劉緒文

(濰坊工程職業(yè)學(xué)院,山東 青州 262500)

早在上世紀(jì)七十年代,錢學(xué)森就提出“要加強(qiáng)標(biāo)準(zhǔn)、標(biāo)準(zhǔn)化工作及其科學(xué)研究以應(yīng)對現(xiàn)代化、國際化的發(fā)展環(huán)境”。在現(xiàn)代科學(xué)技術(shù)發(fā)達(dá)的今天,標(biāo)準(zhǔn)的制定和標(biāo)準(zhǔn)化的實施顯得尤為重要,各行各業(yè)都在按照一定的標(biāo)準(zhǔn)實施標(biāo)準(zhǔn)化。通過標(biāo)準(zhǔn)及標(biāo)準(zhǔn)化工作,以及相關(guān)技術(shù)政策的實施,可以整合和引導(dǎo)社會資源,激活科技要素,推動自主創(chuàng)新與開放創(chuàng)新,加速技術(shù)積累、科技進(jìn)步、成果推廣、創(chuàng)新擴(kuò)散、產(chǎn)業(yè)升級以及經(jīng)濟(jì)、社會、環(huán)境的全面、協(xié)調(diào)、可持續(xù)發(fā)展。

線性代數(shù)在一些領(lǐng)域的研究中,對繁紛復(fù)雜的代數(shù)問題,同樣加強(qiáng)了標(biāo)準(zhǔn)、標(biāo)準(zhǔn)化工作及其科學(xué)的研究。對于某類研究對象給出標(biāo)準(zhǔn)型,建立等價類,利用初等變換求等價類的標(biāo)準(zhǔn)型,即標(biāo)準(zhǔn)化問題,并利用標(biāo)準(zhǔn)型研究等價類的特點和性質(zhì),從而建立線性代數(shù)的有關(guān)理論。

1 標(biāo)準(zhǔn)及標(biāo)準(zhǔn)化的定義

標(biāo)準(zhǔn)是在客觀的基礎(chǔ)上產(chǎn)生的科學(xué)、技術(shù)和實踐經(jīng)驗的綜合成果,它具有權(quán)威性、科學(xué)性、適用性和嚴(yán)肅性,有了標(biāo)準(zhǔn)也就有了統(tǒng)一的規(guī)定,人們在生產(chǎn)過程和社會活動中才有了共同遵守的準(zhǔn)則和依據(jù)。制定、發(fā)布及實施標(biāo)準(zhǔn)的過程就是標(biāo)準(zhǔn)化。

1.1 標(biāo)準(zhǔn)

是對重復(fù)性事物和概念所做的統(tǒng)一規(guī)定。它以科學(xué)、技術(shù)和實踐經(jīng)驗的綜合成果為基礎(chǔ),經(jīng)有關(guān)方面協(xié)商一致,由主管機(jī)構(gòu)批準(zhǔn),以特定形式發(fā)布,作為共同遵守的準(zhǔn)則和依據(jù)。該定義包含以下幾個方面的含義:(l)標(biāo)準(zhǔn)的本質(zhì)屬性是一種“統(tǒng)一規(guī)定”。(2)標(biāo)準(zhǔn)制定的對象是重復(fù)性事物和概念。(3)標(biāo)準(zhǔn)產(chǎn)生的客觀基礎(chǔ)是“科學(xué)、技術(shù)和實踐經(jīng)驗的綜合成果”。(4)制定標(biāo)準(zhǔn)過程要具有權(quán)威性、科學(xué)性和適用性。(5)標(biāo)準(zhǔn)文件有其自己的嚴(yán)肅性。

