韓志杰 王璋奇

華北電力大學(xué),保定,071003

基于非概率區(qū)間模型的可靠性分析與優(yōu)化

韓志杰 王璋奇

華北電力大學(xué),保定,071003

根據(jù)影響目標(biāo)零件結(jié)構(gòu)參數(shù)變化因素以及材料性能參數(shù)的區(qū)間特性,采用可靠性分析技術(shù)與結(jié)構(gòu)優(yōu)化方法,對目標(biāo)零件結(jié)構(gòu)的控制參數(shù)、材料強(qiáng)度及載荷分布等參量的不確定性進(jìn)行分析,通過對非概率區(qū)間可靠性進(jìn)行分析,構(gòu)造出結(jié)構(gòu)失效概率度量的可靠性指標(biāo),結(jié)合區(qū)間約束的n維復(fù)形調(diào)優(yōu)算法,獲得了結(jié)構(gòu)參數(shù)的最優(yōu)結(jié)果。以鋼坯吊具鉗板為例,驗(yàn)證了該方法的實(shí)用性和有效性。該方法為基于可靠性的產(chǎn)品設(shè)計(jì)提供了新的途徑。

非概率可靠性;區(qū)間模型;結(jié)構(gòu)優(yōu)化;可靠性指標(biāo);復(fù)形調(diào)優(yōu)算法

0 引言

在產(chǎn)品的設(shè)計(jì)生產(chǎn)中,通常會遇到一些不確定性因素,導(dǎo)致設(shè)計(jì)的結(jié)果存在不確定性。工程中解決不確定性的常用方法是以隨機(jī)統(tǒng)計(jì)分析為基礎(chǔ)的概率理論。若樣本的統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)缺乏或者信息不完備,則概率理論就顯得無能為力,加之概率論本身存在固有缺陷,即概率可靠性對概率模型參數(shù)很敏感,概率數(shù)據(jù)的微小誤差可導(dǎo)致結(jié)構(gòu)可靠性計(jì)算的較大誤差[1],因此,為了彌補(bǔ)概率模型的不足,Ben-Haim[2]基于凸集模型,首次提出了非概率可靠性的概念。在此基礎(chǔ)上,郭書祥等[3-4]分析了在結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)中,非概率可靠性方法和概率可靠性方法在建模思想和結(jié)構(gòu)優(yōu)化方面兩者的不同之處?；诜歉怕士煽啃栽O(shè)計(jì)的概念,針對非概率可靠性指標(biāo),江濤等[5]證明了基于區(qū)間模型的非概率指標(biāo)只能存在于標(biāo)準(zhǔn)化區(qū)間向量張成的凸域及其擴(kuò)展空間中通過原點(diǎn)和凸域頂點(diǎn)的有限條超射線與標(biāo)準(zhǔn)化失效面的某個交點(diǎn)處,且利用一維數(shù)值方法搜索關(guān)于0對稱的閉區(qū)間可提高優(yōu)化效率;郭書祥等[6]則給出了非概率可靠性指標(biāo)的三種求解方法:定義法、轉(zhuǎn)化法和優(yōu)化法。張新峰等[7]對比分析了區(qū)間非概率可靠性模型和凸集合非概率可靠性模型兩種情況下的非概率可靠性指標(biāo),證明它們之間存在確定的函數(shù)關(guān)系,并揭示了其指標(biāo)差異的本質(zhì)。目前,關(guān)于非概率的研究主要是從定義出發(fā),涉及可靠性指標(biāo)的求解[8]以及模型之間的比較,而在基于非概率可靠性的優(yōu)化方面[9-13],與現(xiàn)代優(yōu)化方法相結(jié)合,進(jìn)行基于可靠性的結(jié)構(gòu)優(yōu)化方面的研究較少見。本文利用非概率可靠性方法,把區(qū)間分析和結(jié)構(gòu)優(yōu)化算法相結(jié)合,對產(chǎn)品設(shè)計(jì)中不確定性因素進(jìn)行分析,利用非概率區(qū)間可靠性方法,構(gòu)造出用于度量產(chǎn)品結(jié)構(gòu)失效概率的可靠性指標(biāo),并結(jié)合區(qū)間約束的n維復(fù)形調(diào)優(yōu)算法,計(jì)算出產(chǎn)品結(jié)構(gòu)的最優(yōu)結(jié)果,最后以鉗臂模型的結(jié)構(gòu)優(yōu)化為例,說明了此方法的有效性。

