL0=UC0=QU

電路的Q值一般在50～200之間.因此，即使外加電源電壓不高，在諧振時，電路元件上的電壓仍然可能很高，特別對于電力電路來說，這就必須注意到元件的耐壓問題和設法避免過電壓問題.

1.2.4RLC串聯(lián)電路諧振時的功率關系

有功功率

電源向電路輸送電阻消耗的功率，電阻功率達到最大.

無功功率

Q=UIsinφ=QL+QC=0

穩(wěn)態(tài)時，電源不向電路輸送無功功率.電感中的無功功率與電容中的無功功率大小相等，互相補償，彼此進行能量交換.

1.2.5RLC串聯(lián)電路諧振時的能量關系

在RLC串聯(lián)電路中，電阻是耗能元件，它把電、磁能轉換成熱；電容和電感是儲能元件，它們時而儲存電、磁能，時而放出，彼此交換能量，而不消耗.

在交流電的一個周期T里，電阻元件中消耗的能量為

WR=RI2T

電容兩端的電壓

電容的儲能

電感的儲能

電路的總儲能

上式表明，電感和電容的能量按余弦或正弦規(guī)律變化，最大值相等，即WLm=WCm.L，C的磁場能量和電場能量作周期性地交換，而不與電源進行能量交換.在一般的情況下，WS是隨時間做周期變化的量，這表明，諧振電路與外界交換無功功率.但是在諧振狀態(tài)下

這時WS不再隨時間變化，且等于最大值，亦即諧振電路不再與外界交換無功功率.WS=LI2就是在諧振狀態(tài)下穩(wěn)定地儲存在電路中的電、磁能，這能量是在諧振電路開始接通時經(jīng)歷的暫態(tài)過程中由外電路輸入給它的.達到穩(wěn)定的振蕩以后，為了維持振蕩，外電路需不斷地輸入有功功率，以補償上述WR的損失，但在諧振狀態(tài)下無需再供給無功功率.

2 RLC串聯(lián)諧振電路Q值的意義

2.1 Q值的第一種意義——儲能與耗能

2.2 Q值的第二種意義——電壓分配

在諧振時，一般Q?1，UR=U，UL0=UC0=QU?U，即電感和電容的電壓相等，并且是信號源電壓的Q倍(幾十到幾百倍)，故串聯(lián)諧振電路又稱為電壓諧振電路.串聯(lián)諧振電路的這個特點為我們提供了測量電抗元件Q值的一種方法.最常用的一種測Q值的儀器——Q表，就是利用上述原理制成的.例如，當一個諧振電路Q值為100時，若電路兩端加6 V的電壓，諧振時電容或電感上的電壓將達到600 V，在實際操作中不注意到這一點，就會很危險.電力系統(tǒng)中，常常盡量避免諧振，以免擊穿電路設備(L,C等)；而電子線路中，常用此方法獲得高壓.

2.3 Q值的第三種意義——頻率的選擇性

圖5 Z,I,φ隨頻率的變化曲線

電流諧振曲線表明，由于串聯(lián)諧振回路的諧振特性，使它對ω0附近的頻率產(chǎn)生很大的電流，對遠離ω0的頻率產(chǎn)生的電流卻很小，這表明串聯(lián)諧振回路對不同頻率的信號有不同的響應，這種響應說明串聯(lián)諧振回路具有選擇所需頻率信號的能力，即能把ω0附近的無線電信號選擇出來，同時也能把遠離ω0的頻率成分加以削弱和抑制.所以串聯(lián)諧振回路可以用作選頻電路.

回路中電流的有效值為

即

圖6 串聯(lián)諧振回路的電流幅頻特性曲線

從圖6上可以清楚地看到，較大的Q值對應著較尖銳的電流諧振曲線，而較尖銳的電流諧振曲線意味著有較高的回路選擇性.所以回路的Q值愈大，回路的選擇性就愈高.

在電子技術中，回路的Q值一般是Q≥1，因而電流諧振曲線比較尖銳.當信號頻率ω遠離ω0時，回路電流已經(jīng)很小了.這就是說，遠離ω0的信號對電路的影響基本上可以忽略不計.所以只考慮信號頻率ω接近ω0時的情況，在這種情況下可以認為

ω+ω0≈2ω

有

則

圖7 串聯(lián)諧振回路諧振曲線的通頻帶

B=f2-f1=(f2-f0)+(f0-f1)≈

Δf+Δf=2Δf

只要選擇回路的通頻帶大于或等于信號的頻帶，使信號頻帶落在回路的上、下邊界f2和f1之內，信號通過回路后產(chǎn)生的幅度失真是允許的.

由通頻帶的定義可知，在通頻帶的邊界頻率上有

令

則

因而得

即諧振電路的通頻帶寬度Δf反比于諧振電路的Q值，Q值越大(即損耗越小)，諧振電路的選擇性越強.由此得出結論(圖6)：

(1)Q值越高，幅頻特性曲線越尖銳，電路對偏離諧振頻率的信號的抑制能力越強，電路的選擇性越好.

(2)Q值越高，電路的帶寬越窄.

(3)諧振電路的實際應用舉例——收音機選臺

為減小信號失真，要求帶寬盡可能寬，希望Q值??；為抑制臨近電臺信號干擾，要求選擇性要好，希望Q值大.

實際設計時，要選取適當?shù)腝值，以兼顧選擇性和帶寬的要求.

2.4 Q值的第四種意義——阻尼振蕩

前面所提到的RLC串聯(lián)電路的暫態(tài)過程與諧振問題有著密切的聯(lián)系，因為研究的對象是共同的，即RLC串聯(lián)電路，區(qū)別只在于電路中一個無源，一個有源.在R很小時，無源RLC串聯(lián)電路能按照自身的固有頻率或周期振蕩，其固有頻率

周期

它在頻率為ω的交流電源作用下受迫振蕩時，就會在ω=ω0的條件下發(fā)生諧振，這也是振動現(xiàn)象的普遍規(guī)律.既然Q值是這個電路本身的性質，可以料到，它不僅在諧振現(xiàn)象中多方面表現(xiàn)出來，在暫態(tài)過程中也會有一定的表現(xiàn).

即

故

其實，第四種意義與前面所說的第一種意義(Q值等于諧振電路中儲存的能量與每個周期內消耗能量之比的2π倍)有著密切的聯(lián)系.在每個周期T內

參考文獻

1 馮杰.大學物理專題研究.北京：北京大學出版社，2010

2 趙凱華，陳熙謀.電磁學.北京：高等教育出版社，2006

3 梁燦彬,等.電磁學.北京：高等教育出版社，2004

4 邱關源.電路.北京：高等教育出版社，2006

5 李樹燕.電路基礎.北京：高等教育出版社，1994

6 周紹敏.電工基礎.北京：高等教育出版社，2006