楊富春，周曉軍，鄭津洋

(1.浙江大學(xué) 化工機(jī)械研究所，杭州 310027;2.浙江大學(xué) 機(jī)械系，杭州 310027)

與其他行星齒輪傳動(dòng)［1－3］相比，復(fù)式行星齒輪傳動(dòng)傳動(dòng)比更多、功重比更高，因此在對(duì)結(jié)構(gòu)緊湊性和傳動(dòng)比要求高的場(chǎng)合，如車(chē)輛、航空、機(jī)械工業(yè)等領(lǐng)域尤其是車(chē)輛自動(dòng)變速器領(lǐng)域，獲得了廣泛應(yīng)用［4－6］。目前車(chē)輛用復(fù)式行星齒輪傳動(dòng)多為簡(jiǎn)單的拉威娜式結(jié)構(gòu)，隨著車(chē)輛自動(dòng)變速器從低檔位向高檔位的快速發(fā)展，更加復(fù)雜的復(fù)式行星傳動(dòng)將獲得更多應(yīng)用。而在實(shí)際應(yīng)用中，行星傳動(dòng)的振動(dòng)和噪聲是影響系統(tǒng)可靠性、壽命及操作環(huán)境的關(guān)鍵因素，復(fù)式行星傳動(dòng)系統(tǒng)的振動(dòng)問(wèn)題較普通行星傳動(dòng)更為嚴(yán)重［5］。因此，建立復(fù)式行星齒輪傳動(dòng)系統(tǒng)綜合的動(dòng)力學(xué)模型，對(duì)其振動(dòng)特性進(jìn)行研究具有重要意義。

2001年Kahraman［5］首次建立了雙行星輪和三行星輪復(fù)式行星齒輪傳動(dòng)的純扭轉(zhuǎn)振動(dòng)模型，并分析了其自由振動(dòng)特性。Dhouib等［6］在Kahraman的基礎(chǔ)上建立了雙行星輪復(fù)式行星傳動(dòng)平移扭轉(zhuǎn)振動(dòng)模型并對(duì)振動(dòng)模態(tài)進(jìn)行了分類(lèi)。楊富春［7］建立了含雙行星輪的復(fù)式行星傳動(dòng)系統(tǒng)多自由度動(dòng)力學(xué)模型，并研究了其固有振動(dòng)特性。Kiracofe等［8］建立了復(fù)合即多級(jí)行星齒輪傳動(dòng)系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)模型，并對(duì)系統(tǒng)的振動(dòng)模態(tài)進(jìn)行分類(lèi)和完整性研究。上述研究［5－7］僅針對(duì)某一特定結(jié)構(gòu)的復(fù)式行星傳動(dòng)進(jìn)行，未建立復(fù)式行星傳動(dòng)綜合的動(dòng)力學(xué)模型;Kiracofe等［8］建立的復(fù)合行星傳動(dòng)模型中雖然含級(jí)聯(lián)、雙行星齒輪，但未考慮變換中心構(gòu)件時(shí)嚙合副的方向問(wèn)題，無(wú)法適用于復(fù)式行星傳動(dòng)系統(tǒng)的研究。此外，文獻(xiàn)［6－9］等對(duì)普通行星齒輪傳動(dòng)和復(fù)式行星傳動(dòng)固有振動(dòng)特性的分類(lèi)僅以中心構(gòu)件的振動(dòng)特性進(jìn)行，未考慮行星輪的振動(dòng)特點(diǎn)。

本文建立了復(fù)式行星齒輪傳動(dòng)綜合動(dòng)力學(xué)模型，模型考慮了各構(gòu)件的平移和扭轉(zhuǎn)振動(dòng)及靜態(tài)傳遞誤差。系統(tǒng)分析了復(fù)式行星齒輪傳動(dòng)系統(tǒng)的固有振動(dòng)特性，研究了其固有頻率分布特點(diǎn)，根據(jù)中心構(gòu)件及行星輪的振動(dòng)特點(diǎn)對(duì)振型進(jìn)行了分類(lèi)。