1 問題描述

機(jī)械產(chǎn)品結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)中,需要處理和確定與幾何尺寸、材料、功能、工藝等有關(guān)的多個參數(shù)和變量。在產(chǎn)品的結(jié)構(gòu)可靠性方面,機(jī)械零部件的應(yīng)力主要取決于載荷大小、作用位置和作用時間、斷面的幾何尺寸或特征、材料物理性質(zhì)、工作條件等因素,因此,結(jié)構(gòu)的應(yīng)力可用多元函數(shù)表示:

式中,P為載荷(力、彎矩、扭矩等);A為斷面幾何尺寸(面積、抗彎或抗扭斷面模數(shù)等);ρ為材料的物理性質(zhì)(泊松比、彈性模量等);t為載荷作用時間;e為環(huán)境、溫度等其他影響因素。

影響結(jié)構(gòu)強(qiáng)度的因素也很多,如實(shí)際使用條件、工作環(huán)境和實(shí)際幾何尺寸等,由于這些因素的不確定性,導(dǎo)致結(jié)構(gòu)強(qiáng)度的真實(shí)值與實(shí)驗(yàn)所測值存在偏差,在實(shí)際計(jì)算中處理這些偏差的方法是對強(qiáng)度分布曲線進(jìn)行一定的修正,以便使其符合真實(shí)情況。

在傳統(tǒng)的機(jī)械設(shè)計(jì)中,通常將影響結(jié)構(gòu)應(yīng)力和強(qiáng)度的因素看成確定的變量,而在機(jī)械可靠性設(shè)計(jì)中,則需要將它們處理成不確定性變量。顯然,在結(jié)構(gòu)的可靠性設(shè)計(jì)中,對這些不確定性變量進(jìn)行不確定性描述是十分重要的。

1.1 可靠性指標(biāo)的建立

根據(jù)非概率可靠性理論[3],結(jié)構(gòu)的非概率可靠性指標(biāo)定義為:在標(biāo)準(zhǔn)化區(qū)間變量δ的擴(kuò)展空間中按‖·‖∞度量的從坐標(biāo)原點(diǎn)到失效面的最短距離,即對應(yīng)于式(2)在擴(kuò)展空間中的結(jié)構(gòu)功能函數(shù)[4](或稱為標(biāo)準(zhǔn)化失效面)和非概率可靠性指標(biāo)分別為

按照一般的結(jié)構(gòu)可靠性理論,標(biāo)準(zhǔn)化失效面為一超曲面,它將變量空間分為失效域 Ωf={X:G(X)≤0}和安全域Ωs={X:G(X)＞0}兩部分。因此,對于式(4),當(dāng)η＞1時,對?xi∈ xIi(i=1,2,…,n)均有G(X)＞0,此時結(jié)構(gòu)安全可靠;當(dāng)η＜-1時,對 ?xi均有G(X)＜0,此時結(jié)構(gòu)必然失效;而當(dāng)-1＜η＜1時,對 ?xi∈ xIi(i=1,2,…,n)結(jié)構(gòu)處于中間狀態(tài),則不能認(rèn)為可靠。因而,η作為可靠程度的度量,其值越大結(jié)構(gòu)越安全。

1.2 功能函數(shù)的非概率可靠性指標(biāo)

1.2.1 線性功能函數(shù)非概率可靠性指標(biāo)

對于功能函數(shù)為線性的結(jié)構(gòu)來說,可以假定功能函數(shù)M=r-s,為了方便對功能函數(shù)進(jìn)行求解,首先需對功能函數(shù)進(jìn)行標(biāo)準(zhǔn)化處理。

對r={r1,r2,…,rm}和s={sm+1,sm+2,…,sn}做標(biāo)準(zhǔn)化變換:

對于功能函數(shù)是線性的情況,在式(6)中,已知第二個等號右邊括號中的兩項(xiàng)為常數(shù)項(xiàng),那么前面兩項(xiàng)中需使δri、δsj之間保持線性,可靠性指標(biāo)η在標(biāo)準(zhǔn)化區(qū)間中可以表示為

1.2.2 非線性功能函數(shù)非概率可靠性指標(biāo)

若結(jié)構(gòu)功能函數(shù)M=G(X)為非線性,則它是n維參數(shù)空間上的非線性函數(shù)。不確定性變量的變化范圍較小時,則可將功能函數(shù)在不確定性變量均值Xc處進(jìn)行一階泰勒展開并略去高階小量,可得

