劉 亮，熊永紅，曾志杰，李莉君，范淑媛

（華中科技大學(xué)物理學(xué)院，湖北武漢430074）

1 引 言

分光計(jì)通過精確測(cè)量光柵與望遠(yuǎn)鏡的轉(zhuǎn)角，來測(cè)定光柵常量.實(shí)驗(yàn)時(shí)一般采用固定光柵而轉(zhuǎn)動(dòng)望遠(yuǎn)鏡的方式，可以稱之為“轉(zhuǎn)筒式”.“轉(zhuǎn)筒式”測(cè)量方法的前提是入射光線與光柵平面嚴(yán)格垂直，即正入射[1].正入射的優(yōu)點(diǎn)有：1）理論推導(dǎo)過程及計(jì)算表達(dá)式簡(jiǎn)單；2）操作便捷，可重復(fù)性較好；3）實(shí)驗(yàn)現(xiàn)象明顯，有對(duì)稱的衍射條紋.但學(xué)生目測(cè)入射光和光柵是否垂直會(huì)引入一定誤差，而且垂直入射只是光柵衍射的一種特殊的情況，所以缺乏對(duì)光柵衍射的全面了解.除了正入射法，還可以采用最小偏向角法[2]，避開斜入射帶來的誤差問題，但其對(duì)平臺(tái)的調(diào)整要求更高.除此之外，上述2種“轉(zhuǎn)筒式”測(cè)量方法均由手動(dòng)操作完成，轉(zhuǎn)動(dòng)過程中觀察者的眼睛要跟著鏡筒一起動(dòng)，若將分光計(jì)改為自動(dòng)測(cè)量，將會(huì)帶著一個(gè)“大尾巴”（即傳感器的數(shù)據(jù)線）來回?cái)[動(dòng)，很不方便.

基于以上原因，我們?cè)谧龇止庥?jì)拓展實(shí)驗(yàn)內(nèi)容時(shí)，采用逆向思維的方法，將轉(zhuǎn)動(dòng)望遠(yuǎn)鏡的方式改變?yōu)檗D(zhuǎn)動(dòng)光柵的方式，進(jìn)行了理論設(shè)計(jì)、數(shù)值模擬和實(shí)驗(yàn)研究，設(shè)計(jì)了“動(dòng)?xùn)攀健狈止庥?jì).“動(dòng)?xùn)攀健狈止庥?jì)有以下幾個(gè)優(yōu)點(diǎn)：1）轉(zhuǎn)變了思維模式，避免了偏離正入射引入的誤差；2）觀察到了新的實(shí)驗(yàn)現(xiàn)象，當(dāng)調(diào)節(jié)望遠(yuǎn)鏡筒與準(zhǔn)直管夾角逐漸變小至零度時(shí)，衍射圖像中的條紋會(huì)依次消失，先是長(zhǎng)波長(zhǎng)對(duì)應(yīng)的條紋消失，后是短波長(zhǎng)對(duì)應(yīng)的條紋消失，可以推導(dǎo)出每種波長(zhǎng)消失的“臨界角”；3）雖然“動(dòng)?xùn)攀健钡墓鈻叛苌浞匠瘫日肷鋸?fù)雜些，但適應(yīng)范圍更廣，有利于提高學(xué)生光路調(diào)節(jié)技能，培養(yǎng)提出問題、分析和處理問題的能力；4）將望遠(yuǎn)鏡改為光電傳感器時(shí)，不存在拖著“大尾巴”來回?cái)[動(dòng)的問題.將刻度盤改為精密的角度編碼器[3]，可以將分光計(jì)改進(jìn)成數(shù)字式測(cè)量?jī)x器，用于光柵特性檢測(cè)和各種光源光譜的精確快速測(cè)量.

2 設(shè)計(jì)原理

“動(dòng)?xùn)攀健狈止庥?jì)要求固定準(zhǔn)直管和望遠(yuǎn)鏡而轉(zhuǎn)動(dòng)光柵，最簡(jiǎn)單的處理方式是讓望遠(yuǎn)鏡與準(zhǔn)直管處于同一直線，轉(zhuǎn)動(dòng)光柵，通過相鄰狹縫的光線間的光程差為Δ＝dcosθ－dcosθ＝0（d為光柵常量，θ為光柵轉(zhuǎn)角）.該情況下，光柵轉(zhuǎn)動(dòng)過程中只能觀測(cè)到白色的亮條紋.若看到彩色條紋，望遠(yuǎn)鏡和準(zhǔn)直管必須有一定的夾角，記為α0（圖1）.

圖1 望遠(yuǎn)鏡與準(zhǔn)直管夾角α0

取望遠(yuǎn)鏡和光柵之間的夾角θ（光柵轉(zhuǎn)角）作為變量.轉(zhuǎn)動(dòng)光柵時(shí)，從準(zhǔn)直管發(fā)出的光線可以透過光柵或者經(jīng)光柵平面反射進(jìn)入望遠(yuǎn)鏡，此處只考慮透射的情況（圖1）.轉(zhuǎn)動(dòng)光柵使θ角從0°到π－α0的范圍內(nèi)變化.考慮此時(shí)通過光柵上相鄰兩狹縫的光線之間的光程差，需要分為3種情況（圖2）.可以看出，每種情況左邊的光線經(jīng)過的光程Ω1都要大于右邊光線的光程Ω2.第一種情況：左邊光的光程是Ω0＋dcosθ，右邊光的光程是Ω0＋dcos（α0＋θ）.

