譚冬梅，瞿偉廉

(武漢理工大學 道路橋梁與結(jié)構工程湖北省重點實驗室，武漢 430070)

為了對土木工程結(jié)構進行損傷識別、健康診斷以及結(jié)構工作狀態(tài)評估與預測，通常需要一個比較準確的有限元分析模型來了解結(jié)構的動力性能。然而，在建立大多數(shù)有限元模型過程中，都是根據(jù)結(jié)構設計圖紙，采用較多的理想化假定和簡化，由此有限元模型計算的結(jié)構動力特性和動力響應往往與現(xiàn)場實驗結(jié)果存在一定的誤差。當結(jié)構模態(tài)特性的實測值與有限元理論值之間存在較大的差異時，將導致模型計算結(jié)果與實際測量結(jié)果有較大出入，甚至會超出工程中所允許的精度。因此則需要對結(jié)構的有限元模型進行修正，使得結(jié)構模態(tài)特性的理論值趨近于實測值。目前己有的模型修正方法大致可分為基于優(yōu)化的方法、靈敏度分析方法和特征結(jié)構分配方法。Jaishi［1］提出了基于多目標優(yōu)化技術，利用特征值和殘余應變能對有限元模型進行修正。Bell［2］利用無損測試數(shù)據(jù)，將多響應參數(shù)估計應用于結(jié)構的模型修正。Pavic［3］利用振動臺，將靈敏度自動模型修正方法用于結(jié)構的有限元模型修正。這些模型修正方法已在簡支梁、懸臂桁架等簡單結(jié)構上得到驗證。但是，對于大型復雜結(jié)構(如空間網(wǎng)架結(jié)構)，由于有限元模型中存在大量的材料、幾何特性及聯(lián)結(jié)條件的不確定性，模型修正變得困難而復雜。

在空間網(wǎng)架中，節(jié)點形式多種多樣，有近似鉸接、近似完全剛接或是介于剛性連接和鉸接之間的一種半剛性連接節(jié)點。但空間網(wǎng)架在計算過程中，通常是采用普通的空間鉸接桁架理想化模型進行分析，因此鉸節(jié)點的假設與空間網(wǎng)架中存在的實際節(jié)點條件明顯地有所不同。在考慮半剛性節(jié)點的結(jié)構模型修正研究中，Law，Chan和Wu［4］提出了在模型修正中考慮半剛性節(jié)點的超單元，其半剛性節(jié)點的考慮主要是在單元剛度矩陣中引入彈簧剛度，由改進的求逆特征靈敏度方法修正結(jié)構的超單元模型。Terrell［5］等也考慮了節(jié)點的復雜性，利用約束的遺傳子空間變換對結(jié)構有限元模型進行修正。

結(jié)構發(fā)生損傷后，會引起固有頻率、振型、阻尼等模態(tài)參數(shù)發(fā)生變化，經(jīng)過測試得到的振動信號包含有非平穩(wěn)成分，因此經(jīng)典小波變換、二代小波變換被廣泛的應用于非平穩(wěn)信號處理。其中同經(jīng)典小波相比，二代小波變換是一種在時域內(nèi)基于提升框架［6］構造小波的方法，不但計算速度快、計算方法簡單，節(jié)省緩存空間，而且適于自適應、非線性和整數(shù)到整數(shù)的變換，具有極大的靈活性，非常易于實現(xiàn)。此外，運用提升小波分析還可以發(fā)現(xiàn)其它信號分析方法不能找到隱藏數(shù)據(jù)之中的表征結(jié)構特性的信息。因此，結(jié)構動力響應經(jīng)提升小波包分解后得到的小波包分量能量雖然不是結(jié)構固有的動力特性參數(shù)，但小波包分量能量與模態(tài)頻率和振型相比具有更好的損傷敏感性。DAVIS等［7］對多小波的提升方法進行了初步的研究，給出了多小波提升框架。為了有效地對結(jié)構進行健康監(jiān)測，考慮模型的不確定性，可以將模糊系統(tǒng)與損傷特征向量相結(jié)合。Reda等［8］提出了在結(jié)構健康監(jiān)測中基于模糊模式識別的損傷識別方法，其中智能健康監(jiān)測系統(tǒng)的實現(xiàn)主要是利用模糊子集來提高模式分類。

