蔣華偉 李國平 趙玉娟 武松濤

（1.河南工業(yè)大學信息學院 鄭州 450001 2.中國科學院等離子體物理研究所 合肥 230031）

1 引言

CICC（管內(nèi)電纜導體）是在Hoenig 等人提出的內(nèi)冷超導體（ICSs）和 CIC 概念基礎(chǔ)上演變而 來[1]。經(jīng)過多年研究、發(fā)展和改進的CICC 因具有良好冷卻、高電壓絕緣、大電流、低損耗、多級變位股絞纜等優(yōu)點而為中國大科學工程EAST、韓國KSTAR 以及國際熱核聚變試驗反應(yīng)堆ITER[2]等超導磁體的首選導體。

CICC 的結(jié)構(gòu)決定其間的熱交換是一個復(fù)雜的過程，加上CICC 運行在大電流和快變磁場中，其穩(wěn)定性還受到能量裕度和AC 損耗等的制約，這使得工程上CICC 的絞纜成為一個精細復(fù)雜、多次嘗試和改進、工作量巨大的煩瑣過程。如果采用數(shù)值仿真設(shè)計，則會使工作量相應(yīng)地減輕，周期縮短。

目前針對CICC 所開展的數(shù)值模擬研究工作主要集中在穩(wěn)定性、損耗等方面。其中關(guān)于CICC 導體穩(wěn)定性工作，如文獻[3]針對熱傳導和沿導體長度方向上的失超傳播等問題，提出數(shù)值分析方法。文獻[4]中提出子纜包繞及中心冷卻的CICC 導體3D絞纜數(shù)值模擬模型，它可以輸出股線的空間結(jié)構(gòu)、每級子纜的面積等。文獻[5]針對KSTAR 上的導體，探索了瞬時熱傳遞和暫態(tài)溫度裕度補償特性；在給定運行條件下，對能量裕度、質(zhì)量流分布及CICC中氦流對入口位置、壓力等質(zhì)量流衰減和溫升峰值的依賴性進行研究。

在導體損耗方面進行的研究工作有：文獻[6]對NbTi 超導CICC 的AC 損耗與股線內(nèi)接觸電阻進行了研究，獲得AC 損耗和接觸電阻的對應(yīng)關(guān)系。文獻[7]使用實驗分析的方法，研究了處于交變脈沖環(huán)境中多股絞制的超導電纜的電磁問題，用數(shù)值方法評價了AC 損耗。另外在文獻[8]中提出一種通過調(diào)節(jié)導體中子纜紐絞方向和節(jié)距的方法，來解決導體不能同時獲得低損耗和高穩(wěn)定性的難題。

這些研究多基于理論實驗方法獲得CICC 的穩(wěn)定性與磁場、電流密度、溫度和質(zhì)量流等的關(guān)系，以及尋找CICC 導體結(jié)構(gòu)對AC 損耗影響的因素，為 CICC 的穩(wěn)定性運行作了大量有意義的探索工作。但沒有涉及基于給定運行條件對CICC 導體結(jié)構(gòu)進行設(shè)計研究，雖然文獻[3]中L.Bottura 等進行了導體數(shù)值分析，但主要是對CICC 的失超傳播進行模擬，不是導體結(jié)構(gòu)的數(shù)值模擬設(shè)計。為此，本文在上述研究工作基礎(chǔ)上，提出了基于穩(wěn)定性、質(zhì)量流和AC 損耗機理的CICC 結(jié)構(gòu)設(shè)計數(shù)值仿真模型，并嘗試完成導體結(jié)構(gòu)的模擬設(shè)計研究。

2 CICC 數(shù)值模擬理論

2.1 CICC 穩(wěn)定性裕度

運行在復(fù)雜變化電磁場環(huán)境中的 CICC，其穩(wěn)定性不僅受運行條件、空隙率、子纜的扭距、股線及子纜結(jié)構(gòu)等影響，而且受液氦流速和質(zhì)量流的約束，另外CICC 的穩(wěn)定性還與銅超比和股線表面鍍層（高阻層）等密切相關(guān)。因此，對CICC 穩(wěn)定性的研究是導體設(shè)計的核心和關(guān)鍵。

