●高 召 (三門峽市第一高級中學 河南三門峽 472000)

函數復合最值問題的常用求解策略

●高 召 (三門峽市第一高級中學 河南三門峽 472000)

在數學競賽和高考題中，常常會遇到一些在一類最大值中求其最小值或在一類最小值中求其最大值的復合最值問題．它是函數最值問題中的一種特殊類型，解決這類問題的方法也比較特殊．本文介紹了解決此類問題的一些常用策略，供參考．

1 圖像法

例1用 min{a，b，c}表示 a，b，c這 3 個數中的最小值．設 f(x)=min{2x，x+2，10 － x}(x≥0)，則f(x)的最大值為 ( )

A．4 B．5 C．6 D．7

(2009年寧夏、海南數學高考試題)

分析作出函數y=2x，y=x+2，y=10 － x的圖像，如圖1所示．由圖像可得，f(x)的解析式為

圖1

觀察f(x)圖像的最高點，得f(x)max=6．故選 C．

注對于涉及一元變量的多個函數的復合最值問題，采用圖像法求解會更加直觀、簡潔．

2 均值法

利用平均值是處理函數復合最值問題的最常用方法，往往選取算術平均值和幾何平均值進行求解．若 M=max{x1，x2，…，xn}，m=min{x1，x2，…，xn}，設 x1，x2，…，xn的算術平均值為 A，則 m≤A≤M．設正數 x1，x2，…，xn的幾何平均值為 G，則 m≤G≤M．

注對于涉及多變量的復合最值問題，找出內層最值與算術平均數或幾何平均數的不等關系，借助平均值不等式進行轉化，是處理這類問題的常用方法．

3 設而不求法

對于雙層最值問題，可以先設出內層最值，利用其最值性，建立關于內層最值的不等式，然后通過解不等式的方法求出外層最值．

注(1)把內層最值設出來，并不求出．如何利用已知條件尋找其滿足的不等關系是正確解題的關鍵．

(2)對于例3，可以借助柯西不等式直接建立內層最值的不等式．

4 分類討論法

首先確定多個不同基本變量(自變量)的大小關系，然后利用各變量相等找出分類討論的分界點，再分類討論確定最值．

例4已知實數a，b，c滿足條件a+b+c=1，并且方程ax2+bx+c=0有實數根．記t=max{a，b，c}，求 t的最小值．

解(1)若 t=a，則

注通過討論基本變量的大小關系，可確定出內層最值的表達式，再利用已知條件就能夠求出外層最值．

5 賦值法

通過對函數的主變量賦予特殊函數值得到第二類參變量滿足的不等式，再利用放縮法得到上界或下界，然后指出所得的界是能夠取到的．

注對于內層函數含有絕對值符號的問題，常采用賦值放縮法進行求解．

6 猜想反證法

對一些復合最值問題，可根據問題的極端情況先猜出最值，然后給出證明．如果從正面不好證明，那么可以考慮用反證法解．

［1］ 葉軍．數學奧林匹克教程［M］．長沙:湖南師范大學出版社，1998．