成泰民， 葛崇員， 李青云， 孫樹生

(沈陽(yáng)化工大學(xué)數(shù)理系，遼寧沈陽(yáng)110142)

范洪義的論文［1-2］較詳細(xì)地介紹了不變本征算符法應(yīng)用.因?yàn)轶w系的任意幺正變換聯(lián)系著同一個(gè)量子體系的不同表象之間的變換，所以，蘊(yùn)含著該量子體系的嚴(yán)格一致的物理內(nèi)容，這些幺正變換對(duì)該量子體系的描述是完全等價(jià)的.因此，在磁性物理及量子力學(xué)中普遍采用不同的幺正變換處理系統(tǒng)哈密頓量的對(duì)角化，求出元激發(fā)能量及基態(tài)能量.但是這一方法的關(guān)鍵是做出適合體系對(duì)角化的不同的幺正變換，利用幺正變換處理體系哈密頓量的過(guò)程也比較繁瑣［3-4］.封閉鏈的格林函數(shù)的運(yùn)動(dòng)方程法［5］(切斷近似法)也能夠處理體系元激發(fā)能量，利用此方法處理體系哈密頓量的過(guò)程中，關(guān)鍵是算符與哈密頓量之間的對(duì)易律，在此可以少考慮文獻(xiàn)［3-4］中的部分幺正變換(如Bogoliubov變換［3-4］等(注:文獻(xiàn)［3］與［4］的Bogoliubov變換表示形式不同，但都是幺正變換.只是文獻(xiàn)［3］中的Bogoliubov變換表示更凸顯其幺正性.)).本文用不變本征算符法處理線性近似下的Hamiltonian量體系的元激發(fā)能量，比上述兩種方法簡(jiǎn)捷.

1 不變本征算符法［1-2］

或者

假設(shè){|ψa〉，|ψb〉，…}是系統(tǒng)哈密頓量 ^H的本征態(tài)集合，構(gòu)成希爾伯特空間的完備態(tài)矢量集，且對(duì)應(yīng)的本征值為{Ea，Eb，…}.由(1)式、(2)式可得:

根據(jù)(3)式、(4)式可得:

從而可知，利用IEO方法無(wú)須涉及系統(tǒng)的具體量子態(tài)及波函數(shù)，可以直接對(duì)算符進(jìn)行操作得出系統(tǒng)的能譜.IEO方法的關(guān)鍵是做出所研究系統(tǒng)的不變本征算符，這一方法極大地簡(jiǎn)化了系統(tǒng)能譜的求解過(guò)程.但是IEO方法所計(jì)算的λ對(duì)應(yīng)的不是系統(tǒng)的能級(jí)，而是能級(jí)差.

2 各向異性Heisenberg反鐵磁系統(tǒng)

設(shè)單位體積內(nèi)總格點(diǎn)數(shù)為2N，可分為A、B兩個(gè)子晶格.X-Y-Z模型各向異性Heisenberg反鐵磁系統(tǒng)的Hamiltonian量表示為:

把(8)式、(9)式代入到(7)式，只保留到算符的二次項(xiàng)就可得線性近似下的哈密頓量，再進(jìn)行(10)式的宇稱變換，并考慮哈密頓量的厄米性可得:

根據(jù)(13)～(15)式，可得:

從而得:

由(17)式得到非平庸解的條件為系數(shù)行列式等于零.從而可得:

在(18)式中，舍負(fù)取正并把(12)式中的系數(shù)代入到(18)式，可得X-Y-Z模型各向異性Heisenberg反鐵磁系統(tǒng)的自旋波能量:

(19)式與文獻(xiàn)［4］的結(jié)果一致(注:因在本文中令單位體積內(nèi)總格點(diǎn)數(shù)為2N，所以，與文獻(xiàn)［4］系數(shù)上相差2倍.這是因?yàn)樵谖墨I(xiàn)［4］中令單位體積內(nèi)總格點(diǎn)數(shù)為 N之故).(19)式中“+”對(duì)應(yīng)光學(xué)支自旋波能量，“-”對(duì)應(yīng)聲學(xué)支自旋波能量.這與不同的幺正變換方法［3］所得到的結(jié)果完全一致.單從二粒子耦合體系［3］的元激發(fā)能量而言，這一結(jié)果與封閉鏈的格林函數(shù)運(yùn)動(dòng)方程法［5］計(jì)算的結(jié)果也一致，并且處理方法較相似，但是IEO方法更簡(jiǎn)捷.

3 討論

(1)由(19)式，當(dāng)X1=X2=X，X3=1時(shí)，可得X-Y-Z模型Heisenberg反鐵磁系統(tǒng)的自旋波能量如下:

由(20)式，當(dāng) X=1時(shí)，可得各向同性Heisenberg反鐵磁系統(tǒng)的自旋波能量=2JZS與文獻(xiàn)［6-7］一致.由此可知對(duì)稱性越高(有序度降低)，系統(tǒng)越易出現(xiàn)簡(jiǎn)并現(xiàn)象［8］.這也與可觀測(cè)程度相關(guān)，系統(tǒng)具有某種對(duì)稱性，意味著存在某一物理量是不可觀測(cè)量.如果這種對(duì)稱性破缺了，那么這一物理量就成為可觀測(cè)量.在此對(duì)稱性破缺與X1≠X2相關(guān)，當(dāng)X1=X2時(shí)，由(20)式可知，Heisenberg反鐵磁系統(tǒng)的自旋波能量出現(xiàn)簡(jiǎn)并現(xiàn)象.

(2)利用IEO方法計(jì)算磁有序系統(tǒng)的自旋波能量非常方便，但是IEO方法不易給出磁有序系統(tǒng)的基態(tài)能量，并且利用IEO方法幾乎無(wú)法處理含有算符的三次項(xiàng)或者更高次項(xiàng)的Hamiltonian量體系(如電子-聲子耦合體系，磁振子-聲子耦合體系，聲子-聲子耦合體系，磁振子-磁振子耦合體系等)，在這一點(diǎn)IEO方法不如格林函數(shù)理論及量子場(chǎng)論的費(fèi)曼圖技術(shù).這是因?yàn)镮EO方法計(jì)算的結(jié)果是能級(jí)差，對(duì)應(yīng)的是磁有序系統(tǒng)的元激發(fā)能量;而且處理含有算符的三次項(xiàng)或者更高次項(xiàng)的Hamiltonian量體系時(shí)，涉及到算符與Hamiltonian量對(duì)易關(guān)系變得越來(lái)越復(fù)雜，并存在算符的冪次增大趨勢(shì)，對(duì)應(yīng)Hamiltonian量的IEO又不易做出.因?yàn)榫€性近似下的Hamiltonian量只包含算符的二次項(xiàng)，所以，利用IEO方法及算符的對(duì)易關(guān)系，能夠簡(jiǎn)捷地計(jì)算出線性近似下的Hamiltonian量體系的元激發(fā)能量.

［1］ Fan HongYi，Li Chao.Invariant‘Eigen-operator’of the Square of Schr?dinger Operator for Deriving Energy-level Gap［J］.Phys.Lett.A，2004，321:75-78.

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