●沈順良 (海鹽縣教研室 浙江海鹽 314300)

數(shù)學(xué)高考應(yīng)用題探究

●沈順良 (海鹽縣教研室 浙江海鹽 314300)

數(shù)學(xué)應(yīng)用性問題是傳統(tǒng)高考的題型之一，在新課程高考試題中有更多的體現(xiàn)，其涉及內(nèi)容廣泛，多與函數(shù)、概率統(tǒng)計(jì)、三角、不等式(含線性規(guī)劃)、數(shù)列、解析幾何等內(nèi)容有機(jī)結(jié)合．新課程標(biāo)準(zhǔn)對(duì)應(yīng)用意識(shí)的要求較高，給考生的閱讀理解能力提出了較高的要求．在解題過程中，要求考生在陌生的現(xiàn)實(shí)生活情景中準(zhǔn)確地?cái)?shù)學(xué)化，找出數(shù)學(xué)的本質(zhì)特征，建立恰當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)模型，然后運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)和工具去解決，最后結(jié)合應(yīng)用問題的要求得出實(shí)際問題的解．

1 命題走勢

從浙江省近2年新課程高考應(yīng)用試題來看，一般理科會(huì)命制1個(gè)大題和1到2個(gè)小題，文科一般更多體現(xiàn)在小題中，應(yīng)用題在試卷中的位置居中，顯示了應(yīng)用問題在高考中的基本要求．新課程教材在章序言、課題引入、例習(xí)題都突出了實(shí)際背景，還新增了“實(shí)習(xí)作業(yè)”和“研究性課題”，因此高考試題中新穎多樣的應(yīng)用背景成為必然．在解答應(yīng)用題時(shí)，要求準(zhǔn)確理解題意，將題中的自然語言向數(shù)學(xué)語言特別是符號(hào)語言和幾何語言的轉(zhuǎn)換．新課標(biāo)的新增內(nèi)容如概率統(tǒng)計(jì)、導(dǎo)數(shù)等本身源于現(xiàn)實(shí)生活問題，因此相應(yīng)的應(yīng)用試題在高考中頻繁地出現(xiàn)．近年來還出現(xiàn)了數(shù)列、立體幾何、解析幾何和學(xué)科滲透的模型問題，其中大題側(cè)重概率、導(dǎo)數(shù)等．

2 典例剖析

2．1 三角應(yīng)用問題

例1如圖1，A，B是海面上位于東西方向相距5( 3 +)海里的2個(gè)觀測點(diǎn)，現(xiàn)位于點(diǎn)A北偏東45°，點(diǎn)B北偏西60°的點(diǎn)D有一艘輪船發(fā)出求救信號(hào)，位于點(diǎn)B南偏西60°且與點(diǎn)B相距20海里的點(diǎn)C的救援船立即前往營救，其航行速度為30海里/小時(shí)，該救援船達(dá)到點(diǎn)D需要多長時(shí)間?

(2010年陜西省數(shù)學(xué)高考理科試題)

分析本題主要考查學(xué)生運(yùn)用解三角形的知識(shí)方法解決實(shí)際問題的能力．

解由題意知

圖1

故所求時(shí)間為1小時(shí)．

點(diǎn)評(píng)本題是一道典型的三角測量應(yīng)用題，要求將題中自然語言表述的條件轉(zhuǎn)換到圖形語言中，然后再利用解三角形的正弦定理和余弦定理來解決，其中實(shí)際問題的條件轉(zhuǎn)化是重點(diǎn)．

2．2 線性規(guī)劃應(yīng)用問題

例2鐵礦石A和B的含鐵率a，冶煉每萬噸鐵礦石的CO2的排放量b及每萬噸鐵礦石的價(jià)格c如表1所示．

表1 鐵礦石含鐵率、CO2的排放量及價(jià)格表

某冶煉廠至少要生產(chǎn)1．9萬噸鐵，若要求CO2的排放量不超過2萬噸，則購買鐵礦石的最少費(fèi)用為 ＿＿百萬元．

(2010年陜西省數(shù)學(xué)高考理科試題)

解設(shè)鐵礦石A購買了x萬噸，鐵礦石B購買了y萬噸，購買鐵礦石的費(fèi)用為z百萬元．由題設(shè)知，本題可轉(zhuǎn)化為求當(dāng)實(shí)數(shù)x，y滿足約束條件

點(diǎn)評(píng)本題要求結(jié)合圖表將給出的實(shí)際約束條件轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題并符號(hào)化，其中要特別注意實(shí)際問題中量的隱含條件，然后將數(shù)學(xué)符號(hào)語言(不等式組)轉(zhuǎn)換成幾何語言(線性區(qū)域)，再利用線性規(guī)劃來解決．

2．3 概率統(tǒng)計(jì)模型

例3如圖3，由M到N的電路中有4個(gè)元件，分別標(biāo)為 T1，T2，T3，T4，電流能通過T1，T2，T3的概率都是 p，電流

能通過T4的概率是0．9．電流能否通過各元件相互獨(dú)立．已知T1，T2，T3中至少有1個(gè)能通過電流的概率為0．999．

(1)求p;