由于CICC 的穩(wěn)定性是受某一溫度范圍內(nèi)液氦焓差的限制，這樣可對該溫度區(qū)間內(nèi)液氦的熱容進行積分得到焓差的值。數(shù)學描述如下：

式中，AHe和Ast是液氦和超導體的面積；Tcs、Top是分流溫度和運行溫度；CHe是液氦的熱容。

根據(jù)能量平衡并結(jié)合在整個干擾區(qū)間內(nèi)液氦和股線的情況，可以粗略地估計出在好冷卻區(qū)間、過渡區(qū)間和差冷卻區(qū)間的穩(wěn)定性裕度。

在好冷卻區(qū)，運行電流小于下極限電流，溫度能夠上升到分流溫度，由于液氦的熱容遠大于超導股線的（超導股線的貢獻可忽略不計，近似為零），可用的最大液氦熱沉為

式中，ACu是銅的面積；Cst是超導股線的熱容。

在過渡區(qū)間，運行電流處在下、上極限電流之間，液氦的溫度僅可以上升到恢復(fù)溫度Trec。

在差冷卻區(qū)間，運行電流大于上極限電流，沒有可利用的液氦焓差，由于超導股線的熱容非常小，導體可利用的焓差近似為零，所以有

2.2 CICC 穩(wěn)定與質(zhì)量流

在對ITER 的導體進行實驗研究和分析時，發(fā)現(xiàn)液氦的有用焓值（穩(wěn)定性）與質(zhì)量流的關(guān)系如圖1 所示（內(nèi)部溫度：4.5K，最大輸出溫度：6K），這說明了CICC 導體的穩(wěn)定性與質(zhì)量流之間存在一定的相關(guān)性。

圖1 焓值與質(zhì)量流的關(guān)系 Fig.1 Relationship between enthalpy and mass flow rate

實際中穩(wěn)定性與質(zhì)量流關(guān)系的資料是通過試驗等提供的曲線圖，由這些圖不僅得不出CICC 穩(wěn)定性與氦流量之間的準確關(guān)系，甚至也難以獲得曲線上每一點真正對應(yīng)的數(shù)據(jù)，用程序進行導體穩(wěn)定性研究及導體結(jié)構(gòu)數(shù)值模擬設(shè)計時，由于不知道穩(wěn)定性裕度和質(zhì)量流之間的確定關(guān)系，就無法進行精確的計算，因此需要對它們進行量化，用數(shù)學表達式來描述它們之間的定量關(guān)系。

為此采用圖像處理和最小二乘法相結(jié)合的方法來量化它們之間的關(guān)系[9]。首先對圖像進行處理，然后利用最小二乘法對二值化的圖像曲線進行擬合，最后獲得CICC 穩(wěn)定性裕度與迫流氦流量之間的量化關(guān)系，這樣就可以為后面的CICC 數(shù)值模擬設(shè)計提供經(jīng)驗計算模型。

3 CICC 結(jié)構(gòu)數(shù)值仿真設(shè)計模型

3.1 CICC 設(shè)計的基本思路

由三根超導股線構(gòu)成的一級子纜的情況，已經(jīng)進行過數(shù)值仿真研究[10]。本次的情況是給定運行電流、溫度、背景場及預(yù)定的穩(wěn)定性裕度、溫度裕度、導體的空隙率等參數(shù)，但不知是否含有純銅股線。其設(shè)計的基本思路是：在給定運行條件下，根據(jù)空隙率、穩(wěn)定性裕度、溫度裕度等，結(jié)合stekly 參數(shù)小于1 的情況，利用導體中銅的面積和濕邊周長（考慮穩(wěn)定性裕度）和電纜空間電流密度（優(yōu)化銅組分），以及超導材料的臨界電流密度（溫度裕度），獲得關(guān)于超導股線根數(shù)、超導股線直徑和銅超比等參數(shù)的矩陣方程，由此模擬獲得CICC 導體結(jié)構(gòu)。