由此,可借助區(qū)間數(shù)學(xué)中的區(qū)間擴(kuò)張理論[14],獲得結(jié)構(gòu)功能函數(shù)M的上下界

與式(4)相似,可以計(jì)算得到非線性功能函數(shù)非概率可靠性指標(biāo)的表達(dá)式為

2 結(jié)構(gòu)優(yōu)化設(shè)計(jì)

在機(jī)械結(jié)構(gòu)優(yōu)化設(shè)計(jì)中,通常以可靠性指標(biāo)和某些設(shè)計(jì)指標(biāo)(如功能函數(shù))為約束,用另一種設(shè)計(jì)指標(biāo)(如重量、體積)等來建立目標(biāo)函數(shù),建立優(yōu)化模型,利用現(xiàn)代優(yōu)化算法進(jìn)行計(jì)算。

2.1 基于可靠性的優(yōu)化模型

對于不確定性參數(shù)xi,如果沒有足夠的信息數(shù)據(jù)來描述其概率特征時,可采用區(qū)間凸集模型來描述不確定性:

其中,U(α)為函數(shù)空間中以α為半徑的實(shí)體球,即集合U(α)的不確定性大小為α。

對于優(yōu)化結(jié)構(gòu)的目標(biāo)函數(shù)W(X)(W為體積),其不確定性變量為區(qū)間凸模型時,基于非概率可靠性指標(biāo)的結(jié)構(gòu)優(yōu)化問題可描述為

第一個約束為結(jié)構(gòu)的可靠度約束,第二個約束為不確定性變量的區(qū)間約束。

2.2 n維復(fù)形調(diào)優(yōu)算法

基于區(qū)間模型的非概率可靠性優(yōu)化模型建立后,為了能夠?qū)Y(jié)構(gòu)進(jìn)行可靠性優(yōu)化,需要選擇性能優(yōu)良的優(yōu)化算法。粒子群優(yōu)化方法[11-12]是目前比較常用的方法,它在解空間中追隨最優(yōu)粒子的行為進(jìn)行搜索,通過迭代搜尋最優(yōu)解,但是這種優(yōu)化方法是在全局內(nèi)進(jìn)行搜索,并且搜索速度取決于慣性因子ω,對于不確定性變量處于區(qū)間內(nèi)變化的優(yōu)化問題來說,這種算法顯得效率不高。由于式(13)建立的優(yōu)化模型的可靠性指標(biāo)處于可靠性優(yōu)化的目標(biāo)函數(shù)或約束中,因此在優(yōu)化過程中的每一步迭代都需要進(jìn)行一次可靠性分析,從而使分析計(jì)算的工作量增大。為了能使可靠性優(yōu)化在可接受的區(qū)域中,在保證計(jì)算精度的同時所選擇的優(yōu)化算法的計(jì)算速度顯得尤為重要?；诖?本文選擇了n維復(fù)形調(diào)優(yōu)算法[15]來解決此優(yōu)化問題。

復(fù)形共有2n個頂點(diǎn),給定初時復(fù)形中的第一個頂點(diǎn)坐標(biāo)為X(1)=(x0,0,x1,0,…,xn-1,0),且此頂點(diǎn)需滿足式(13)中的兩個約束。

根據(jù)本文所定義的目標(biāo)函數(shù)和約束條件求解不確定性變量的極小值,其迭代過程如下:

(1)在n維空間中按照區(qū)間約束的條件隨機(jī)選取初始復(fù)形的其余2n-1個頂點(diǎn),計(jì)算頂點(diǎn)處的目標(biāo)函數(shù)值:

(4)將上面確定的XR作為一個新的頂點(diǎn)替代原來的最壞點(diǎn)XH,構(gòu)成新的復(fù)形。重復(fù)步驟(2)～(4),直到復(fù)形中各頂點(diǎn)距離小于預(yù)先給定的精度要求為止。

3 實(shí)例分析

3.1 鉗臂的力學(xué)模型

在鋼坯吊具設(shè)計(jì)過程中,為了達(dá)到自由夾取工件并合理利用材料的目的,鋼坯吊具的鉗臂采用鋼板組合,當(dāng)整體處于平衡狀態(tài)時,要求鉗臂滿足強(qiáng)度要求。圖1為鉗臂模型及受力簡圖。