1.2 標(biāo)準(zhǔn)化

為在一定的范圍內(nèi)獲得最佳秩序,對實際的或潛在的問題制定共同的和重復(fù)使用的規(guī)則的活動,即制定、發(fā)布及實施標(biāo)準(zhǔn)的過程,稱為標(biāo)準(zhǔn)化。標(biāo)準(zhǔn)化的實質(zhì)與目的是通過制定、發(fā)布和實施標(biāo)準(zhǔn),達(dá)到統(tǒng)一是標(biāo)準(zhǔn)化的實質(zhì)。獲得最佳秩序和社會效益則是標(biāo)準(zhǔn)化的目的。標(biāo)準(zhǔn)化的基本原理通常是指統(tǒng)一原理、簡化原理、協(xié)調(diào)原理和最優(yōu)化原理。

2 矩陣的標(biāo)準(zhǔn)化

設(shè)A、B是兩個m×n矩陣,若對A進(jìn)行一系列的行和列的初等變換化成B,稱矩陣A與矩陣B等價。由于矩陣的等價滿足反身性、對稱性和傳遞性。因此所有與A等價的矩陣構(gòu)成一類,叫做矩陣A的等價類。下面對幾種等價類進(jìn)行討論,并給出其標(biāo)準(zhǔn)型。

2.1 矩陣等價標(biāo)準(zhǔn)型

當(dāng)矩陣A為n階可逆方陣時,A與n階單位矩陣 En等價,即 PAQ=En。這也是矩陣A可逆的充分必要條件。

2.2 矩陣等價階梯型

設(shè)A是任意一非零m×n矩陣,則對A進(jìn)行一系列的行初等變換化成行階梯矩陣 T。進(jìn)而化為行簡化階梯矩陣。也就是說任一m×n非零矩陣A都與一行階梯矩陣T等價。

即:存在m階可逆矩陣P,使得 PA=T

特別的當(dāng)矩陣A為n階可逆方陣時,存在n階可逆矩陣P,使得 PA=E。因此得到矩陣A可逆的又一充分必要條件。

由于階梯矩陣 T的秩等于它不為零的行數(shù),并且初等變換不改變矩陣的秩,因此與A等價的階梯矩陣T的不為零的行數(shù)就是矩陣A的秩?？蓛H用行初等變換將A化為P,以此來求矩陣A的秩。

2.3 矩陣的相似標(biāo)準(zhǔn)型

設(shè)A、B是兩個n階方陣,如果存在n階可逆方陣 P,使得 P-1A P=B,稱A與B相似。當(dāng)B為對角矩陣Λ時,稱A可對角化,Λ為A的相似標(biāo)準(zhǔn)型。

由于矩陣的相似滿足反身性、對稱性和傳遞性。凡是與矩陣 A相似的構(gòu)成一類,叫做矩陣 A的相似類。

在矩陣A的相似類中找最簡形式的矩陣,看它是否為對角矩陣。對于一般矩陣 A是不能對角化的,當(dāng)A有n個線性無關(guān)的特征向量時才可對角化?；?qū)τ诰仃嘇的每一個特征值λi,若λi的重數(shù)等于n-r (λiE-A),則矩陣A可對角化。

特別的,當(dāng)A為n階實對稱矩陣時,一定存在n階正交矩陣P,使得 P-1A P=PTA P=Λ,即矩陣A可對角化。如果A可對角化,首先求A的所有的特征值,對于每一個特征值λi,求出它的所有的特征向量,并將其標(biāo)準(zhǔn)正交化,以求得的所有對應(yīng)的n個特征向量ξ1,ξ2,…,ξn為列構(gòu)成一個n階正交矩陣P,以所有的特征值λ1,λ2,…,λn為對角元構(gòu)成一個n階對角矩陣Λ。那么一定有 P-1A P=PTA P=Λ。

由于相似矩陣有相同的可逆性和相同的特征多項式,因而有相同的特征值、相同的跡和相同的行列式。如果矩陣A可對角化,相似標(biāo)準(zhǔn)型為Λ。那么這一相似類中所有矩陣的可逆性、特征值、跡和行列式都與Λ相同。特征值為Λ的對角元,跡為對角元的和,行列式為對角元的乘積。

2.4 矩陣的合同標(biāo)準(zhǔn)型

設(shè)A、B是兩個n階方陣,如果存在n階可逆方陣 P,使得 PTA P=B,稱A與B合同。當(dāng)B為對角矩陣Λ時,稱Λ為A的合同標(biāo)準(zhǔn)型。

