隱性路徑顯性分析

2011-08-27 03:37周禮寅東臺市實驗中學教育集團江蘇東臺224200

中學教研(數(shù)學) 2011年3期

●周禮寅 (東臺市實驗中學教育集團江蘇東臺 224200)

運動型問題是近年來中考的一個熱點.這類試題能全面考查學生的數(shù)學活動過程，考查學生通過數(shù)學思考解決問題的綜合應用能力，因而倍受各地中考命題者的青睞.探索在運動過程中動點的運動路徑是運動型問題新呈現(xiàn)的考查方向.這類問題由于動點運動路徑不明晰，因此對學生分析問題的能力要求更高.為此，本文嘗試對這類隱性路徑問題進行顯性分析，供參考.

1 動點路徑問題的幾種類型

1.1 單動點路徑

例1 如圖1，正方形ABCD的邊長是2，M是AD的中點，點E從點A出發(fā)，沿AB運動到點B停止，連結EM并延長交射線CD于點F，過點M作EF的垂線交射線BC于點G，連結EG，F(xiàn)G.

(1)設AE=x，△EGF的面積為y，求y關于x的函數(shù)關系式，并寫出自變量x的取值范圍;

(2)P是MG的中點，請直接寫出點P的運動路線的長.(2010年江蘇省南京市數(shù)學中考試題)

分析(1)略;

(2)要求點P的運動路線的長，必須先探索點P的運動軌跡.由動點E運動的臨界點為A，B，可知當動點E運動至點A時，點P運動至點P1(如圖2);當動點E運動至點B時，點P運動至點P2(如圖3)，因此點P在P1與P2之間運動.

圖1

圖2

圖3

在由點A向點B運動的過程中，再選取一個動點E，作出相應的點 P(如圖4)，從點 P1，P，P2可大致猜測出點P的運動軌跡應為線段P1P2.

為什么點P的運動軌跡為線段P1P2呢?如圖5，設 MG交 P1P2于點 P'.由 P1P2為△MG1G2的中位線，得 P1P2∥G1G2，即 P1P'∥G1G2，因此即點P'與點P重合.這表明MG的中點P始終落在線段P1P2上，因此點P的運動路徑為P1P2，通過計算可求得P1P2的長為2.

圖4

圖5

評析本題由于動點E的運動，使得△EFG及點P均受點E的牽制而運動.在探索動點P的運動路徑時，其分析思路為：特殊位置找界點，中間位置尋軌跡，一般位置探成因.這種分析方法適用于一般的運動路徑探索問題.

該試題是全卷的壓軸題，給學習能力較強的學生創(chuàng)造了展示自我的空間，通過動態(tài)探究問題來考查學生的邏輯推理能力、探究發(fā)現(xiàn)能力、靈活利用數(shù)學知識解決問題的能力，是考查學生綜合能力和數(shù)學素養(yǎng)的一道關鍵題目，同時兼顧高一級學校選拔新生的需要.

1.2 雙動點路徑

例2 如圖6所示，已知AB=10，點C，D在線段AB上且AC=DB=2.P是線段CD上的動點，分別以AP，PB為邊在線段AB的同側作等邊△AEP和等邊△PFB，連結EF，設EF的中點為G.當點P從點C運動到點D時，則點G 移動路徑的長是_______.

(2010年廣西省桂林市數(shù)學中考試題)

圖6

圖7

圖8

分析由于點P從點C運動到點D，其運動的臨界點為C，D.當動點P運動至點C時，點G運動至點G1(如圖7);當動點P運動至點D時，點G運動至點G2(如圖8).因此點G在G1與G2之間運動.

為了探明動點G的運動軌跡，在由點C至點D運動的過程中，再選取點P的某一位置作出相應的點G(如圖9)，由點G，G1，G2可大致判斷點G的運動軌跡應為線段G1G2.

為說明點G總在線段G1G2上運動，如圖10，延長AE，BF交于點H，則 PE∥FH且 PF∥EH，得四邊形PEHF為平行四邊形.由點G為EF的中點，得點G為?PEHF對角線的交點，因此點G一定為HP的中點.隨著點P在CD上運動，由例1第(2)小題的分析可知，中點G在線段G1G2上運動.而線段G1G2為△HCD的中位線，其長度為3.

圖9

圖10

評析本題打破過去單純從動點、動直線的角度切入的常規(guī)方法，而是借助雙動點使兩點運動牽制形成另一動點的構思新穎的運動狀態(tài)，嘗試從不同角度考查學生采集“數(shù)”與“形”的信息，尋求解決問題方法的能力.試題還考查了等邊三角形、平行四邊形和相似形的性質;考查了運動變化思想和數(shù)形結合思想，以及特殊與一般、運動與變化等數(shù)學觀念，確保了試題在《課程標準》的要求范圍內具有較高的區(qū)分性和較好的效度.

1.3 動圖形路徑

例3 已知：如圖11，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠A=90°，AB=6，BC=8，AD=14.E 為AB上一點，BE=2，點F在邊BC上運動，以FE為一邊作菱形FEHG，使點H落在邊AD上，點G落在梯形ABCD內或其邊上.若BF=x，△FCG的面積為y.