本文提出了以提升小波包分量能量為特征向量，利用模糊模式識別理論對網(wǎng)架結(jié)構進行有限元模型修正的方法。首先建立半剛性節(jié)點固結(jié)系數(shù)表示的空間網(wǎng)架單元剛度矩陣，再對網(wǎng)架結(jié)構模型進行激振，得到結(jié)構的加速度響應信號，然后由基于提升框架的提升小波包變換對測得的信號進行分解，提取提升小波包分量能量建立特征向量，以此作為模糊模式識別的模糊子集，最后利用模糊模式識別方法對網(wǎng)架結(jié)構進行損傷識別，并研究了噪聲對該算法的影響。數(shù)值模擬結(jié)果表明本文所采用的方法是可行的。

1 半剛性節(jié)點固結(jié)系數(shù)表示的空間網(wǎng)架單元剛度矩陣

建立空間網(wǎng)架結(jié)構單元的有限元模型，提出根據(jù)結(jié)構的節(jié)點抗轉(zhuǎn)動剛度的變化來描述節(jié)點連接特性的變化，定義了節(jié)點固結(jié)系數(shù)來描述節(jié)點的連接特性［9，10］。

圖1 端部半剛性連接梁單元模型Fig.1 Kinematics of a deformed beam element with semi-rigid connections

可以用圖1來表示端部半剛性連接梁單元的有限元模型，其中彈簧用來模擬端部節(jié)點連接特性發(fā)生的變化。對于節(jié)點為剛接的結(jié)構，圖中彈簧的抗轉(zhuǎn)動剛度為無限大，即彈簧自身不發(fā)生轉(zhuǎn)動;而對于節(jié)點為鉸接的結(jié)構，彈簧自身將不能承受彎矩。因此，結(jié)構的節(jié)點連接特性的變化可以通過彈簧抗轉(zhuǎn)動剛度的變化來表現(xiàn)。圖中為梁左端轉(zhuǎn)角，包括桿件自身彎曲引起轉(zhuǎn)角及彈簧轉(zhuǎn)動引起的轉(zhuǎn)角為桿件自身彎曲引起的左端轉(zhuǎn)角。由圖1可知，彈簧轉(zhuǎn)角φ=θ*-。定義節(jié)點抗轉(zhuǎn)動剛度為:

式中，M1、M2分別為梁兩端所承受的彎矩。分別定義梁兩端的節(jié)點固結(jié)系數(shù)為:

式中EI/L為梁的線剛度，節(jié)點固結(jié)系數(shù)與結(jié)構梁端節(jié)點的連接狀態(tài)直接相關，可以用來表現(xiàn)結(jié)構中節(jié)點連接特性發(fā)生的變化。根據(jù)已有的試驗研究可知，對于實際結(jié)構中的近似鉸節(jié)點，0≤γ＜0.143;對于半剛性連結(jié)節(jié)點，0.143≤γ＜0.891;而對于近似剛性連結(jié)節(jié)點，0.891≤γ ＜1。

由本文中的數(shù)值算例結(jié)果表明，結(jié)構單元剛度矩陣中的扭矩對結(jié)構的動力特性影響很小。為了簡化計算，忽略扭矩對結(jié)構單元剛度矩陣的影響，在單元剛度矩陣中扭矩項用零表示。因此，可以由以節(jié)點固結(jié)系數(shù)表示的平面框架結(jié)構單元的單元剛度矩陣，得到以節(jié)點固結(jié)系數(shù)表示的空間網(wǎng)架單元的單元剛度矩陣。