圖1 鉗臂模型及受力簡圖

已知鉗臂受拉力F=104N,O點(diǎn)處的圓孔直徑d=80mm,影響整體性能的不確定性變量為L、D、H、r,其中 L為拉力F的力臂,其初始值為880mm,且有5%變異特性;D、H分別為最大受力截面(即危險(xiǎn)截面A-A)的厚度和高度,其初始值分別為30mm和300mm,且有8%變異特性;r為材料的極限強(qiáng)度,其值為350MPa,且有3%變異特性。

由鉗臂的受力簡圖計(jì)算得到最大正應(yīng)力為

3.2 可靠性指標(biāo)的計(jì)算

鉗臂模型的結(jié)構(gòu)狀態(tài)函數(shù) M是設(shè)計(jì)變量X的非線性函數(shù),利用本文提出的非線性功能函數(shù)非概率可靠性指標(biāo)計(jì)算方法處理該狀態(tài)函數(shù),可得其變化區(qū)間:

根據(jù)式(11)可以獲得鉗臂的可靠性指標(biāo)η=1.209＞1,因此可以判斷鉗臂結(jié)構(gòu)此時是安全可靠的。

3.3 鉗臂的結(jié)構(gòu)優(yōu)化

在保證鉗臂滿足可靠性的基礎(chǔ)上,可利用本文介紹的n維復(fù)形調(diào)優(yōu)算法對該結(jié)構(gòu)進(jìn)行優(yōu)化計(jì)算。首先基于對鉗臂結(jié)構(gòu)材料分布的分析,構(gòu)建了以結(jié)構(gòu)總體積均值極小值為目標(biāo)函數(shù)的結(jié)構(gòu)優(yōu)化設(shè)計(jì)模型:

在不確定性變量變異范圍內(nèi),選擇X={x1,x2,x3,x4}的初始值作為初始復(fù)形頂點(diǎn),分別找到區(qū)間范圍內(nèi)的最好點(diǎn)和最壞點(diǎn),檢查其可行域并進(jìn)行迭代計(jì)算,得到不確定性變量在不同可靠性指標(biāo)約束下的優(yōu)化值,如表1所示。

表1 在不同可靠性指標(biāo)約束下不確定變量優(yōu)化結(jié)果

從表1的優(yōu)化結(jié)果可以看出,在不同的可靠性指標(biāo)約束下,其中不確定性變量x2、x3的數(shù)值變化較大,不確定性變量 x1基本沒有變化,說明變化較大的隨機(jī)變量對可靠性影響較大,在結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)時需要特別注意,應(yīng)對其給予精確的確定;從圖2可知,隨著非概率可靠性指標(biāo)的增大,目標(biāo)函數(shù)數(shù)值也愈大,說明對其結(jié)構(gòu)可靠性愈有保障,因此,可以根據(jù)實(shí)際情況確定機(jī)械結(jié)構(gòu)的可靠性,則可以在體積最優(yōu)化的條件下獲得最優(yōu)的參數(shù)分布。圖2也反映了鉗臂模型體積隨可靠性指標(biāo)的變化趨勢,從圖中可以看出:當(dāng)η=2.1時,基于可靠性的目標(biāo)函數(shù)值與均值相等;隨結(jié)構(gòu)可靠性增大,鉗臂體積不斷增大。這與實(shí)際設(shè)計(jì)相符,說明了本文方法的正確性。

圖2 鉗臂體積隨非概率可靠性指標(biāo)變化曲線

4 結(jié)束語

本文從結(jié)構(gòu)的不確定性因素出發(fā),利用非概率區(qū)間理論對不確定性進(jìn)行描述,分析了結(jié)構(gòu)響應(yīng)函數(shù)在線性和非線性兩種情況下,可靠性指標(biāo)的求解方法;通過對鋼坯吊具中鉗臂的受力分析,利用n維復(fù)形調(diào)優(yōu)算法,在非概率可靠性指標(biāo)的約束下,對結(jié)構(gòu)進(jìn)行優(yōu)化計(jì)算。從計(jì)算實(shí)例可以看出,只需給出不確定性變量的變化區(qū)間,不必了解其分布規(guī)律,即可根據(jù)區(qū)間模型的非概率可靠性計(jì)算方法對結(jié)構(gòu)進(jìn)行可靠性分析。這種方法計(jì)算簡單,且從計(jì)算結(jié)果可以看出,方法是有效的。

[1] Elishakoff I.Essay on Uncertainties in Elastic and V iscoelastic Structures:from A.M.Freudenthal's Criticisms to M odem Convex M ode ling[J].Computers&Structures,1995,56(6):871-895.

