秦愛芳， 陽柳平， 孫德安， 羌 銳

(上海大學土木工程系，上海200072)

非飽和土廣泛存在于大自然中，與土木工程的建設(shè)有著緊密聯(lián)系.近年來，無論是非飽和土的基礎(chǔ)理論研究還是工程應用都日益受到人們重視.國內(nèi)外學者致力于非飽和土力學的研究，建立了諸多非飽和土固結(jié)理論.國外從20世紀60年代開始研究非飽和土固結(jié)問題，典型的有 Blight［1］，Scott［2］，Barden［3］以及Fredlund等［4-5］提出的固結(jié)方程.20世紀90年代非飽和土固結(jié)問題已成為中國國內(nèi)非飽和土力學研究的熱點，楊代泉［6］、陳正漢［7-8］、沈珠江［9］以及殷宗澤［10］等曾先后研究了非飽和土的固結(jié)理論，并提出了各自的見解.在非飽和土固結(jié)理論中，比較完善并具有權(quán)威性的是Fredlund［4-5］固結(jié)理論.

秦愛芳等［11］在Fredlund固結(jié)理論的基礎(chǔ)上進行了假定，對表面排水排氣且底面不滲透邊界條件下的非飽和土一維固結(jié)，進行了解析解的求解.對于簡單的逆變換問題，可直接進行Laplace逆變換得到解析解;而對于大部分荷載及邊界條件，Laplace變換下解的表達式極其復雜，難以直接進行Laplace逆變換，需要通過數(shù)值方法進行Laplace逆變換.本研究對表面排氣不排水、底面不滲透及表面排水不排氣、底面不滲透兩種常用邊界條件，利用文獻［11］的方法得到了Laplace變換下的超孔隙氣、超孔隙水及土層沉降的解，采用簡單、有效的Crump方法進行逆變換得到半解析解，并作出相應的固結(jié)特性分析.該研究方法可向多種荷載及多種邊界條件進行拓展，并對非飽和土體一維固結(jié)的研究具有一定的參考價值.

1 非飽和土的一維固結(jié)半解析解

1.1 本研究對Fredlund固結(jié)方程的簡化假定

(1)假定Fredlund一維固結(jié)基本控制方程中液相及氣相的滲透系數(shù)為常數(shù);

(2)假定固結(jié)過程中發(fā)生的應變?yōu)樾?

(3)假定因外荷載引起的超孔隙氣壓遠小于大氣壓值.

1.2 表面狀態(tài)向量 (0，s)與任意深度處狀態(tài)向量(z，s)間的傳遞關(guān)系

表面排氣不排水、底面不滲透的非飽和土層模型如圖1所示，其中土層厚度為H，地表作用有瞬時均布荷載q，坐標原點設(shè)在地表，深度方向z坐標以向下為正.取底面面積為1、高度為dz的單元體V0= 1×1×dz為研究對象.

圖1 表面為排氣不排水、底面為不滲透的非飽和土層固結(jié)計算模型Fig.1 Simplified model for one-dimensional consolidation in unsaturated soil which the surface is air infiltration water impermeable and the underside is impermeable

對Fredlund非飽和土的一維線性固結(jié)方程進行簡化得到的液相及氣相的控制方程，結(jié)合Darcy定律及Fick定律，得到一組編微分方程組.經(jīng)Laplace變換及Cayley-Hamilton數(shù)學方法構(gòu)造的頂面狀態(tài)向量(0，s)與任意深度處狀態(tài)向量(z，s)間的傳遞關(guān)系［11］如下：

即

式中，T11～T44，S1～S4同文獻［11］.

1.3 邊界和初始條件

以下列兩種邊界條件為例.

邊界條件1：表面排氣不排水、底面不滲透，

邊界條件2：表面排水不排氣、底面不滲透，

邊界條件1和邊界條件2的初始條件為

1.4 Laplace變換下的解(z，s)

邊界條件1：

邊界條件2：

2 Laplace逆變換的處理及算例分析

本研究采用精度較高的Crump方法［12］編制程序?qū)崿F(xiàn)Laplace逆變換，得到時間域內(nèi)的超孔隙水壓力、超孔隙氣壓力和土層沉降的半解析解.

算例引用文獻［13-14］算例中的基本參數(shù)，采用本研究得到的半解析解計算表面排氣不排水、底面不滲透及表面排水不排氣、底面不滲透邊界條件下非飽和土層固結(jié)時的超孔隙氣、超孔隙水壓力的消散，并對其固結(jié)特性進行了分析，并將結(jié)果與采用Fredlund提出的有限差分法得到的超孔隙氣、超孔隙水壓力計算結(jié)果進行比較，以證明本研究半解析法的正確性與精確性.

2.1 算例

一個水平向無限的10 m厚非飽和土層，表面瞬時施加均勻無限荷載q=100 kPa，荷載作用下引起土中初始的超孔隙氣壓力為=20.0 kPa，超孔隙水壓力為=40.0 kPa，其他主要土層參數(shù)如下：，水的滲透系數(shù)為kw=1.0×

2.2 邊界條件1情況下的固結(jié)分析

(1)圖2所示為z=8 m時，不同ka/kw下超孔隙氣壓力消散的ua/q值，圖3所示為同邊界條件下的ua/值.結(jié)果顯示，邊界條件1下超孔隙氣壓的消散，與表面排水排氣且底面不滲透邊界條件下［11］超孔隙氣壓的消散完全相同，也就是說，當表面排氣時，表面排水或不排水對超孔隙氣壓的消散不產(chǎn)生影響.