式中:f1=γ1+γ2+γ1γ2;f2=γ1(2+γ2);f3=3γ1;f4=3γ2;f5=3γ1γ2;f6=γ2(2+γ1);f7=4-γ1γ2。當 γ1=γ2=1時，式(3)即為以固結(jié)系數(shù)表示的空間網(wǎng)架結(jié)構梁單元的單元剛度矩陣。

節(jié)點固結(jié)系數(shù)的變化引起結(jié)構動力特性相應變化。所以，以節(jié)點固結(jié)系數(shù)表示的半剛性連結(jié)梁單元剛度矩陣可以有效的應用于結(jié)構有限元模型修正中?；谝陨戏治?，利用半剛性連接梁單元的單元剛度矩陣公式，可以建立空間網(wǎng)架結(jié)構的有限元模型。

2 提升小波包分析

2.1 提升框架

提升框架方法是一種基于空間域的小波構造方法［11］，通過提升框架改善小波特性構造出具有期望特性的小波基函數(shù)，成為構造第二代小波的基本工具。提升框架給出了雙正交小波簡單有效的構造方法，它通過使用多項式插值法來獲得信號的高頻分量，構建尺度函數(shù)獲得信號的低頻分量，主要包括分割、預測、更新三個步驟。

設原始信號序列為s={s(k)，k∈Z}，k=1，2，…，L，第二代小波變換的分解算法［11-12］為:

(1)分割:將原始信號序列分成偶樣本序列{s(2k)}和奇樣本序列{s(2k+1)}。

(2)預測:利用相鄰的N個偶樣本{s(2k)}預測奇樣本{s(2k+1)}，將預測誤差d={d(k)，k∈Z}定義為原始信號經(jīng)過第二代小波分解后的細節(jié)信號(高頻信號)，即:

其中，P=［p(1)，…，p(N)］T為N點預測器，p(m)為預測器系數(shù)，N為預測器系數(shù)的個數(shù)。

(3)更新:在獲得細節(jié)信號{d(k)}的基礎上，利用個細節(jié)信號更新偶樣本{s(2k)}，將更新后的信號序列s(k)定義為原始信號經(jīng)過第二代小波分解后的逼近信號(低頻信號)，即:

其中:U=［u(1)，…，u)］T為點更新器，u(m)為更新器系數(shù)，?N為更新器系數(shù)的個數(shù)。

2.2 基于提升框架的小波包分量能量

利用基于提升框架的小波包分析對原始信號進行分解后［6］，并對小波包分解系數(shù)進行重構，則第j層i個節(jié)點的能量為［13］:

其中是j層i個節(jié)點的重構信號。

由于結(jié)構出現(xiàn)損傷時，會對小波包分量能量有較大影響，因此可以以能量為元素構造特征向量T:

則特征向量T可以作為模糊模式識別的模糊子集，從而建立標準模糊集合進行結(jié)構的損傷識別。

3 模糊模式識別理論

模糊模式識別是把帶有模糊特征的現(xiàn)象準確地歸入某一類的過程。模式識別機制可以分為:設計與實現(xiàn)。設計是指用一定數(shù)量的已知樣本進行分類器設計;實現(xiàn)是指用所設計的分類器對待識別的樣本進行分類識別，即識別出與標準模式類相同或相似的對象。

模糊模式識別的方法［14］大致可分為最大隸屬法(個體識別方法)、擇近原則法(群體識別方法)、模糊聚類法等。本文主要利用模糊模式識別方法對結(jié)構進行有限元模型修正。

