●李樹臣 (沂南縣教育局 山東沂南 276300)

簡述考查學(xué)生數(shù)學(xué)猜想的幾種常見方式

●李樹臣 (沂南縣教育局 山東沂南 276300)

《全日制義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》(以下簡稱《標(biāo)準(zhǔn)》)非常強(qiáng)調(diào)對(duì)學(xué)生猜想能力的培養(yǎng)．例如，在“基本理念”中指出:“學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)內(nèi)容應(yīng)當(dāng)是現(xiàn)實(shí)的、有意義的、富有挑戰(zhàn)性的，這些內(nèi)容要有利于學(xué)生主動(dòng)地進(jìn)行觀察、實(shí)驗(yàn)、猜測、驗(yàn)證、推理與交流等數(shù)學(xué)活動(dòng)”;在“設(shè)計(jì)思路”中指出，“推理能力主要表現(xiàn)在:能通過觀察、實(shí)驗(yàn)、歸納、類比等獲得數(shù)學(xué)猜想，并進(jìn)一步尋求證據(jù)、給出證明或舉出反例”;在闡述課程目標(biāo)時(shí)指出，讓學(xué)生“經(jīng)歷觀察、實(shí)驗(yàn)、猜想、證明等數(shù)學(xué)活動(dòng)過程，發(fā)展合情推理能力和初步的演繹推理能力，能有條理地、清晰地闡述自己的觀點(diǎn)”等等．由此可見，在數(shù)學(xué)教學(xué)中培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)猜想能力非常重要．可喜的是，最近幾年的數(shù)學(xué)中考命題者在這方面進(jìn)行了有益而大膽的探索，試卷中出現(xiàn)了一些引導(dǎo)學(xué)生去猜想的題目．為此，筆者從2010年各地的中考試卷中選擇部分有代表性的題目進(jìn)行分析，以供參考．

1 從算式的計(jì)算中，歸納猜想規(guī)律

(2010年山東省濟(jì)寧市數(shù)學(xué)中考試題)

分析本題以簡單的分?jǐn)?shù)計(jì)算為載體，以考查學(xué)生歸納猜想的能力為主．(1)觀察給定的3個(gè)等式，即可猜想得到結(jié)論;(2)根據(jù)分式加減運(yùn)算法則通分計(jì)算;(3)根據(jù)第(1)小題的結(jié)果計(jì)算．

點(diǎn)評(píng)給定幾個(gè)代數(shù)計(jì)算式子，在計(jì)算的過程中通過歸納、猜想得到有關(guān)的規(guī)律，然后用代數(shù)變形的方式證明猜想的正確性，并利用猜想得到的規(guī)律解答給定的問題，這是一種常見的題型．解答這類問題需要有較強(qiáng)的觀察、分析、判斷、類比歸納等能力．在教學(xué)過程中，教師應(yīng)結(jié)合具體的教學(xué)內(nèi)容設(shè)計(jì)一些類似的題目讓學(xué)生去分析和思考，學(xué)生的歸納猜想能力必將得到較大的提高．

2 與數(shù)形結(jié)合思想聯(lián)系在一起，探索并猜想有關(guān)規(guī)律

案例2 用棋子按下列方式擺圖形(如圖1所示)，依照此規(guī)律，第n個(gè)圖形比第n－1個(gè)圖形多＿＿枚棋子．

(2010年江蘇省徐州市數(shù)學(xué)中考試題)

分析本題創(chuàng)設(shè)了一個(gè)觀察棋子圖形中棋子個(gè)數(shù)的“數(shù)形結(jié)合”的數(shù)學(xué)模型．在解答時(shí)，需要從簡單到復(fù)雜進(jìn)行探究:

第1個(gè)圖形顯然有1枚棋子;