(2)求電流能在M與N之間通過的概率．

(2010年全國數(shù)學(xué)高考理科試題)

分析本試題主要考查獨(dú)立事件的概率、對(duì)立事件的概率、互斥事件的概率及數(shù)學(xué)期望，考查分類討論的思想方法及考生分析問題、解決問題的能力．本題也是一個(gè)與其他學(xué)科交匯的應(yīng)用問題．

解記Ai表示事件:電流能通過Ti(i=1，2，3，4);A 表示事件:T1，T2，T3中至少有 1 個(gè)能通過電流;B表示事件:電流能在M與N之間通過．

圖3

點(diǎn)評(píng)概率基本上是理科的必考題，問題的背景有更加豐富的趨勢，對(duì)考生分析問題的能力要求也有所加強(qiáng)，這應(yīng)引起高度重視．

2．4 計(jì)數(shù)應(yīng)用問題

例4在某種信息傳輸過程中，用4個(gè)數(shù)字的一個(gè)排列(數(shù)字允許重復(fù))表示一個(gè)信息，不同排列表示不同信息．若所用數(shù)字只有0和1，則與信息0110至多有2個(gè)對(duì)應(yīng)位置上的數(shù)字相同的信息個(gè)數(shù)為 ( )

A．10 B．11 C．12 D．15

(2010年湖南省數(shù)學(xué)高考理科試題)

解與信息0110至多有2個(gè)對(duì)應(yīng)位置上的數(shù)字相同的信息包括3類:一是與信息0110有2個(gè)對(duì)應(yīng)位置上數(shù)字相同有=6個(gè);二是與信息0110有一個(gè)對(duì)應(yīng)位置上數(shù)字相同有=4個(gè);三是與信息0110沒有對(duì)應(yīng)位置上數(shù)字相同有=1個(gè)，共有11個(gè)．故選B．

點(diǎn)評(píng)計(jì)數(shù)應(yīng)用問題往往附加了多個(gè)條件，最常見的方法是對(duì)滿足某個(gè)附加條件要求的情況分成若干類，分別求解后相加．在此過程中也同時(shí)考查了分類討論思想的運(yùn)用．

2．5 函數(shù)應(yīng)用問題

例5如圖4，一個(gè)正五角星薄片(其對(duì)稱軸與水面垂直)勻速地升出水面，記t時(shí)刻五角星露出水面部分的圖形面積為S(t)(S(0)=0)，則導(dǎo)函數(shù)y=S'(t)的圖像大致為

圖4

(2010年江西省數(shù)學(xué)高考理科試題)

分析本題考查函數(shù)圖像、導(dǎo)數(shù)圖像、導(dǎo)數(shù)的實(shí)際意義等知識(shí)．最初0時(shí)刻和最后終點(diǎn)時(shí)刻沒有變化，導(dǎo)數(shù)取0，排除選項(xiàng)C;總面積一直保持增加，沒有負(fù)的改變量，排除選項(xiàng)B;考察選項(xiàng)A，D的差異在于兩肩位置的改變是否平滑，考慮到導(dǎo)數(shù)的意義，判斷此時(shí)面積改變?yōu)橥蛔?，因此產(chǎn)生中斷．故選A．

點(diǎn)評(píng)導(dǎo)數(shù)有其豐富的現(xiàn)實(shí)背景，本題正是通過結(jié)合生活實(shí)際中的變化過程，考查對(duì)導(dǎo)數(shù)幾何意義和現(xiàn)實(shí)意義的理解．

2．6 解析幾何應(yīng)用問題

例6為了考察冰川的融化狀況，一支科考隊(duì)在某冰川上相距8 km的點(diǎn)A，B處各建一個(gè)考察基地．視冰川面為平面形，以過點(diǎn)A，B的直線為x軸，線段AB的垂直平分線為y軸建立平面直角坐標(biāo)系．在直線的右側(cè)，考察范圍為到點(diǎn)B的距離不超過km的區(qū)域;在直線x=2的左側(cè)，考察范圍為到點(diǎn)A，B的距離之和不超過4km的區(qū)域．

(1)求考察區(qū)域邊界曲線的方程;

(2)如圖5，設(shè)線段P1P2，P2P3是冰川的部分邊界線(不考慮其他邊界)，當(dāng)冰川融化時(shí)，邊界線沿與其垂直的方向朝考察區(qū)域平行移動(dòng)，第一年移動(dòng)0．2 km，以后每年移動(dòng)的距離為前一年的2倍，求冰川邊界線移動(dòng)到考察區(qū)域所需的最短時(shí)間．

(2010年湖南省數(shù)學(xué)高考理科試題)

解(1)設(shè)邊界曲線上點(diǎn)P的坐標(biāo)為(x，y)．當(dāng)x≥2時(shí)，由題意知

圖5

圖6

(2)設(shè)過點(diǎn) P1，P2的直線為 l1，過點(diǎn) P2，P3的直線為l2，則直線l1，l2的方程分別為y=+14，y=6．設(shè)直線l平行于直線l1，其方程為y=+m，代入橢圓方程消去y得由判別式等于0，解得