根據(jù)貼近度σ(A，B)作模式分類的擇近原則:設論域為U，B∈F(U×U)為待識別對象，A1，A2，…，An∈F(U×U)為論域U中的n個已知的模糊子集，若 σ(Ai，B)=max{σ(Aj，B)|1≤j≤n}，則認為B與Ai最貼近，判定B屬于模式Ai。因此對實測的結(jié)構加速度響應信號作提升小波包分解，提取小波包分量能量作為模糊子集，利用擇近原則以兩向量的歐式距離最短作為識別標準，與標準模糊子集中的各模式進行目標識別，從而識別結(jié)構節(jié)點的固結(jié)系數(shù)，再代入結(jié)構單元剛度矩陣，實現(xiàn)修正結(jié)構有限元模型的目的。

4 數(shù)值算例

本文對一二層平板網(wǎng)架進行了有限元分析，該網(wǎng)架有13個節(jié)點，32根桿件。網(wǎng)架高0.6 m，長和寬都為4 m，桿的面積為 6.32E-4 m2，彈性模量為 2.07E11 GPa，剪切模量為8E10 GPa，密度為7 800 kg/m3。桿的慣性矩Ix與Iy為3.55E-7 m4，極慣性矩J為 7.1E-7 m4。網(wǎng)架結(jié)構見圖2。

圖2 空間平板網(wǎng)架Fig.2 The spatial truss structure

在網(wǎng)架結(jié)構的單元剛度矩陣中，選擇網(wǎng)架結(jié)構單元剛度矩陣中不同的固結(jié)系數(shù)作為樣本。由于結(jié)構的對稱性，只考慮四類節(jié)點固結(jié)系數(shù)。為了獲得網(wǎng)架結(jié)構的模擬加速度時程信號，選擇結(jié)構節(jié)點2為輸入激勵點，進行白噪聲激振，選擇結(jié)構節(jié)點8為測點，分析中的時間步長均為0.04 s。

在測試中，不改變白噪聲激振幅值的大小，采用Daubechies(DbN)系的小波Db1作為小波包基函數(shù)，對結(jié)構的單元剛度矩陣中的固結(jié)系數(shù)采用不同的值，計算得到結(jié)構的加速度信號，并對其進行三層提升小波包分析，提取提升小波包分量能量，共得到20組數(shù)據(jù)。以這20組數(shù)據(jù)歸一化后作為訓練樣本，建立標準模糊子集，又從原測試樣本中選取10組節(jié)點固結(jié)系數(shù)作為測試樣本，見表1。同時，也利用經(jīng)典小波包對測試信號進行小波包分解并提取小波包分量能量，測試結(jié)果表明，基于提升框架的小波包分解算法簡單，運行速度快，計算速度大大高于經(jīng)典小波包分解，因此在大型實際工程的結(jié)構在線健康監(jiān)測中，利用提升小波包分析處理非平穩(wěn)信號，可以有效地提高計算速度。

表1 10組不同節(jié)點固結(jié)系數(shù)的測試樣本Tab.1 Ten test samples of different joint fixity factor

在無噪聲的條件下，為了進行比較，分別利用按擇近原則法的模糊模式識別方法和神經(jīng)網(wǎng)絡方法對固結(jié)系數(shù)進行了識別，識別結(jié)果見表2。

表2 節(jié)點固結(jié)系數(shù)的識別結(jié)果Tab.2 The identified result of joint fixity factor

從表2中可以看出，在無噪聲的條件下，利用模糊模式識別方法和神經(jīng)網(wǎng)絡方法都可以對結(jié)構的有限元模型進行有效地修正。

為了比較噪聲對該算法的影響，在這10組測試測試信號中分別加入5%、10%、15%和20%的高斯白噪聲，其中對工況8(固結(jié)系數(shù)為 0.5、0.8、0.6 和 0.4)在不同噪聲條件下，測得的結(jié)構8節(jié)點y方向加速度時程見圖3。

圖3 第8組工況在不同噪聲條件下的加速度圖Fig.3 The acceleration time history of the eighth case based on the different noise

同樣利用Db1小波，基于提升框架，對工況8的信號進行提升小波包分析得到的提升小波包分量能量見圖4。

圖4 不同噪聲條件下的第8組工況的提升小波包分量能量Fig.4 The lifting wavelet packet component energy of the eighth case based on different noise

