于志明

(連云港師范高等?？茖W(xué)校物理系 江蘇 連云港 222006)

文獻(xiàn)[1]討論了橢圓環(huán)形剛體的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量，結(jié)果用橢圓積分給出，使用時(shí)要查《橢圓積分表》，很不方便.我們用Matlab編程對(duì)橢圓環(huán)形剛體的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量進(jìn)行了數(shù)值計(jì)算和多項(xiàng)式擬合，可以快速計(jì)算出橢圓環(huán)形剛體的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量.

1 橢圓環(huán)形剛體的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量

圖1

如圖1所示，一質(zhì)量為m，半長(zhǎng)軸為a，半短軸為b的均質(zhì)橢圓環(huán)形剛體，其解析方程可表示為

(1)

其周長(zhǎng)為

(2)

該橢圓環(huán)形剛體對(duì)過環(huán)中心且與環(huán)面垂直的軸線的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量可表示為

I=

(3)

(4)

則式(3)變?yōu)?/p>

I=

(5)

令I(lǐng)(n)=

(6)

則式(5)變?yōu)?/p>

I=ma2I(n)

(7)

由式(6)定義的I(n)只與n有關(guān)，也即只與橢圓的具體形狀有關(guān).由式(7)可知，只要計(jì)算出I(n)，就計(jì)算出了橢圓環(huán)形剛體的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量.但I(xiàn)(n)的分子、分母是兩個(gè)比較難的積分.根據(jù)文獻(xiàn)[1]，可以將I(n)用橢圓積分來表示，結(jié)果為

(8)

式(8)中的F(k)為

(9)

為第一類全橢圓積分.式(8)中的E(k)為

(10)

為第二類全橢圓積分.式(8)、(9)、(10)中的k為橢圓的偏心率，k與n的關(guān)系為

(11)

式(8)具體的積分結(jié)果要根據(jù)k值查橢圓積分表，這顯然很不方便.因而，我們?cè)O(shè)法對(duì)I(n)作數(shù)值計(jì)算，進(jìn)而實(shí)現(xiàn)對(duì)橢圓環(huán)形剛體轉(zhuǎn)動(dòng)慣量的數(shù)值計(jì)算.

2 橢圓環(huán)形剛體轉(zhuǎn)動(dòng)慣量的數(shù)值計(jì)算

根據(jù)文獻(xiàn)[2]，利用Matlab的數(shù)值積分指令編程，先對(duì)I(n)的分子、分母中的兩個(gè)積分進(jìn)行數(shù)值計(jì)算，進(jìn)而算得I(n).具體程序?yàn)?/p>

＇x＇,＇n＇);

s1=quad(y1,0,pi/2,[],[],n);

s2=quad(y2,0,pi/2,[],[],n);

I=s1/s2

取定n,將其填入第2,4句中，就可以得到相應(yīng)的I(n).

如當(dāng)n=0時(shí)，I(n)=0.333 3；

當(dāng)n=0.215時(shí)，I(n)=0.391 7；

當(dāng)n=1時(shí)，I(n)=1；

當(dāng)n=5.1時(shí)，I(n)=9.967 9；

當(dāng)n=11.5時(shí)，I(n)=45.6787；

……

這比通過查橢圓積分表求I(n)方便多了.

如在上邊的程序中加上循環(huán)語句，就可以一次連續(xù)計(jì)算出很多與n相應(yīng)的I(n)，進(jìn)而可以畫出I(n)與n的關(guān)系曲線，從中可以看出I(n)隨n的變化規(guī)律.圖2給出了n在0～20之間取值時(shí)I(n)隨n變化的情況.

圖2

由對(duì)I(n)數(shù)值計(jì)算的結(jié)果，利用Matlab中的多項(xiàng)式擬合指令，還得到了I(n)的多項(xiàng)式表達(dá)式，結(jié)果為

I(n)=0.000 4n3+0.315 9n2+0.246 1n+0.333 3

(12)

因此，橢圓環(huán)形剛體的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量可表示為

(13)

將橢圓環(huán)形剛體的質(zhì)量m,半長(zhǎng)軸a,半短軸b的值代入式(13)，可以計(jì)算出該橢圓環(huán)形剛體的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量.

參考文獻(xiàn)

1 趙新聞,周欣然,楊兵初.橢圓環(huán)形剛體的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量.大學(xué)物理,2008,27(6):13～14

2 彭芳麟,管靖,胡靜,盧圣治.理論力學(xué)計(jì)算機(jī)模擬.北京:清華大學(xué)出版社,2002.66～69