●陳明儒 (東海實驗學校 浙江寧波 315800)

簡述一道中考題的拓展與探究

●陳明儒 (東海實驗學校 浙江寧波 315800)

圖1

題目如圖1，邊長為1的正方形ABCD被2條與邊平行的線段分割成4個小矩形，EF與GH交于點P．

(1)若 AG=AE，證明:AF=AH;

(2)若∠FAH=45°，證明:AG+AE=FH;

(3)若Rt△GBF的周長為1，求矩形EPHD的面積．

(2009年廣東省廣州市數(shù)學中考試題)

1 試題評析

本題主要考查正方形、矩形、全等三角形等基礎知識;考查計算能力、推理能力和空間觀念;考查學生運用所學知識尋找問題關鍵點的能力．特別是在第(2)小題中，知道了∠FAH=45°后，利用∠HAD+∠BAF=45°打開解題思路是這個問題解決的關鍵所在，也是思維水平提升到更高層次的基本要素．試題不僅關注學生觀察事物的能力和對數(shù)學知識層次理解的能力，也是對教學過程中學生推理演算能力的體現(xiàn)，具有較好的創(chuàng)新性．

2 試題拓展與探究

2．1 弱化條件，結(jié)論不變

對試題第(2)小題縱向拓展．

探究1若將條件放寬，如圖2所示，在四邊形ABCD中，AB=AD，∠B=∠D=90°，∠FAH=∠BAD，則結(jié)論BF+HD=FH是否仍然成立?

圖2

圖3

圖4

圖5

在圖5中，延長CB至點G，使得BG=DH，連結(jié)AG．由∠ABG和∠D都是∠ABC的補角，得

類似地，可以證明FH=BF+HD成立．

若將圖1、圖2、圖3中的△FAH繞頂點A旋轉(zhuǎn)至四邊形外，則還可以繼續(xù)探究FH，BF，HD之間的數(shù)量關系．

2．2 題設不變，探究結(jié)論

探究2對試題第(2)小題，當∠FAH=45°時，除本題的結(jié)論外，還可得到其他許多結(jié)論，可參見文獻［1］．除此之外，通過探究還發(fā)現(xiàn):

2．3 逆向思維，橫向拓展

圖6

圖7

方法2(運用旋轉(zhuǎn)變換)如圖7，將Rt△ADH繞點A沿順時針方向旋轉(zhuǎn)90°至Rt△AMN，延長線段NM與直線 EF交于點Q，連結(jié) NF．設正方形AGPE 的邊長為 a，PH=x，PF=y，則

于是 S矩形PFCH=2S正方形AGPE．

方法3(運用基本圖形)如圖8，設正方形AGPE的邊長為 a，EM=m，GN=n，PH=x，PF=y．由 ∠FAH=45°，即∠MAN=45°，得

由△AEM∽△HPM得

圖8

2．4 從特殊到一般拓展

對試題第(3)小題，從特殊能否推到一般呢?

證明如圖1，連結(jié) GF．設 BF=x，則

3 創(chuàng)編探究性問題

通過逆思2可以得到命題:在矩形ABCD中，若四邊形 AGPE為正方形，且∠FAH=45°，則S矩形PFCH=2S正方形AGPE．

如果將這個命題作為普通的測試題，那么圖形背景太復雜，起點也高．通過進一步思考，去掉一些不必要的線段，可以使圖形更簡潔．同時，增設2個有層次的問題，再植入旋轉(zhuǎn)背景，把靜態(tài)問題變?yōu)閯討B(tài)的探究性問題，這樣符合現(xiàn)行的命題趨勢．現(xiàn)創(chuàng)編如下:

正方形ABCD的邊長為 a，點 E，F(xiàn)分別在邊BC，DE的延長線上，∠EAF=45．

(1)若 CE=CF，如圖9，證明:

①AE=AF;

②S△CEF=a2．

(2)讓∠EAF繞點A旋轉(zhuǎn)一定角度，使得CE≠CF，如圖10，則△CEF的面積是否發(fā)生改變．若不改變，請給出證明;若改變，求改變后的△CEF的面積．

圖9

圖10

綜上所述，適當對問題進行拓展與探究，使學生能充分感知到知識間的內(nèi)在聯(lián)系，加深對知識的縱橫向認識，從而開闊了學生的視野，也培養(yǎng)了學生的探究和創(chuàng)新精神．

［1］ 羅增儒．巧思妙解與數(shù)學證明［J］．中等數(shù)學，2005(3):17．