(2)圖4所示為z=8 m時不同ka/kw下超孔隙水壓力消散的uw/q值.與表面排水排氣且底面不滲透邊界條件［11］比較，2種情況下超孔隙水消散在超孔隙氣消散結(jié)束之前是相同的.由于表面不排水且底面不滲透，所以排氣結(jié)束后，uw/q恒定為某一值.

圖2 不同ka/kw條件下土中超孔隙氣壓力ua/q隨時間因素T的變化規(guī)律(z=8 m)Fig.2 Change in excess pore gas pressure ua/q in soil with T under different ka/kw(z=8 m)

圖3 不同z/H土中超孔隙氣壓力ua/u0a隨時間因素的變化規(guī)律Fig.3 Change in excess pore gas pressure ua/at different depths(z/H)with T

圖4 不同ka/kw條件下土中超孔隙水壓力uw/q隨時間因素的變化規(guī)律(z=8 m)Fig.4 Change in excess pore water pressure uw/q in soil with T under different ka/kw(z=8 m)

(3)圖5為不同z/H情況和不同ka/kw情況下uw/隨時間的變化曲線.在超孔隙氣完全消散之前，其與表面排水排氣且底面不滲透邊界條件下［11］超孔隙水壓的消散是完全相同的;當超孔隙氣完全消散后，超孔隙水在一平緩段后將有微小的調(diào)整階段，最后趨于平衡.ka/kw越大，調(diào)整之前的平緩段越長，這與單面排水排氣情況下［11］的平緩段規(guī)律相同.

(4)圖6為ka/kw=10，ka/kw=1超孔隙氣壓力消散隨深度的變化曲線.二者消散規(guī)律一致，只是在ka/kw=10情況下的消散速度快于ka/kw=1情況.

(5)圖7為ka/kw=10，ka/kw=1時超孔隙水壓力消散隨深度的變化曲線，二者消散的規(guī)律基本也是一致的.ka/kw=10比ka/kw=1消散得快，且ka/ kw=1在孔隙氣消散完后，馬上進行調(diào)整，且在接近排水排氣面時調(diào)整明顯;ka/kw=10時，孔隙氣消散后也有調(diào)整，只是稍后一些.

2.3 邊界條件2情況下的固結(jié)分析

(1)圖8(a)為z=8 m時，不同ka/kw情況下ua/q隨時間的變化曲線.可以看到：超孔隙水壓力開始消散之前，ka/kw大小對超孔隙氣消散有極微小的影響;當超孔隙水壓力開始消散時，超孔隙氣壓力消散趨于一致;由于表面不排氣、底面不滲透，當超孔隙水消散結(jié)束后，超孔隙氣消散停止;該邊界條件下ka/kw大小對超孔隙氣壓力消散幾乎沒有影響.

圖5 不同z/H處土中超孔隙水壓力uw/隨時間因素的變化規(guī)律Fig.5 Change in excess pore water pressure uw/at different depths(z/H)with T

圖6 超孔隙氣壓力ua/隨深度消散規(guī)律Fig.6 Change in excess pore air pressure ua/with depth

圖7 超孔隙水壓力uw隨深度消散規(guī)律Fig.7 Change in excess pore water pressure uw/ with depth

圖8 不同ka/kw情況下ua/q和uw/q隨時間因素T的變化規(guī)律(z=8 m)Fig.8 Change in excess pore pressure ua/q and uw/q in soil with T under different ka/kw(z=8 m)

(2)圖8(b)為z=8 m時，不同ka/kw情況下uw/q隨時間的變化規(guī)律.可以看出，該邊界條件下，ka/kw大小對超孔隙水的消散也沒有影響.

(3)圖9為ka/kw=10時，z/H大小對超孔隙氣、超孔隙水壓力消散的影響，超孔隙氣不同深度消散是相同的.對于超孔隙水壓力，越接近表面消散開始得越早.

圖9 不同z/H處土中ua/和uw/隨時間因素T的變化規(guī)律(ka/kw=10)Fig.9 Change in excess pore pressure ua/and uw/ at different depths(z/H)with T(ka/kw=10)

3 結(jié)論

(1)本研究采用半解析方法，獲得了表面排氣不排水、底面不滲透情況及表面排水不排氣、底面不滲透情況下非飽和土層在瞬時均布加荷情況下的一維壓縮固結(jié)的半解析解.

(2)表面排氣不排水、底面不滲透時，超孔隙水壓力的消散在超孔隙氣壓消散結(jié)束之前與表面排水排氣且底面不滲透邊界條件下是相同的.由于表面不排水且底面不滲透，當超孔隙氣壓力消散結(jié)束后，超孔隙水壓力不再消散，uw/q恒定為某一值.

(3)表面排水不排氣、底面不滲透時，超孔隙氣壓力隨超孔隙水壓力消散而消散，隨孔隙水壓力消散結(jié)束而結(jié)束;由于不排氣，ka/kw大小對超孔隙水、超孔隙氣消散不產(chǎn)生影響.

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