第2個(gè)圖形有5枚棋子，它們分別在一個(gè)正五邊形的頂點(diǎn)處．為了便于分析，構(gòu)造正五邊形ABCDE，把五邊形一個(gè)頂點(diǎn)A看成是第1個(gè)圖形的一個(gè)點(diǎn)，這一點(diǎn)A是五邊形的邊AB和AE的交點(diǎn)．除這2條邊外，還有3條邊BC，CD，DE，每邊上有2個(gè)點(diǎn)，這樣還有3×2=6個(gè)點(diǎn)，但其中C，D這2個(gè)頂點(diǎn)計(jì)算了2次，應(yīng)減去，這樣就還有3×2－2=4個(gè)，即第2個(gè)圖形有1+3×2－2=5枚棋子．

第3個(gè)圖形比第2個(gè)圖形多一層五邊形，內(nèi)層五邊形就是第2個(gè)圖形，有5枚棋子．外層五邊形每邊上3枚棋子，類比第2個(gè)圖形，可計(jì)算第3個(gè)圖形中棋子的枚數(shù)為:5+3×3－2=12個(gè)．

同樣，第4個(gè)圖形中棋子的枚數(shù)為

由此可以猜想得到規(guī)律:第n個(gè)圖形中棋子的枚數(shù)是第n－1個(gè)圖形中棋子的枚數(shù)加上3×n－2，這里3×n－2=3n－2就是增加數(shù)．

點(diǎn)評(píng)從分析的過程看，本題是借助于“圖形”的形象性與直觀性逐步得到解決的．除了考查學(xué)生的數(shù)學(xué)猜想能力外，還滲透了數(shù)形結(jié)合的思想．本題給我們的啟發(fā)有二:一是在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中，當(dāng)遇到一個(gè)問題涉及到很多或無窮多情形時(shí)，可以從問題的簡單情形或特殊情形入手，通過簡單情形或特殊情形的試驗(yàn)，從中發(fā)現(xiàn)一般規(guī)律或作出某種猜想，從而找到解決問題的途徑;二是在教學(xué)中，千萬不要就知識(shí)點(diǎn)而講知識(shí)點(diǎn)，一定要把這些“顯知識(shí)”背后所“隱含”的數(shù)學(xué)思想揭示出來．做到用數(shù)學(xué)思想方法來“統(tǒng)領(lǐng)”知識(shí)點(diǎn)，以達(dá)到優(yōu)化知識(shí)結(jié)構(gòu)的目的，因?yàn)橹挥羞@樣被“優(yōu)化”起來的知識(shí)結(jié)構(gòu)才具有生命力和創(chuàng)造性．

3 從對(duì)簡單幾何體模型的觀察出發(fā)，猜想幾何體中有關(guān)元素之間的數(shù)字規(guī)律

案例3十八世紀(jì)瑞士數(shù)學(xué)家歐拉證明了簡單多面體頂點(diǎn)數(shù)(V)、面數(shù)(F)、棱數(shù)(E)之間存在的一個(gè)有趣的關(guān)系式，被稱為歐拉公式．請你觀察下列幾種簡單多面體模型(如圖3所示)，解答下列問題:

圖3

(1)根據(jù)上面多面體模型完成表1中的空格，可得出頂點(diǎn)數(shù)(V)、面數(shù)(F)、棱數(shù)(E)之間存在的一個(gè)有趣的關(guān)系式，如表1所示．

表1 頂點(diǎn)數(shù)(V)、面數(shù)(F)、棱數(shù)(E)的數(shù)值表

你發(fā)現(xiàn)頂點(diǎn)數(shù)(V)、面數(shù)(F)、棱數(shù)(E)之間存在的關(guān)系式是＿＿ ．

(2)一個(gè)多面體的面數(shù)比頂點(diǎn)數(shù)大8，且有30條棱，則這個(gè)多面體的面數(shù)是＿＿ ．

(3)某個(gè)玻璃飾品的外形是簡單多面體，它的外表面由三角形和八邊形這2種多邊形拼接而成，且有24個(gè)頂點(diǎn)，每個(gè)頂點(diǎn)處都有3條棱．設(shè)該多面體外表面三角形的個(gè)數(shù)為x，八邊形的個(gè)數(shù)為y，求x+y的值．

(2010年浙江省寧波市數(shù)學(xué)中考試題)