從圖4中可以看出，隨著噪聲的增加，提升小波包分量能量大致呈上升的趨勢。因此以這10組不同噪聲條件下得到的提升小波包分量能量為測試子集，利用模糊模式識別和神經(jīng)網(wǎng)絡方法識別的結(jié)果分別見表3和表4。

表3 在不同噪聲條件下，利用模糊模式識別理論識別的結(jié)果Tab.3 The identified result using fuzzy pattern recognition based on different noise

從表3中可以看出，利用模糊模式識別方法對固結(jié)系數(shù)識別過程中，在噪聲不大于5%的時候，可以對固結(jié)系數(shù)進行準確的識別;當噪聲為10%和15%時，識別的準確率差異較大，分別為80%和20%;而當噪聲為20%時，已經(jīng)不能對固結(jié)系數(shù)進行識別。

表4 在不同噪聲條件下，利用神經(jīng)網(wǎng)絡理論識別的結(jié)果Tab.4 The identified result using neural net based on different noise

從表4中可以看出，由于神經(jīng)網(wǎng)絡用于非線性系統(tǒng)建模，存在模型結(jié)構確定困難、局部極小以及小樣本下推廣能力差，其測試能力與訓練樣本的選擇有很大關系，利用神經(jīng)網(wǎng)絡方法對固結(jié)系數(shù)識別過程中，在無噪聲條件下，可以對固結(jié)系數(shù)進行準確的識別;當噪聲為5%、10%、15%和20%時，在小樣本的條件下，已經(jīng)不能對固結(jié)系數(shù)進行識別。

因此從表3和表4可以得到，在小樣本的條件下，由于模糊模式識別很好地考慮了模型的不確定性，因此利用模糊模式識別理論可以對結(jié)構的節(jié)點固結(jié)系數(shù)進行有效的識別。

當測試數(shù)據(jù)不是原始數(shù)據(jù)時，另外取5組不同的固結(jié)系數(shù)，計算結(jié)構的加速度響應信號，然后用提升小波包分析得到提升小波包分量能量，作為模糊模式識別的測試子集進行識別的結(jié)果見表5。

表5 節(jié)點固結(jié)系數(shù)的識別結(jié)果Tab.5 The identified result of joint fixity factor

從表5的結(jié)果可知，由于標準模糊模式子集的數(shù)量較小，在小樣本的條件下，利用模糊模式識別也可以對結(jié)構的固結(jié)系數(shù)進行粗略的識別。

由以上分析可以得出，提升小波包分析具有較好的抗噪聲干擾能力，以提升小波包分量能量作為標準模糊子集的樣本，可以在有噪聲的情況下，有效地識別出結(jié)構的節(jié)點固結(jié)系數(shù)。將識別得到的節(jié)點固結(jié)系數(shù)代入以固結(jié)系數(shù)表示的結(jié)構單元剛度矩陣，再由坐標變換就可得到修正后的結(jié)構總的剛度矩陣，從而達到修正有限元剛度的目的。

5 結(jié)論

本文提出了基于提升小波包分析與模糊模式識別理論對網(wǎng)架結(jié)構進行有限元模型修正的方法。首先建立了半剛性節(jié)點固結(jié)系數(shù)表示的空間網(wǎng)架單元剛度矩陣，再對結(jié)構的振動測試信號進行提升小波包分解，提取提升小波包分量能量作為特征向量，建立標準模糊模式子集，然后利用基于擇近原則法的模糊模式識別方法對網(wǎng)架結(jié)構進行有限元模型修正。為了驗證該方法，對一個簡化的網(wǎng)架結(jié)構模型進行了數(shù)值仿真，并研究了噪聲對該方法的影響。研究結(jié)果表明，在小噪聲的條件下，該方法能夠有效地對網(wǎng)架結(jié)構進行有限元模型修正。

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