●丁小剛 (奔牛高級中學(xué) 江蘇常州 213131)

均值不等式幾何解釋的探究

●丁小剛 (奔牛高級中學(xué) 江蘇常州 213131)

圖1

圖2

教學(xué)至此，筆者覺得教科書給師生留下了較大的思維空間，教師不妨引導(dǎo)學(xué)生探究以下問題:

(1)均值不等式中的4種平均值的大小關(guān)系是否都能作出平面幾何解釋?

(2)均值不等式能用平面幾何知識解釋，那能否用解析幾何知識解釋?

經(jīng)過師生的共同探究，得到了滿意的結(jié)果．現(xiàn)將探究過程簡述如下，僅供參考．

1 用平面幾何知識解釋均值不等式的探究過程

以上的探究過程讓學(xué)生很受鼓舞．但是馬上發(fā)

圖3

在圖 3中，分別以 AB，BC為斜邊作等腰直角三角形△ABF和△BCG，連結(jié)FG．由M，N分別是AB和 BC的中點，得MNGF是直角梯形．因為

2 用解析幾何知識解釋均值不等式的探究過程

用平面幾何知識解釋均值不等式，教科書對此內(nèi)容作了開拓性的提示，比較容易做到．現(xiàn)在要用解析幾何知識解釋均值不等式，無疑對師生都是一個挑戰(zhàn)．經(jīng)過一番努力，師生共同總結(jié)出下面3個注意點:

(1)為了便于應(yīng)用解析幾何知識，將均值不等式改寫成:

若 x＞0，y＞0，則

(2)解析幾何的思想方法是建立點和坐標之間以及曲線和方程之間的對應(yīng)關(guān)系，因此探究方向是考慮這4種平均值能否與相應(yīng)的曲線方程聯(lián)系起來，它們的大小能否用相應(yīng)的點的坐標來表示．

如圖4，考慮平面直角坐標系中的固定直線l:x+y=2m，以及雙曲線族xy=c(c＞0)．

由圖4可以看出，當(dāng)雙曲線與直線l只有一個公共點且 c取得最大值時的曲線，必定是在點Q(m，m)處與直線l相切的雙曲線，此時c=m2，即當(dāng)且僅當(dāng)x=y=m時，不等式取到等號．

這一步探究的成功具有開拓性的價值，師生無不為之振奮．

圖5

圖6

如圖5，考慮平面直角坐標系中的固定直線l:x+y=2m，以及圓系:x2+y2=2r2(r＞0)．令直線y=x與圓交于點 P(xP，yP)，交直線 l于點 Q(xQ，yQ)，同樣直線l與圓必定有交點M(x，y)．因為

又 xP=yP，所以

由圖5可以看出，圓與直線l只有一個公共點，且r取得最小值的曲線必定是在點Q(m，m)處與直線l相切的圓，此時r=m．即當(dāng)且僅當(dāng)x=y=m時，不等式取到等號．

如圖6，考慮平面直角坐標系中的固定直線l:x+y=2m，以及雙曲線族 xy=c(c＞0)．令直線 y=x交雙曲線于點P(xP，yP)，交直線l于點Q(m，m)．因為 xy=xPyP=c，又 xP=yP，所以

再設(shè)雙曲線上縱坐標等于m的點為N(xN，m)．由m·xN=xy，得

因為 xN≤xP，所以

當(dāng)且僅當(dāng)雙曲線與直線l相切，即x=y=m時，不等式取到等號．

以上是用點的坐標來比較4種平均值的大小，其實還可以利用曲線與直線的位置關(guān)系來比較這些平均值的大?。?/p>

探究活動結(jié)束后，筆者感觸頗多．教科書中許多內(nèi)容的陳述往往是美麗而冰冷的，火熱的思考被淹沒在形式化的海洋里．如何點燃和激起學(xué)生火熱的思考，并欣賞數(shù)學(xué)中冰冷的美麗，是數(shù)學(xué)教學(xué)的一項基本任務(wù)．本文所探究的均值不等式的幾何解釋不過是滄海一粟．教科書中的珍寶可以說是俯拾即是，關(guān)鍵是要求教師做一個有心人，引領(lǐng)學(xué)生不斷地去挖掘數(shù)學(xué)豐富的內(nèi)涵，不懈地進行探索．

數(shù)學(xué)教學(xué)過程決定學(xué)生怎樣看待數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)以及對數(shù)學(xué)本質(zhì)的認識．如果在教學(xué)中要求學(xué)生只是模仿和記憶，只是訓(xùn)練和操作，那么學(xué)生會把數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)看成就是解題．這樣的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)是枯燥的、與日常生活沒有聯(lián)系的．反之，如果注重教學(xué)過程，使學(xué)生理解知識的來龍去脈，尋求知識間的內(nèi)在聯(lián)系，建立完善的知識結(jié)構(gòu)，那么學(xué)生就會逐漸地認識到數(shù)學(xué)知識是有著內(nèi)部聯(lián)系的整體，數(shù)學(xué)知識有著自身的發(fā)展規(guī)律，而這些又可以通過自己的努力去探究獲得．這樣的觀念將會鼓勵他們?nèi)ハ龜?shù)學(xué)知識的神秘感，激發(fā)他們勇于探索的勇氣，引導(dǎo)他們尋找數(shù)學(xué)知識與現(xiàn)實世界的聯(lián)系．這也正是一個優(yōu)秀數(shù)學(xué)教師所要追求的理想的教學(xué)效果．

［1］ 柯朗(Courant，R．)，羅賓斯(Robbins，H．)．?dāng)?shù)學(xué)是什么［M］．汪浩，朱煜民，譯．長沙:湖南教育出版社，1984．

［2］ 胡典順，徐漢文．?dāng)?shù)學(xué)教學(xué)的過程特征和過程價值初探［J］．?dāng)?shù)學(xué)通訊，2007(23):1-3．