(1)當x = _______時，四邊形FEHG為正方形;

(2)求x與y的函數(shù)關系式(不要求寫出自變量的取值范圍);

(3)在備用圖中分別畫出△FCG的面積取得最大值和最小值時相應的圖形(不要求尺規(guī)作圖，不要求寫畫法)，并求△FCG面積的最大值和最小值(計算過程可簡要書寫);

(4)△FCG的面積由最大值變到最小值時，點G 運動的路線長為_______.

(2010年北京市西城區(qū)八年級期末測試卷)

分析(1)，(2)略.

(3)如圖11，過點G作GM⊥AD于點M，并反向延長交BC于點N，連結HF，可證得

在△FCG中，邊FC上的高GN不變，要使其面積最大(小)，只需底邊FC的值最大(小).當點F運動到使菱形FEHG的頂點H與點A重合時(如圖12)，F(xiàn)C取得最大值.在Rt△BEF中，求得

圖11

(4)由第(3)小題知，點G在G1與G2間運動.如圖12，無論點 F如何運動變化，它到邊BC的距離始終不變，點G的運動軌跡為與直線BC平行，且到直線BC的距離為4的平行線段G1G2，通過計算可求得G1G2的長為 1 2-2.

評析該試題通過點F的運動帶來菱形與三角形的運動，把觀察、操作、探究、計算融合在一起，將全等三角形、菱形、勾股定理等初中數(shù)學的主干知識融為一體.作為壓軸題，本題設計新穎、不落俗套、自然流暢、梯度合理、入口寬、出口窄，需綜合運用核心知識去靈活地解決問題.在探究圖形變化過程中，考查了函數(shù)思想、方程思想等重要的數(shù)學思想方法以及基本軌跡的識別與應用.

圖12

1.4 坐標系路徑

例4 如圖14，在平面直角坐標系中，已知點A(2，4)，B(5，0)，動點P 從點B 出發(fā)沿BO 向終點O運動，動點Q從點A出發(fā)沿AB向終點B運動.兩點同時出發(fā)，速度均為每秒1個單位，設從出發(fā)起運動了x秒.

(1)點Q的坐標為( _____，______)(用含x的代數(shù)式表示);

(2)當x為何值時，△APQ是一個以AP為腰的等腰三角形?

(3)記PQ的中點為G，請你探求點G隨點P，Q運動所形成的圖形，并說明理由.

(2006年江蘇省蘇州市數(shù)學中考試題)

分析(1)，(2)略.

圖14

圖15

(3)由于P，Q的運動速度相同，且AB=OB，因此點P從點B運動至點O的同時，點Q從點A運動至點B.當動點P與點B重合時，點G為AB的中點G2;當動點P與點O重合時，點G為OB的中點G1.再在OB上選一點P，作出相應的點Q及PQ的中點G.由點G1，G，G2觀察可發(fā)現(xiàn)點G隨點P，Q運動所形成的圖形是線段G1G2(如圖15).下面進一步說明點G的運動軌跡為線段G1G2.

滿足y=2x-5，因此點G在線段G1G2上.

思路2 如圖15，設G1G2與PQ交于點G'，過點P作 PK∥AO交 AB于點 K.由 PK∥AO，得△AOB∽△KPB.又由△AOB∽△G2G1B，AB=OB，

即 KG2=QG2.由 G2G'∥PK，得△QG2G'∽△QKP，因此PG'=QG'，即G'是PQ的中點，故點G'與點G重合，點G在線段G1G2上.

評析思路1是在直角坐標系中，根據點G的坐標滿足線段G1G2的直線方程，說明點G在線段G1G2上;思路2通過證明PQ與G1G2的交點為PQ的中點，得到點G的運動軌跡是線段G1G2.試題以坐標系、三角形、函數(shù)解析式等數(shù)學知識為立足點，加大了對后續(xù)學習的分類討論、數(shù)形結合、函數(shù)方程等數(shù)學思想方法的考查，體現(xiàn)了初、高中教學內容的銜接.通過問題的解決還有效地考查了學生在數(shù)學活動過程中所表現(xiàn)出的思維方式、思維水平，對教學起到了導向作用.

2 動點路徑的特征及解題思路

以上幾例的共同特點是：在幾何圖形中或函數(shù)圖像上，有1或2個動點沿線段、折線、射線或圓弧等曲線運動，研究點在運動中牽制形成另一相關聯(lián)的動點的運動路徑形狀或路徑的長.

對這類問題要善于借助動態(tài)思維的觀點來分析，不為“動”所迷惑.從特殊情形入手，變中求不變，動中求靜，抓住靜的瞬間，以靜制動，把動態(tài)問題轉化為靜態(tài)問題來解決，從而找到問題的突破口.動與靜是相對的，抓住運動中的不變量(譬如圖形全等、距離不變等)，對比運動前后2種狀態(tài)的區(qū)別，用心體會，尋找規(guī)律.解答時往往需要綜合運用轉化思想、數(shù)形結合思想、方程函數(shù)思想及分類討論等各種數(shù)學思想方法.