[2] Ben-Haim Y.A Non-p robabilistic Concept of Reliability[J].Structural Safety,1994,14:228-245.

[3] 郭書祥,呂震宙,馮元生.基于區(qū)間分析的結(jié)構(gòu)非概率可靠性模型[J].計(jì)算力學(xué)學(xué)報(bào),2001,18(1):56-60.

[4] 郭書祥,呂震宙,馮元生.機(jī)械靜強(qiáng)度可靠性設(shè)計(jì)的非概率方法[J].機(jī)械科學(xué)與技術(shù),2000,19(9):106-107.

[5] 江濤,陳建軍,姜培剛,等.區(qū)間模型非概率可靠性指標(biāo)的一維優(yōu)化算法[J].工程力學(xué),2007,24(7):23-27.

[6] 郭書祥,張陵,李穎.結(jié)構(gòu)非概率可靠性指標(biāo)的求解方法[J].計(jì)算力學(xué)學(xué)報(bào),2005,22(2):227-231.

[7] 張新鋒,趙彥,施滸立.基于凸集的結(jié)構(gòu)非概率可靠性度量研究[J].機(jī)械強(qiáng)度,2007,29(4):589-592.

[8] 羅陽軍,亢戰(zhàn).超橢球模型下結(jié)構(gòu)非概率可靠性指標(biāo)的迭代算法[J].計(jì)算力學(xué)學(xué)報(bào),2008,25(6):747-752.

[9] Elishakoff I,Colombi P.Combination of Probabilistic and Convex M odels o f Uncertainty When Scarce Know ledge is Present on A coustic Excitation Parameters[J].Computer Methods in App lied Mechanics and Engineering,1993,104(2):187-209.

[10] Chris P,Pantelidess G.Design of Trusses under Uncertain Load Using Convex M odels[J].Journal of Structural Engineering,1996,124(3):318-329.

[11] 劉仁云,張義民,劉巧伶.基于多目標(biāo)優(yōu)化策略的結(jié)構(gòu)可靠性穩(wěn)健設(shè)計(jì)[J].應(yīng)用力學(xué)學(xué)報(bào),2007,24(1):267-271.

[12] 劉仁云,于繁華,張義民.基于計(jì)算智能的機(jī)械零部件可靠性優(yōu)化設(shè)計(jì)[J].機(jī)械設(shè)計(jì)與研究,2010,26(1):65-68.

[13] Guest JK,Igusa T.Structural Optimization under Uncertain Loads and Nodal Locations[J].Computer Methodsin A pplied Mechanics and Engineering,2008,198(10):116-124.

[14] 邱志平.非概率集合理論凸方法及其應(yīng)用[M].北京:國防工業(yè)出版社,2005.

[15] 徐士良.C常用算法程序集[M].北京:清華大學(xué)出版社,1994.

Reliability Analysisand Optim ization Based on Non-probabilistic Interval Model

Han Zhijie Wang Zhangqi
North China Electric Pow er University,Baoding,Hebei,071003

According to the fluctuating factors of the target com ponents'structural parameters and the interval characterization of the m aterial p roperties,this paper adop ted reliability analysis and structural optimization method,and analyzed the control parameters,material strength and load distribution considering uncertainty of structural parameters of the target com ponents.The reliability index w ith structural failure probability was constructed by using non-probabilistic interval reliability analysis.And combined w ith N-dimensional com plex optimal algorithm w ith interval constraints,the optimal results w ere obtained.To billet slings clamp p late,for examp le,thism ethod was proved to be p ractical and effective.And it is a new way of the reliability-based design.

non-probabilistic reliability;intervalmodel;structure optimization;reliability index;com plex optimalalgorithm

TB114.3

1004—132X(2011)06—0652—05

2010—05—25

(編輯 蘇衛(wèi)國)

韓志杰,男,1980年生。華北電力大學(xué)能源動力與機(jī)械工程學(xué)院博士研究生。研究方向?yàn)榻Y(jié)構(gòu)可靠性及優(yōu)化設(shè)計(jì)。發(fā)表論文5篇。王璋奇,男,1964年生。華北電力大學(xué)能源動力與機(jī)械工程學(xué)院教授、博士研究生導(dǎo)師。