1 動(dòng)力學(xué)模型

復(fù)式行星齒輪傳動(dòng)系統(tǒng)結(jié)構(gòu)多樣，根據(jù)行星輪特點(diǎn)可分為寬行星輪式(圖1(a))、級(jí)聯(lián)式(圖1(b))及其組合形式(圖1(c))。圖1中的結(jié)構(gòu)僅為典型結(jié)構(gòu)，其他結(jié)構(gòu)形式可在此基礎(chǔ)上擴(kuò)展。復(fù)式行星齒輪傳動(dòng)各種結(jié)構(gòu)均包含一個(gè)行星架、多個(gè)中心輪和多個(gè)行星輪，其中將結(jié)構(gòu)參數(shù)完全相同的一組行星輪稱(chēng)為行星組。以c、gm、pijn表示行星架、中心輪和行星輪，下標(biāo)m=1，2，…，Ng，i=1，2，…，Nps，j=1，2，…，Np，n=1，2，…，Npt，Ng、Nps、Np、Npt分別表示中心輪數(shù)目、行星組數(shù)目、每一行星組中行星輪數(shù)目及一個(gè)級(jí)聯(lián)行星輪中嚙合副數(shù)目;其中下標(biāo)j和n可根據(jù)情況予以省略。

圖1 復(fù)式行星齒輪傳動(dòng)結(jié)構(gòu)圖(為表達(dá)簡(jiǎn)單，僅給出了稱(chēng)軸以上部分)Fig.1 Structure of complex compound planetary gear set(only parts above axis are illustrated here)

系統(tǒng)中齒輪均為直齒輪，模型中考慮了各構(gòu)件的兩個(gè)平移和扭轉(zhuǎn)振動(dòng)，共3(1+Ng+NpsNp)個(gè)自由度。由于系統(tǒng)只有一個(gè)行星架，因此系統(tǒng)坐標(biāo)系選擇為隨行星架旋轉(zhuǎn)的動(dòng)坐標(biāo)系，行星架和中心輪的x軸正方向由行星架理論中心指向任一選定行星輪理論中心，y軸方向由右手法則確定，行星輪平移自由度以η、ζ表示，正方向分別為行星架的逆時(shí)針切向和徑向。行星架、中心輪和行星輪的扭轉(zhuǎn)自由度θ均以順時(shí)針為正方向。

將旋轉(zhuǎn)坐標(biāo)θ轉(zhuǎn)換為平移坐標(biāo)u=rθ，r為各個(gè)構(gòu)架的半徑，其中rc為行星架中心到各行星輪中心距離中最短距離，其他行星輪中心到行星架中心的距離與rc的比值設(shè)為δR，pij。m表示各構(gòu)件質(zhì)量，M表示各構(gòu)件轉(zhuǎn)動(dòng)慣量的等效質(zhì)量M=I/r2，I為各構(gòu)件的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量，r為半徑，其中行星架的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量?jī)H指行星架本身的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量 Ic，行星架的半徑為 rc。kcb，x，kcb，y表示行星架與基礎(chǔ)間的支撐剛度;kgmb，x，kgmb，y表示中心輪與基礎(chǔ)間的支撐剛度;kcgm，x，kcgm，y表示行星架與中心輪間的支撐剛度;kcpij，x，kcpij，y表示行星架行星輪間的支撐剛度;kgmgl，x，kgmgl，y表示中心輪 gm和 gl間的支撐剛度;kcb，u，kgmb，u表示行星架和中心輪與基礎(chǔ)間的扭轉(zhuǎn)剛度的等效線(xiàn)性剛度;kgmpijn，kpijnpi'jn表示中心輪和行星輪及行星輪與行星輪間的嚙合剛度;以e表示各個(gè)嚙合副的靜態(tài)傳遞誤差，下標(biāo)與嚙合剛度下標(biāo)含義相同。ψpij表示行星輪中心與行星架中心連線(xiàn)和x軸正向沿逆時(shí)針?lè)较蜷g的夾角;βpij表示行星輪ζ正方向與相嚙合的兩行星輪中心連線(xiàn)間的夾角，部分符號(hào)如圖2所示。Tc和Tgm表示行星架和中心輪所受的外加扭矩。模型中行星架和任一中心輪均可設(shè)定為輸入、輸出和固定構(gòu)件。嚙合剛度按照石川法計(jì)算，并將其展成傅里葉級(jí)數(shù)的形式;同理，將靜態(tài)傳遞誤差展成傅里葉級(jí)數(shù)的形式，兩者的具體形式可參照文獻(xiàn)［7］。