分析(1)仔細(xì)觀察給定的4個(gè)多面體模型，可知四面體的棱數(shù)為6，正八面體的頂點(diǎn)數(shù)為6;根據(jù)給定的4個(gè)多面體的頂點(diǎn)數(shù)(V)、面數(shù)(F)和棱數(shù)(E)之間的數(shù)量關(guān)系，可歸納、猜想得到它們之間的關(guān)系為V+F－E=2．(2)根據(jù)第(1)小題的結(jié)論求解．(3)多面體的面數(shù)為x+y，棱數(shù)為=36條．根據(jù)題意可列出一個(gè)方程，在求解時(shí)應(yīng)把x+y當(dāng)作一個(gè)整體．

點(diǎn)評(píng) 歐拉是一位著名數(shù)學(xué)家，他淵博的知識(shí)、無窮無盡的創(chuàng)作精力和空前豐富的著作令世人驚嘆不已．本題的特點(diǎn)是給出幾個(gè)幾何體模型，讓學(xué)生觀察它們的頂點(diǎn)數(shù)、面數(shù)及棱數(shù)，為了啟發(fā)學(xué)生能獨(dú)立猜想到每個(gè)幾何體模型的這“3個(gè)數(shù)量”之間的關(guān)系，即猜想得到著名的歐拉公式．本題用圖表給出這些數(shù)中的大部分?jǐn)?shù)，這樣可降低解題難度．學(xué)生一旦猜想到它們之間的關(guān)系，后面的問題就可以直接利用這一關(guān)系進(jìn)行解答．

4 通過創(chuàng)設(shè)具體的問題情境、數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)等，考查學(xué)生數(shù)學(xué)猜想能力

圖4

案例4 問題再現(xiàn)在現(xiàn)實(shí)生活中，鑲嵌圖案在地面、墻面乃至服裝面料設(shè)計(jì)中隨處可見．在八年級(jí)課題學(xué)習(xí)“平面圖形的鑲嵌”內(nèi)容時(shí)，對(duì)于單種多邊形的鑲嵌問題，主要研究了三角形、四邊形、正六邊形的鑲嵌．在此把正多邊形的鑲嵌作為研究問題的切入點(diǎn)，提出其中幾個(gè)問題來共同探究．

我們知道，可以單獨(dú)用正三角形、正方形或正六邊形鑲嵌平面．如圖4，若用正方形鑲嵌平面，則可以發(fā)現(xiàn)在一個(gè)頂點(diǎn)O周圍圍繞著4個(gè)正方形的內(nèi)角．

試想:若用正六邊形來鑲嵌平面，則在一個(gè)頂點(diǎn)周圍應(yīng)該圍繞著＿＿ 個(gè)正六邊形的內(nèi)角．

問題提出如果要同時(shí)用2種不同的正多邊形鑲嵌平面，那么能設(shè)計(jì)出幾種不同的組合方案?

問題解決 猜想1是否可以同時(shí)用正方形、正八邊形這2種正多邊形組合進(jìn)行平面鑲嵌?

分析可以將此問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題來解決．從平面圖形的鑲嵌中可以發(fā)現(xiàn)，解決問題的關(guān)鍵在于分析能同時(shí)用于完整鑲嵌平面的2種正多邊形的內(nèi)角特征．具體地說，就是在鑲嵌平面時(shí)，一個(gè)頂點(diǎn)周圍圍繞的各個(gè)正多邊形的內(nèi)角恰好拼成一個(gè)周角．

驗(yàn)證1在鑲嵌平面時(shí)，設(shè)圍繞某一點(diǎn)有x個(gè)正方形和y個(gè)正八邊形的內(nèi)角可以拼成一個(gè)周角．根據(jù)題意得

結(jié)論1在鑲嵌平面時(shí)，在一個(gè)頂點(diǎn)周圍圍繞著1個(gè)正方形和2個(gè)正八邊形的內(nèi)角可以拼成一個(gè)周角，因此可同時(shí)用正方形和正八邊形這2種正多邊形組合進(jìn)行平面鑲嵌．

猜想2是否可以同時(shí)用正三角形和正六邊形這2種正多邊形組合進(jìn)行平面鑲嵌?若能，請按照上述方法進(jìn)行驗(yàn)證，并寫出所有可能的方案;若不能，請說明理由．