圖2 光線透射造成光程差的3種情況

同樣，后兩種情況的光程差分別為：

所以，3種情況下的光程差相同.假設(shè)入射光為單色光，波長(zhǎng)為λ，根據(jù)光學(xué)知識(shí)，衍射條紋出現(xiàn)的條件是：

式中k取整數(shù)，是衍射級(jí)次.如果已知光波長(zhǎng)λ及光柵常量d，可得：

α0的取值范圍是0°～180°，θ的取值范圍是0°～180°－α0.

3 數(shù)值模擬

根據(jù)式（4）可以求出各級(jí)譜線的角分布情況.例如，對(duì)于汞燈的4條光譜線（紫光435.84nm，綠光546.07nm，黃光一576.96nm，黃光二579.07nm），取線度為600線／mm的光柵，求解θ角.為此，可以先將式（4）變?yōu)?/p>

這樣就可以把式（5）左邊看成是θ的函數(shù)f（θ），其與y＝k的交點(diǎn)對(duì)應(yīng)的橫坐標(biāo)即為所求.下面給出α0為22°時(shí)的數(shù)值模擬情況（見圖3，由于雙黃線波長(zhǎng)接近不利于畫圖，圖中只考慮了黃線二：579.07nm）.

圖3 作圖法求解衍射極大角

從圖3中可以看出，衍射條紋是左右對(duì)稱的，其對(duì)稱軸為（π－α0）／2＝79°，這不難理解，因?yàn)楣鈻呸D(zhuǎn)動(dòng)的前半程和后半程是對(duì)稱的.采用作圖法，改變?chǔ)?值的大小，可以方便地得到光譜分布.

下面考慮改變?chǔ)?角.以紫光（435.84nm）為例，在不同的α0角下，f（θ）曲線會(huì)出現(xiàn)伸縮和平移（見圖4）.圖中有兩點(diǎn)重要之處：

圖4 不同α0角時(shí)紫光光譜的分析

第一，當(dāng)α0角變化時(shí)紫光衍射條紋的角分布情況和衍射級(jí)次都會(huì)發(fā)生變化，當(dāng)α0＞30°19′時(shí)有高級(jí)（k≥2）條紋出現(xiàn)，而低級(jí)條紋會(huì)消失.當(dāng)α0＜15°01′時(shí)，各級(jí)衍射條紋都會(huì)消失.此α0角對(duì)應(yīng)的“消失臨界”公式可由式（4）中令k＝1及θ＝（π－α0）／2推出

第二，圖中所有f（θ）曲線的波峰在1條直線上，因?yàn)椴ǚ鍖?duì)應(yīng)的角度值θ波峰與α0滿足關(guān)系θ波峰＝（π－α0）／2.

4 實(shí)驗(yàn)研究

采用“動(dòng)?xùn)攀健狈止庥?jì)，對(duì)汞燈的紫、綠、雙黃4條光譜線進(jìn)行測(cè)量，觀察α0分別為22°和45°時(shí)光譜分布情況，根據(jù)測(cè)得的θ值代入式（5）求出波長(zhǎng)，如表1所示.

表1 實(shí)驗(yàn)測(cè)量汞燈光譜數(shù)據(jù)

實(shí)驗(yàn)得到的波長(zhǎng)值與汞燈波長(zhǎng)的標(biāo)準(zhǔn)值符合得較好，相對(duì)偏差都在1%以下.實(shí)驗(yàn)測(cè)量的衍射角與圖3中數(shù)值模擬的角度值吻合.將α0在0°～90°內(nèi)變動(dòng)，可觀測(cè)不同的透射光譜線.α0的值大于45°以后，衍射條紋強(qiáng)度會(huì)變得很弱以至于無法觀測(cè).要觀測(cè)到明顯的亮條紋，則α0的角度越小越好，但是當(dāng)α0低于20°00′時(shí)，雙黃線先消失，減小至18°51′時(shí)，綠線也會(huì)消失，低于15°01′時(shí)，紫線也消失（與前面的模擬結(jié)果對(duì)應(yīng)），此時(shí)，汞燈的衍射圖譜中看不到亮條紋.所以，如果要觀察到明顯且豐富的衍射譜線，α0的取值在21°～45°最為適宜.

5 結(jié)束語

本文給出了“動(dòng)?xùn)攀健狈止庥?jì)光源波長(zhǎng)與光柵轉(zhuǎn)角θ的關(guān)系.對(duì)汞燈譜線的衍射情況進(jìn)行了數(shù)值模擬和實(shí)驗(yàn)研究.數(shù)值模擬給出了求解θ值的一種便捷方法——作圖法.實(shí)驗(yàn)觀測(cè)了汞燈4條譜線的波長(zhǎng)，測(cè)量值與汞燈波長(zhǎng)標(biāo)稱值符合得很好.“動(dòng)?xùn)攀健狈止庥?jì)與“轉(zhuǎn)筒式”分光計(jì)相比，理論推導(dǎo)雖然要復(fù)雜一些，但是有助于我們更深入理解光柵衍射的物理本質(zhì)，也有益于培養(yǎng)學(xué)生的逆向思維和處理復(fù)雜問題的能力.

[1] 熊永紅，張昆實(shí)，任忠明，等.大學(xué)物理實(shí)驗(yàn)[M].北京：科學(xué)出版社，2007：56－60.

[2] 金逢錫，孫龍，王成貴.用光柵最小偏向角法測(cè)定光波波長(zhǎng)[J].延邊大學(xué)學(xué)報(bào)（自然科學(xué)），2003，29（2）：100.

[3] 陳劍波，王姝，萬振茂，等.角度傳感器在分光計(jì)實(shí)驗(yàn)中的應(yīng)用[J].物理實(shí)驗(yàn)，2008，28（5）：5.