圖2給出了中心輪(以太陽(yáng)輪為例)－行星輪嚙合副及行星輪－行星輪嚙合副的動(dòng)力學(xué)模型，根據(jù)牛頓第二定律得中心輪的動(dòng)力學(xué)方程為:

圖2 太陽(yáng)輪－行星輪及行星輪－行星輪嚙合副模型Fig.2 Model of sun-planet and planet-planet meshes

同理可得行星架和行星輪的動(dòng)力學(xué)方程為:

式中，αgmpijn，αpijnpi'jn分別表示中心輪與行星輪以及行星輪與行星輪間嚙合副的壓力角;δu，gmPijn表示級(jí)聯(lián)式結(jié)構(gòu)中與中心輪gm嚙合的行星輪pi與行星輪p1的半徑比;δu，pi'jnpijn表示級(jí)聯(lián)式結(jié)構(gòu)中與行星輪pi'嚙合的行星輪pi與行星輪p1的半徑比;

其中，以中心輪、行星輪在嚙合線(xiàn)上壓縮等效彈簧時(shí)的位移為正。

將上式整理可得復(fù)式行星傳動(dòng)系統(tǒng)的綜合動(dòng)力學(xué)方程為:

式中，M、Kb、Km、q、F 分別表示系統(tǒng)的質(zhì)量矩陣、支撐剛度矩陣、嚙合剛度矩陣、系統(tǒng)的位移向量、激勵(lì)力向量。該模型適用于寬行星輪式、級(jí)聯(lián)式及其組合形式的直齒復(fù)式行星齒輪傳動(dòng)系統(tǒng)。

2 固有特性分析

由式(1)可得到復(fù)式行星排的無(wú)阻尼自由振動(dòng)方程為:

與之對(duì)應(yīng)的特征值問(wèn)題為

式中，K=Kb+Km，ωk、φk分別為系統(tǒng)的第 k階固有圓頻率和振型，k=1，2，…，N。

表1 圖1(c)中復(fù)式行星齒輪傳動(dòng)系統(tǒng)參數(shù)表Tab.1 Parameters of example system

以圖1(c)中組合式復(fù)式行星齒輪傳動(dòng)系統(tǒng)為例研究復(fù)式行星齒輪傳動(dòng)的固有特性，各參數(shù)如表1所示，其中 Ng=7，Nps=3。

由于圖1(c)以不同中心輪和行星架為輸入、輸出及固定構(gòu)件共可獲得種功率流，數(shù)量較多，因此本文僅以行星架為輸出構(gòu)件，中心輪依次為輸入構(gòu)件，后續(xù)中心輪依次為固定構(gòu)件，共21種功率流為例對(duì)其固有特性進(jìn)行分析，該結(jié)構(gòu)包含了級(jí)聯(lián)行星輪及多行星輪結(jié)構(gòu)形式，具有顯著代表性。Np即行星輪個(gè)數(shù)分別為3，4，5時(shí)復(fù)式行星齒輪傳動(dòng)系統(tǒng)的特征值，如圖3所示。

圖3 Np=3，4，5時(shí)系統(tǒng)固有頻率Fig.3 Nature frequencies of system(Np=3，4，5)

