張華紅

(濰坊學(xué)院,山東 濰坊 261061)

步進(jìn)電機(jī)皮帶傳輸系統(tǒng)在機(jī)電設(shè)備中的應(yīng)用非常廣泛,由于負(fù)載對(duì)步進(jìn)電機(jī)的啟停影響很大,使絕大多數(shù)步進(jìn)電機(jī)系統(tǒng)未能工作在最佳狀態(tài)。因此研究其負(fù)載的動(dòng)力學(xué)特性,對(duì)最大限度地發(fā)揮步進(jìn)電機(jī)的效率具有重要的意義。

步進(jìn)伺服系統(tǒng)的建模包括步進(jìn)電機(jī)建模和機(jī)械驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)建模兩部分,二者之間通過轉(zhuǎn)矩平衡而相互聯(lián)結(jié)。步進(jìn)電機(jī)模型與采用的具體控制方式有關(guān),國內(nèi)外步進(jìn)電機(jī)的加減度控制研究一般只考慮步進(jìn)電機(jī)的數(shù)學(xué)模型,很少涉及其驅(qū)動(dòng)機(jī)械系統(tǒng)有關(guān)參數(shù)的影響。然而,只有知道整個(gè)系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型,才能對(duì)系統(tǒng)進(jìn)行分析,改善系統(tǒng)的性能,預(yù)測(cè)系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng),進(jìn)而對(duì)系統(tǒng)實(shí)施最佳控制。

本文主要研究步進(jìn)電機(jī)皮帶傳輸系統(tǒng)建模部分,為了使機(jī)電耦合模型與實(shí)際系統(tǒng)盡可能的接近,建模過程中保留了電機(jī)軸至機(jī)械鏈末端的慣性、粘性阻尼和彈性等因素,以便較好地反映機(jī)電耦合的影響。

1 數(shù)學(xué)模型的基本理論

建立研究對(duì)象的數(shù)學(xué)模型主要有兩條途徑。第一條途徑是利用人們已有的關(guān)于對(duì)象的知識(shí)(如利用物理規(guī)律、能量和質(zhì)量守恒方程及系統(tǒng)部件之間的關(guān)系等),通過對(duì)對(duì)象自身運(yùn)動(dòng)機(jī)理的分析確定研究對(duì)象的數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)和參數(shù),從理論上推導(dǎo)出對(duì)象的數(shù)學(xué)模型,得到的模型稱為理論模型。由于客觀世界運(yùn)動(dòng)關(guān)系的復(fù)雜和人類認(rèn)識(shí)水平的局限,理論模型的建立特別是對(duì)復(fù)雜對(duì)象來說是非常困難的,一般都需要大量的簡化條件和假設(shè),而且這類模型的數(shù)學(xué)求解過程異常復(fù)雜,難以理解,甚至不可獲得,更難以指導(dǎo)實(shí)踐和在實(shí)際工程中推廣應(yīng)用。

建立數(shù)學(xué)模型的第二條途徑源于現(xiàn)代系統(tǒng)理論的發(fā)展與應(yīng)用,它是根據(jù)對(duì)一個(gè)已經(jīng)存在的對(duì)象或系統(tǒng)的觀察、測(cè)量所得到的大量的輸入、輸出數(shù)據(jù),推斷出被研究對(duì)象的數(shù)學(xué)模型,這就是系統(tǒng)辨識(shí)過程,得到的數(shù)學(xué)模型稱為經(jīng)驗(yàn)?zāi)Ｐ?。借助系統(tǒng)辨識(shí)方法,我們?cè)趯?duì)步進(jìn)電機(jī)皮帶傳輸系統(tǒng)動(dòng)態(tài)特性的研究中,通過設(shè)計(jì)系統(tǒng)的輸入、輸出辨識(shí)試驗(yàn),獲得多組輸入、輸出實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù),經(jīng)過一定的辨識(shí)算法,得到相應(yīng)模型的未知系數(shù)估計(jì),最后得到其動(dòng)力學(xué)方程。

系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型可以具有不同的形式,在機(jī)電控制中,大致可以分為非參數(shù)模型和參數(shù)模型。參數(shù)模型包括微分方程、差分方程、狀態(tài)方程和傳遞函數(shù)。

本文旨在建立系統(tǒng)微分和差分形式的數(shù)學(xué)模型,給出由最小二乘辨識(shí)算法得到的結(jié)果。研究結(jié)果為步進(jìn)電機(jī)驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)的最優(yōu)控制奠定基礎(chǔ)。

2 動(dòng)力學(xué)模型

2.1 系統(tǒng)辨識(shí)的微分模型

本文以山大瑞茲機(jī)電科技公司的數(shù)控標(biāo)牌打印機(jī)M軸的皮帶傳輸系統(tǒng)作為研究對(duì)象,其系統(tǒng)由步進(jìn)電機(jī)、同步帶、字庫盤、同步帶輪等組成,如圖1所示。

圖1 系統(tǒng)組成

以步進(jìn)電機(jī)提供的轉(zhuǎn)矩為輸入,以字庫盤的角加速度為輸出,建立系統(tǒng)的微分方程,即

其中,J=Jm+JeL

式中,J:折算到電機(jī)軸上的等效轉(zhuǎn)動(dòng)慣量,N·m2(由計(jì)算可得J=1.3993×10-2N·m2);