上面探究了同時(shí)用2種不同的正多邊形組合鑲嵌平面的部分情況，僅僅得到了一部分組合方案，相信同學(xué)們用同樣的方法，一定會(huì)找到其他可能的組合方案．

問題拓廣請你仿照上面的研究方式，探索出一個(gè)同時(shí)用3種不同的正多邊形組合進(jìn)行平面鑲嵌的方案，并寫出驗(yàn)證過程．

(2010年山東省青島市數(shù)學(xué)中考試題)

分析本題從日常生活中的“鑲嵌”問題出發(fā)，可分如下4個(gè)階段展開:問題再現(xiàn)——問題提出——問題解決——問題拓廣．

(1)在問題再現(xiàn)階段，要求學(xué)生觀察圖4，回答用正六邊形來鑲嵌平面，在一個(gè)頂點(diǎn)周圍應(yīng)該圍繞著幾個(gè)正六邊形的內(nèi)角?這非常簡單，學(xué)生都能類比猜想得到結(jié)論為3．

(2)提出問題:如果要同時(shí)用2種不同的正多邊形鑲嵌平面，那么能設(shè)計(jì)出幾種不同的組合方案?

結(jié)論2在鑲嵌平面時(shí)，在一個(gè)頂點(diǎn)周圍圍繞著2個(gè)正三角形和2個(gè)正六邊形的內(nèi)角或者圍繞著4個(gè)正三角形和1個(gè)正六邊形的內(nèi)角可以拼成一個(gè)周角，因此可以同時(shí)用正三角形和正六邊形這2種正多邊形組合進(jìn)行平面鑲嵌．

猜想3是否可以同時(shí)用正三角形、正方形和正六邊形這3種正多邊形組合進(jìn)行平面鑲嵌?

驗(yàn)證3在鑲嵌平面時(shí)，設(shè)圍繞某一點(diǎn)有m個(gè)正三角形、n個(gè)正方形和c個(gè)正六邊形的內(nèi)角可以拼成一個(gè)周角．根據(jù)題意得

因此可找到惟一一組適合方程的正整數(shù)解為

(3)在問題解決階段給出了2個(gè)猜想，為了降低難度，題目對(duì)猜想1進(jìn)行了分析和驗(yàn)證并在得到結(jié)論1之后，提出了猜想2．對(duì)于這個(gè)猜想要求學(xué)生仿照對(duì)猜想1的驗(yàn)證過程，對(duì)猜想2進(jìn)行驗(yàn)證，并歸納得出結(jié)論2．

(4)在問題拓廣階段，要求學(xué)生自己提出猜想、進(jìn)行驗(yàn)證、最后歸納出結(jié)論．

本題的特點(diǎn)是引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行“閱讀—理解—猜想—驗(yàn)證”，文字?jǐn)⑹鲚^長，如果學(xué)生不認(rèn)真進(jìn)行分析，那么可能會(huì)無從下手．解答的關(guān)鍵在于仔細(xì)“審題”，理解題意．

驗(yàn)證2在鑲嵌平面時(shí)，設(shè)圍繞某一點(diǎn)有a個(gè)正三角形和b個(gè)正六邊形的內(nèi)角可以拼成一個(gè)周角．根據(jù)題意得

因此可找到2組適合方程的正整數(shù)解為

結(jié)論3在鑲嵌平面時(shí)，在一個(gè)頂點(diǎn)周圍圍繞著1個(gè)正三角形、2個(gè)正方形和1個(gè)正六邊形的內(nèi)角可以拼成一個(gè)周角，因此可以同時(shí)用正三角形、正方形和正六邊形這3種正多邊形組合進(jìn)行平面鑲嵌(說明:本題答案不惟一，符合要求即可)．