由于矩陣的合同滿足反身性、對稱性和傳遞性,凡是與矩陣A合同的構(gòu)成一類,叫做矩陣A合同類。顯然與A合同矩陣都有相同的秩。若A為對稱矩陣,且B與A合同,則B也是對稱矩陣。

在矩陣A的合同類中找最簡形式的矩陣,看它是否與對角矩陣合同。對于一般矩陣A是不能與對角矩陣合同的。特別的,當(dāng)A為實對稱矩陣時,一定存在 n階可逆矩陣 P,使得 PTA P=Λ。即A與對角矩陣Λ合同。因為 P可逆,P可表示為初等矩陣 P1,P2,…,PS乘積,即 P=P1P2…PS,使得 PTS…PT2PT1A P1P2…PS=Λ。因此對A進(jìn)行一系列的完全相同的行和列的初等變換將A化為Λ,同時僅對單位矩陣 E進(jìn)行完全相同的列變換將E變?yōu)镻。從而用初等變換法求出矩陣A的合同標(biāo)準(zhǔn)型Λ。

同時也一定存在 n階正交矩陣 P,使得 P-1A P=P5A P=Λ,對角矩陣Λ中的n個對角元λ1,λ2,…,λn就是A的n個特征值。按矩陣的相似來求正交矩陣 P和對角矩陣Λ。

兩個相似的方陣必等價,兩個合同的矩陣必等價。反之未必。由于正交矩陣 P滿足 P-1=PT,當(dāng)存在n階正交矩陣P,使得 P-1A P=PTA P=Λ時,則兩個相似的方陣必正交合同,兩個合同的矩陣必正交相似。

3 方程組的等價(同解方程組)

若兩個線性方程組同解,則稱這兩個方程組等價。由于方程組的等價具有反身性、對稱性和傳遞性,把所有同解的方程組歸為一類,就叫做方程組的等價類。將方程組的等價類中最簡形式的方程組稱為標(biāo)準(zhǔn)型。解方程組就是求它的等價類的標(biāo)準(zhǔn)型。由于方程組的初等變換是同解變換,解方程組就是利用方程組的初等變換將其化為標(biāo)準(zhǔn)型。齊次線性方程組分為兩大類:一類是僅有零解,另一類是有非零解。非齊次線性方程組分為兩大類:一類是無解,另一類是有解,在有解的一類中又分為有無窮多解和唯一解兩類。

3.1 齊次方程組A X=0的解

含有m個方程n個未知量的齊次線性方程組A X=0,僅對系數(shù)矩陣A進(jìn)行一系列的行的初等變換化為B,則方程組A X=0與B X=0同解,或稱為方程組A X=0與B X=0等價。根據(jù)齊次線性方程組有非零解的充要條件,當(dāng) r(A)=r(B)=r=n時,A X=0僅有唯一的零解;當(dāng) r(A)=r(B)=r＜n時,并且B為行簡化階梯矩陣,將BX=0的n-r個自由未知量移到等號右邊得A X=0的一般解。令n-r個自由未知量分別依次取(1,0,…,0),(0,1,…,0),…,(1,0,…,0)得 A X=0的基礎(chǔ)解系ξ1,ξ2,…,ξn-r,從而求出A X=0的通解。

其中k1,k2,…,kn-r為任意實數(shù)。

齊次方程組A X=0的一般解,就是同解方程組的最簡形式,即齊次方程組A X=0的等價類(同解方程組)中最簡方程組,也就是標(biāo)準(zhǔn)型。

3.2 非齊次線性方程組A X=β的解

其中k1,k2,…,kn-r為任意實數(shù)。

非齊次方程組A X=β的一般解,就是同解方程組的最簡形式,即非齊次方程組A X=β的等價類(同解方程組)中最簡方程組,也就是標(biāo)準(zhǔn)型。

4 向量組的等價標(biāo)準(zhǔn)型

若向量組α1,α2,…,αm與向量組β1,β2,…,βm可互相表示,則稱這兩個向量組等價。由于向量組的等價具有反身性、對稱性和傳遞性,把所有與α1,α2,…,αm等價的向量組歸為一類,就叫做向量組α1,α2,…, αm的等價類。將向量組的等價類中最簡形式的向量組——極大線性無關(guān)組稱為標(biāo)準(zhǔn)型。因此向量組α1, α2,…,αm與他的極大無關(guān)組αi1,αi2,…,αir等價。