Jm:電機(jī)轉(zhuǎn)子的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量;

JeL:慣性負(fù)載折算到電機(jī)軸上的等效轉(zhuǎn)動(dòng)慣量;

θ:大帶輪(或字庫盤)的轉(zhuǎn)角,rad;

B:系統(tǒng)的粘性阻尼系數(shù),N·m·S·rad-1;

K:系統(tǒng)的扭轉(zhuǎn)彈性系數(shù),N·m·rad-1。

式(1)稱微分模型,它是通過函數(shù)與導(dǎo)函數(shù)的數(shù)學(xué)聯(lián)系來體現(xiàn)系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)特性的。該模型中的阻尼和彈性系數(shù)是系統(tǒng)辨識(shí)的對(duì)象。

2.2 系統(tǒng)辨識(shí)的差分模型

在工程技術(shù)領(lǐng)域中,描述系統(tǒng)動(dòng)態(tài)特性的一般模型是n階微分方程。如何根據(jù)系統(tǒng)的輸人、輸出建立系統(tǒng)的微分方程,越來越引起人們的關(guān)注。但由微分方程法建立的數(shù)學(xué)模型,系統(tǒng)的輸人、輸出是連續(xù)信號(hào),不能用數(shù)字計(jì)算機(jī)進(jìn)行辨識(shí)。需對(duì)連續(xù)信號(hào)進(jìn)行采樣,化為離散的數(shù)據(jù)序列,據(jù)此建立系統(tǒng)的差分方程。這樣,利用數(shù)字計(jì)算機(jī)就易于建立起差分方程形式的數(shù)學(xué)模型。

用n階微分方程描述的線性系統(tǒng)可用相應(yīng)的n階差分方程描述

本系統(tǒng)的問題歸結(jié)為怎樣由測(cè)得的輸入序列{u(k)}和輸出序列{y(k)}估計(jì)模型的參數(shù)

假定測(cè)量N次(令 K=n+1,n+2,…,n+N),由公式(2)可列出N個(gè)三元一次方程

式(3)寫成矩陣的形式

式(4)中

其中Θ和Φ分別為參數(shù)向量和觀測(cè)矩陣。

由以上各式,可得Θ的最小二乘估計(jì)式

式(4)中方程參差ε是涉及系統(tǒng)輸入、輸出的干擾而得的噪聲,辨識(shí)時(shí)可通過信號(hào)處理削弱其影響,故可以忽略不計(jì),則式(3)變?yōu)?/p>

式(7)為系統(tǒng)的差分模型,它是通過動(dòng)態(tài)數(shù)據(jù)的歷史聯(lián)系來體現(xiàn)系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)特性的。此模型為辨識(shí)實(shí)驗(yàn)研究提供輸入、輸出數(shù)據(jù)。

3 辨識(shí)結(jié)果

系統(tǒng)采用55BF009型反應(yīng)式步進(jìn)電機(jī),其主要參數(shù)如下:四相八拍,相電流I0=3 A,相電壓U0=27 V,最大靜轉(zhuǎn)矩 Tmax=0.784N·m,轉(zhuǎn)子轉(zhuǎn)動(dòng)慣量Jm=0.701kg·cm。

設(shè)計(jì)測(cè)試實(shí)驗(yàn),用M A TLAB語言對(duì)采集的數(shù)字信號(hào)進(jìn)行處理后,根據(jù)式(6)辨識(shí)得到模型參數(shù):阻尼系數(shù)0.4287,彈性系數(shù)0.4284,輸入轉(zhuǎn)矩系數(shù)68.0000。實(shí)驗(yàn)中用同步帶的拉力與小帶輪的半徑之積代替步進(jìn)電機(jī)的電磁轉(zhuǎn)矩作為輸入信號(hào),用字庫盤的切向加速度作為輸出信號(hào),故由式(1)可得

式中,S:字庫盤半徑最大處點(diǎn)的弧坐標(biāo);

F:同步帶的拉力;

r:小帶輪的半徑;

R:字庫盤的半徑。

式(8)是將轉(zhuǎn)動(dòng)慣量J歸一化而得到的,故兩邊同乘以J可得系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)方程

由式(9)可知,系統(tǒng)的阻尼和彈性系數(shù)分別為

式(9)所示的控制方程可以作為步進(jìn)電機(jī)加速度曲線和系統(tǒng)結(jié)構(gòu)優(yōu)化的理論依據(jù)。

4 結(jié)束語

本文針對(duì)數(shù)控標(biāo)牌打印機(jī)M軸皮帶傳輸系統(tǒng),以步進(jìn)電機(jī)的輸出作為系統(tǒng)的輸入,負(fù)載的加速度作為輸出,建立了系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)模型。本文建立的動(dòng)力學(xué)模型,不僅為步進(jìn)電機(jī)皮帶傳輸系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)優(yōu)化提供了理論依據(jù),同時(shí)對(duì)于其它電機(jī)驅(qū)動(dòng)系統(tǒng),也有很好的參考價(jià)值。

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