點(diǎn)評(píng)近年來，各地中考卷中經(jīng)常出現(xiàn)這樣的問題:提供一個(gè)學(xué)生熟悉的生活材料，要求學(xué)生能夠從給出的問題情景中經(jīng)過分析找到解決問題的規(guī)律和方法，靈活運(yùn)用有關(guān)知識(shí)加以解決．本題以學(xué)生熟悉的生活實(shí)際問題(鑲嵌)為背景，通過“再現(xiàn)生活中的實(shí)際問題——提出問題——問題解決——問題拓廣”，考查學(xué)生把能否“鑲嵌”的問題轉(zhuǎn)化為能否“拼成”一個(gè)周角的問題的能力，進(jìn)而考查學(xué)生利用方程的知識(shí)解答問題的能力．解決這類問題需要有較強(qiáng)的閱讀理解能力和數(shù)學(xué)猜想能力，一般思路是:類比具體的范例猜想得到解題方法和規(guī)律，“模擬”此方法和規(guī)律解答類似相關(guān)問題．從深層看，本題以“鑲嵌”為背景，考查學(xué)生類比猜想、推理、論證的能力．

案例5 (1)操作發(fā)現(xiàn)如圖5，在矩形ABCD中，E是 AD的中點(diǎn)，將△ABE沿 BE折疊后得△GBE，且點(diǎn)G在矩形ABCD的內(nèi)部．小明將BG延長交DC于點(diǎn)F，認(rèn)為GF=DF，你同意嗎?說明理由．

(2)問題解決保持第(1)小題中的條件不變，若 DC=2DF，求的值．

(3)類比探求 保持第(1)小題中條件不變，若 DC=n·DF，求的值．

(2010年河南省數(shù)學(xué)中考試題)

分析(1)在實(shí)驗(yàn)操作時(shí)，只要能確定矩形ABCD的邊AD的中點(diǎn)E，按要求進(jìn)行操作，將會(huì)發(fā)現(xiàn)GF=DF．仔細(xì)觀察發(fā)現(xiàn)，連結(jié)EF，得Rt△EGF≌Rt△EDF．只要能猜想到這一點(diǎn)，問題就容易解決了．(2)要求的值，只要求出即可．因?yàn)锽F=BG+GF=AB+GF=DC+DF，而 DC=2DF，所以考慮到△BCF是直角三角形，利用勾股定理BC2+FC2=BF2，得BC與DC的關(guān)系，進(jìn)而得解．(3)類比第(2)小題即可求解．

圖5

圖6

解(1)同意．如圖6，連結(jié)EF，則

點(diǎn)評(píng)在最近幾年的中考試卷中，出現(xiàn)了一些讓學(xué)生通過“數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)——猜想結(jié)論——證明結(jié)論——利用結(jié)論”求解的題目，本題便是典型的一例．在實(shí)驗(yàn)探究的過程中，能抓住變化中的等量關(guān)系，借助圖形的全等進(jìn)行轉(zhuǎn)化是關(guān)鍵．這樣的題目對(duì)于培養(yǎng)學(xué)生的動(dòng)手操作能力、猜想發(fā)現(xiàn)能力都是非常有益的．

總之，教師應(yīng)大力加強(qiáng)對(duì)《標(biāo)準(zhǔn)》和數(shù)學(xué)教科書的研究，精心設(shè)計(jì)教學(xué)，結(jié)合具體的教學(xué)內(nèi)容，努力把教學(xué)內(nèi)容設(shè)計(jì)成能引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行觀察、實(shí)驗(yàn)、分析、比較、聯(lián)想、類比、歸納的素材，以培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)猜想意識(shí)、猜想習(xí)慣、猜想能力，從而培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新能力．

［1］ 李樹臣．深入鉆研課程標(biāo)準(zhǔn)，努力創(chuàng)提問題情境［J］．中學(xué)數(shù)學(xué)，2009(2):1-3．

［2］ 李樹臣．淺談數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)的在教學(xué)中的應(yīng)用［J］．中國數(shù)學(xué)教育，2009(10):15-17．

［3］ 李樹臣．?dāng)?shù)學(xué)教學(xué)過程化的4個(gè)常用策略［J］．中國數(shù)學(xué)教育，2010(6):2-5．

［4］ 趙緒昌．?dāng)?shù)學(xué)猜想的理性認(rèn)識(shí)與教學(xué)思考［J］．中學(xué)數(shù)學(xué)雜志，2010(8):1-2．