由于矩陣的行初等變換不改變矩陣列向量組的秩和線性關(guān)系。因此,對以n維向量組α1,α2,…,αm為列構(gòu)成的n×m矩陣A=(α1,α2,…,αm),進(jìn)行一系列的行的初等變換可化為行簡化階梯矩陣B=(β1,β2,…,βm),則向量組α1,α2,…,αm與向量組β1,β2,…,βm等價。設(shè)αi1,αi2,…,αir為向量組β1,β2,…,βm的極大無關(guān)組βi1,βi2,…,βir相對應(yīng)的向量組,則αi1,αi2,…,αir為α1,α2,…,αm的極大無關(guān)組。所有的與αi1, αi2,…,αir等價向量組為一類,其中αi1,αi2,…,αir是該向量組中的標(biāo)準(zhǔn)型。由于秩為 r的向量組中任意r個線性無關(guān)的向量都是該向量組的極大無關(guān)組,因此向量組的極大無關(guān)組(標(biāo)準(zhǔn)型)不唯一,但是極大無關(guān)組所含向量的個數(shù)是唯一的,稱為向量組的秩。以上的結(jié)論同時給出了求向量組的極大無關(guān)組和向量組的秩的方法。

一個向量組中的任一向量用極大無關(guān)組表示,其表示是唯一的;若一個向量組的秩小于向量的個數(shù),則該向量組一定線性相關(guān)。若一個向量組的秩等于向量的個數(shù),則該向量組一定線性無關(guān),它的極大無關(guān)組就是它本身。

5 二次型的等價

設(shè) f(X)=XTA X,g(Y)=YTBY是兩個n元實二次型,如果存在n階可逆矩陣 P,使得B=PTA P,即存在可逆的線性變換 X=PY,使得 f(X)=XTA X=(PY)TA(PY)=YT(PTA P)Y=YTB Y=g(Y),稱 f (X)與 g(Y)等價。

由于任一實二次型 f(X)=YTA X,一定存在正交變換 X=PY,使得

即任一實對稱矩陣都與對角矩陣相似,并且合同。

兩個實二次型等價的充要條件,它們有相同的秩、和相同的正慣性指數(shù)。兩個對稱矩陣合同的充要條件,它們有相同的秩、和相同的正慣性指數(shù)。

線性代數(shù)各部分的研究,一般采取的方法是,首先給出一類研究對象及其標(biāo)準(zhǔn)型,用初等變換的方法討論如何把研究對象化為標(biāo)準(zhǔn)型,給出具體辦法,即標(biāo)準(zhǔn)化。并利用標(biāo)準(zhǔn)型研究這類對象的特點和性質(zhì),從而揭示這類研究對象的內(nèi)涵和實質(zhì)。以上論述是自己多年來教學(xué)經(jīng)驗的總結(jié),將線性代數(shù)的研究歸結(jié)為標(biāo)準(zhǔn)型和標(biāo)準(zhǔn)化的研究,這種提法僅是一家之言,目前尚未見到有關(guān)論述,是否妥當(dāng),期待還請各位專家同行進(jìn)行討論,給以指正。

[1]劉吉佑,徐誠浩.線性代數(shù)[M].河北:武漢大學(xué)出版社,2006.

[2]張禾瑞,郝鈵新.高等代數(shù)[M].3版.北京:高等教育出版社,1983.

[3]錢椿林.線性代數(shù)[M].2版.北京:電子工業(yè)出版社,2001.