由圖3可以看出，由于具有多種傳動(dòng)結(jié)構(gòu)，復(fù)式行星齒輪傳動(dòng)系統(tǒng)的固有頻率呈現(xiàn)帶狀分布，即同一階固有頻率由于功率流的的改變而不同，其中一階固有頻率為0表示系統(tǒng)的剛體運(yùn)動(dòng)。圖4為g1輸入、g2固定，Np=3，4，5時(shí)系統(tǒng)的固有頻率及同階固有頻率變化率圖，由圖可以看出，行星輪數(shù)目的增加引起了系統(tǒng)固有頻率的變化，其中低價(jià)固有頻率變化較小，高階固有頻率變化較大。圖5為Np=3，21種功率流情況下系統(tǒng)的各階固有頻率，由圖可以看出同樣行星輪數(shù)目情況下，系統(tǒng)功率流的變化將大大改變系統(tǒng)各階固有頻率的范圍。以某一階固有頻率中的最大值與最小值的差值與最小值的比值表示固有頻率的變化率，從圖5右圖中可以看出，各階固有頻率的變化率大多大于50%，說(shuō)明與普通行星齒輪傳動(dòng)相比，復(fù)式行星齒輪傳動(dòng)系統(tǒng)設(shè)計(jì)時(shí)要避開(kāi)共振區(qū)域更加困難，因此需綜合考慮各種功率流，合理設(shè)計(jì)系統(tǒng)參數(shù)。

圖 4 系統(tǒng)固有頻率(Np=3，4，5，g1輸入，g2固定)Fig.4 Nature frequencies of system(Np=3，4，5，g1 was input，g2 was fixed)

圖5 系統(tǒng)固有頻率(Np=3)Fig.5 Nature frequencies of system(Np=3)

根據(jù)系統(tǒng)特征值的重根數(shù)、中心構(gòu)件的振型特點(diǎn)將復(fù)式行星齒輪傳動(dòng)系統(tǒng)的振型分為三類(lèi):中心構(gòu)件平移振動(dòng)模式、中心構(gòu)件扭轉(zhuǎn)振動(dòng)模式和行星輪振動(dòng)模式;其中特征值為重根的情況對(duì)應(yīng)中心構(gòu)件平移振動(dòng)模式或行星輪振動(dòng)模式，特征值為單根的情況對(duì)應(yīng)中心構(gòu)件扭轉(zhuǎn)振動(dòng)模式或行星輪振動(dòng)模式。以g1為輸入，g7固定為例，三種振動(dòng)模式振型如圖6所示(圖中橫坐標(biāo)自由度從左到右順序?yàn)樾行羌?、中心輪、行星?Np=3中對(duì)應(yīng)的固有頻率分別為3階661 Hz和2階609 Hz;Np=4中對(duì)應(yīng)的固有頻率分別為2階628 Hz、4階643 Hz和8階1439 Hz;Np=5中對(duì)應(yīng)的固有頻率分別為2階601 Hz、4階662 Hz和8階1438 Hz)。

圖6 復(fù)式行星齒輪傳動(dòng)系統(tǒng)振型Fig.6 Modals of complex compound planetary gear set

上述分類(lèi)未考慮行星輪的振動(dòng)特點(diǎn)，從分類(lèi)完整性角度考慮，需對(duì)系統(tǒng)各個(gè)構(gòu)件的振型進(jìn)行分析，以得到所有構(gòu)件的振動(dòng)規(guī)律。由圖3和圖6分析可知，中心構(gòu)件平移振動(dòng)模式下，對(duì)應(yīng)的系統(tǒng)固有頻率為重根，中心構(gòu)件無(wú)扭轉(zhuǎn)振動(dòng)，只存在兩個(gè)平移振動(dòng)，而各行星輪振型振幅均較大，說(shuō)明該振動(dòng)模式下行星輪振動(dòng)劇烈，但各個(gè)行星輪間的振型無(wú)明顯規(guī)律，表現(xiàn)為隨機(jī)振動(dòng)特點(diǎn);中心輪扭轉(zhuǎn)振動(dòng)模式下，中心構(gòu)件無(wú)平移振動(dòng)，僅有扭轉(zhuǎn)振動(dòng)，這種模式下各個(gè)行星輪的振動(dòng)呈現(xiàn)出明顯的規(guī)律性，即同行星輪組中所有行星輪各自由度的振動(dòng)方向和振動(dòng)幅值相同，如圖6所示;行星輪振動(dòng)模式在行星輪個(gè)數(shù)大于3個(gè)情況下存在，該模式下中心構(gòu)件不存在振動(dòng)，行星輪個(gè)數(shù)為4時(shí)行星輪振動(dòng)存在明顯的規(guī)律性，即同組行星輪中相對(duì)的行星輪振動(dòng)方向和振幅相同，相鄰的行星輪振動(dòng)方向相反，振幅相同如圖6所示;行星輪個(gè)數(shù)為5時(shí)，相鄰兩行星輪振動(dòng)方向相反，振幅不同，由于行星輪個(gè)數(shù)為奇數(shù)，故有兩個(gè)相鄰行星輪振動(dòng)方向相同，可將其視為與4個(gè)行星輪時(shí)規(guī)律一致。