從圖6中可以看出，當(dāng)m=8時(shí)直線l與C2的公共點(diǎn)到直線l1的距離最近，此時(shí)直線l的方程為y=+8，l與l1的距離為3．因?yàn)橹本€l2到C1和C2的最短距離為6－＞3，所以考察區(qū)域邊界到冰川邊界的最短距離為3．

設(shè)冰川邊界線移動(dòng)到考察區(qū)域所需時(shí)間為n年，則由題設(shè)及等比數(shù)列求和公式得:

解得n≥4，即冰川邊界線移動(dòng)到考察區(qū)域所需的最短時(shí)間為4年．

點(diǎn)評(píng)本題以實(shí)際探究問題為背景，考查數(shù)學(xué)建模能力，知識(shí)涉及圓方程、橢圓的定義與方程、直線與圓錐曲線的位置關(guān)系、等比數(shù)列求和等．題中已經(jīng)給出直角坐標(biāo)系，要求根據(jù)題中實(shí)際條件求出相應(yīng)的直線、圓、圓錐曲線方程，并用它們來解決問題．

除了上述典型實(shí)例，另外還有數(shù)列模型、立體幾何模型等數(shù)學(xué)模型的應(yīng)用問題，也有物理等其他學(xué)科背景的應(yīng)用問題．

精題集粹

1．某臺(tái)小型晚會(huì)由6個(gè)節(jié)目組成，演出順序有如下要求:節(jié)目甲必須排在第4位、節(jié)目乙不能排在第1位，節(jié)目丙必須排在最后一位，該臺(tái)晚會(huì)節(jié)目演出順序的編排方案共有 ( )

A．36種 B．42種 C．48種 D．54種

2．為了迎接2010年廣州亞運(yùn)會(huì)，某大樓安裝了5個(gè)彩燈，它們閃亮的順序不固定，每個(gè)彩燈閃亮只能是紅、橙、黃、綠、藍(lán)中的一種顏色，且這5個(gè)彩燈所閃亮的顏色各不相同．記這5個(gè)彩燈有序地閃亮一次為一個(gè)閃爍，在每個(gè)閃爍中，每秒有且僅有一個(gè)彩燈閃亮，而相鄰2個(gè)閃爍的時(shí)間間隔均為5秒．如果要實(shí)現(xiàn)所有不同的閃爍，那么需要的時(shí)間至少是 ( )

A．1 205秒 B．1 200秒 C．1 195秒 D．1 190秒

3．一質(zhì)點(diǎn)受到平面上的3個(gè)力 F1，F(xiàn)2，F(xiàn)3(單位:牛頓)的作用而處于平衡狀態(tài)．已知F1，F(xiàn)2成角60°，且 F1，F(xiàn)2的大小分別為 2 和 4，則 F3的大小為 ( )

4．某加工廠用某原料由甲車間加工出產(chǎn)品A，由乙車間加工出產(chǎn)品B．甲車間加工一箱原料需耗費(fèi)工時(shí)10小時(shí)可加工出7千克產(chǎn)品A，每千克產(chǎn)品A獲利40元．乙車間加工一箱原料需耗費(fèi)工時(shí)6小時(shí)可加工出4千克產(chǎn)品B，每千克產(chǎn)品B獲利50元．甲、乙2車間每天共能完成至多70箱原料的加工，每天甲、乙2車間耗費(fèi)工時(shí)總和不得超過480小時(shí)，甲、乙2車間每天總獲利最大的生產(chǎn)計(jì)劃為 ( )

A．甲車間加工原料10箱，乙車間加工原料60箱B．甲車間加工原料15箱，乙車間加工原料55箱C．甲車間加工原料18箱，乙車間加工原料50箱D．甲車間加工原料40箱，乙車間加工原料30箱5．某班共有30人，其中有15人喜愛籃球運(yùn)動(dòng)，10人喜愛乒乓球運(yùn)動(dòng)，8人對(duì)這2項(xiàng)運(yùn)動(dòng)都不喜愛，則喜愛籃球運(yùn)動(dòng)但不喜愛乒乓球運(yùn)動(dòng)的人數(shù)為＿＿．6．某工廠生產(chǎn)甲、乙2種產(chǎn)品，產(chǎn)品甲的一等品率為80%，二等品率為20%;產(chǎn)品乙的一等品率為90%，二等品率為10%．生產(chǎn)1件產(chǎn)品甲，若是一等品則獲得利潤4萬元，若是二等品則虧損1萬元;生產(chǎn)1件產(chǎn)品乙，若是一等品則獲得利潤6萬元，若是二等品則虧損2萬元．設(shè)生產(chǎn)各種產(chǎn)品相互獨(dú)立．

(1)記X(單位:萬元)為生產(chǎn)1件產(chǎn)品甲和1件產(chǎn)品乙可獲得的總利潤，求X的分布列;

(2)求生產(chǎn)4件產(chǎn)品甲所獲得的利潤不少于10萬元的概率．

參考答案

1．B 2．C 3．D 4．B 5．12

6．(1)X的分布列如表2所示．

表2 X的分布列

(2)生產(chǎn)4件甲產(chǎn)品所獲得的利潤不少于10萬元的概率為0．819 2．