因此，在綜合中心構(gòu)件和行星輪振動(dòng)特點(diǎn)的基礎(chǔ)上重新將復(fù)式行星齒輪傳動(dòng)系統(tǒng)振型分為三類(lèi)，即中心構(gòu)件平移－行星輪隨機(jī)振動(dòng)模式、中心構(gòu)件扭轉(zhuǎn)－行星輪相同振動(dòng)模式、中心輪靜止－相鄰行星輪反向振動(dòng)模式。

3 結(jié)論

本文建立了包含級(jí)聯(lián)式、寬行星輪式及其組合式的復(fù)式行星齒輪傳動(dòng)系統(tǒng)綜合動(dòng)力學(xué)模型，模型考慮了平移、扭轉(zhuǎn)振動(dòng)及靜態(tài)傳遞誤差。系統(tǒng)分析了系統(tǒng)的固有頻率，指出復(fù)式行星齒輪傳動(dòng)系統(tǒng)固有頻率呈現(xiàn)帶狀分布，與普通行星齒輪傳動(dòng)系統(tǒng)相比避開(kāi)共振區(qū)域更加困難，需根據(jù)具體結(jié)構(gòu)合理設(shè)計(jì)系統(tǒng)參數(shù);深入研究了中心構(gòu)件和行星輪的振型特點(diǎn)，將系統(tǒng)振型分為三類(lèi):中心構(gòu)件平移－行星輪隨機(jī)振動(dòng)模式、中心構(gòu)件扭轉(zhuǎn)－行星輪相同振動(dòng)模式、中心輪靜止－相鄰行星輪反向振動(dòng)模式。本文建立的綜合動(dòng)力學(xué)模型及固有特性的研究為復(fù)式行星齒輪傳動(dòng)系統(tǒng)參數(shù)靈敏度、動(dòng)態(tài)響應(yīng)、減振降噪等的研究提供理論基礎(chǔ)和依據(jù)。

［1］劉 文，林騰蛟，李潤(rùn)方，等.新型少齒差減速器動(dòng)態(tài)特性分析及實(shí)驗(yàn)研究［J］.振動(dòng)與沖擊，2009，28(7):22－27.

［2］楊通強(qiáng).斜齒行星齒輪傳動(dòng)動(dòng)力學(xué)研究［D］.天津:天津大學(xué)，2003.

［3］王世宇.基于相位調(diào)諧的直齒行星齒輪傳動(dòng)動(dòng)力學(xué)理論與實(shí)驗(yàn)研究［D］.天津:天津大學(xué)，2005.

［4］劉修驥.車(chē)輛傳動(dòng)系統(tǒng)分析［M］.北京:國(guó)防工業(yè)出版社，1998.

［5］Kahraman A. Free torsional vibration characteristics of compound planetary gear sets［J］.Mechanism and Machine Theory，2001，36:953－971.

［6］Dhouib S， Hbaied R， Chaari F，et al. Free vibration characteristics of compound planetary gear train sets［C］.Proc.IMechE，2008，1389－1401.

［7］楊富春.復(fù)式行星排動(dòng)力特性及其止推墊圈磨損特性研究［D］.杭州:浙江大學(xué)，2009.

［8］Kiracofe D R，Parker R G.Structured vibration modes of general compound gear systems［J］.Journal of Vibration and Acoustics，Transactions of the ASME，2007，129(1):1－16.

［9］Lin J，Parker R G.Analytical characterization of the unique properties of planetary gear free vibration［J］.Journal of Vibration and Acoustics，1999，121:316－321.