在構(gòu)造仿真計算模型中采用了以下假定條件：

（1）一級子纜采用3 根股線絞纜（可以包括銅股線；一般全為超導股，通過銅超比來調(diào)節(jié)）。

（2）為獲得合理的電流密度，給定導體運行在過渡區(qū)間，即運行電流大于下極限電流小于上極限電流。并設(shè)定stekly 參數(shù)小于1，即導體產(chǎn)生的焦耳熱小于被液氦帶走的能量。

（3）若有純銅股線則可處理成三種情況：在計算起穩(wěn)定作用的銅面積以及濕邊周長時都包括純銅股線的作用；僅在計算起穩(wěn)定作用的銅面積時考慮銅股線的作用；僅在計算濕邊周長時考慮銅股線的作用。在模擬程序中對此分別進行處理。

在絞纜中，模擬程序還對導體進行了如下處理：若子纜間內(nèi)切圓的直徑大于前一級子纜的直徑，則用相應(yīng)的純銅股線來填充，以增強CICC 導體的結(jié)構(gòu)和運行穩(wěn)定性。

3.2 導體設(shè)計穩(wěn)定性裕度算法模型

根據(jù)導體運行在過渡區(qū)[10](Ilim,low＜Iop＜Ilim,up)，由穩(wěn)定性裕度和stekly 參數(shù) α 可得

式中，Nsc、dsc分別代表CICC 中超導股線的根數(shù)和直徑；RCu為銅超比；Iop是運行電流；ρCu為銅的電阻率；Kp是計算濕邊周長因子；h 為液氦的熱傳遞系數(shù)；Tc是臨界溫度。

3.3 導體設(shè)計空間電流與溫度裕度算法模型

根據(jù)電纜空間極限電流密度[10]，由上極限電流密度與過渡區(qū)極限電流密度可得

式中 式中，ΔEtr為過渡區(qū)的穩(wěn)定性裕度；Jc表示臨界電流密度；fv為導體空隙率。

根據(jù)溫度裕度和臨界電流[10]可以得到

式中，ΔTcs代表CICC 的溫度裕度。

3.4 導體數(shù)值仿真設(shè)計模型

由上面的推導可得式（5）～式（7）三個方程。很顯然，上述包含三個未知量Nsc、dsc、RCu的方程是不難求解的?？墒?，當把式（7）代入到式（5）時會得到類似于式（6）的方程。這說明在空間電流密度上對CICC 銅組分的優(yōu)化不是孤立的問題，是與穩(wěn)定性裕度、溫度裕度及臨界電流有著必然的聯(lián)系。這樣就只剩下兩個方程，因此無法唯一確定上面三個未知量。鑒于此，可以把RCu、dsc表示成Nsc的函數(shù)，逐步嘗試用由一、二、三、四等層的結(jié)構(gòu)來確定超導股數(shù)Nsc，再求出符合實際要求的RCu及

dsc。

由式（7）得到RCu表達式為

然后把式（8）代入式（5）得到關(guān)于dsc的方程

根據(jù)不同的CICC 結(jié)構(gòu)來確定Nsc，結(jié)合運行電流和臨界溫度等條件，來獲得合理的股線直徑dsc，最后由式（9）求得RCu。

根據(jù)上面的數(shù)學模型，項目組獨立研發(fā)了CICC結(jié)構(gòu)設(shè)計的模擬程序。在CICC 數(shù)值仿真時，對不同結(jié)構(gòu)下的Nsc，調(diào)用求解dsc三次方程的子程序計算dsc，并判定合理的股線直徑dsc，然后計算出相應(yīng)的銅超比RCu。模擬運行結(jié)果如圖2 所示。

圖2 數(shù)值仿真得到的CICC 結(jié)構(gòu) Fig.2 CICC configuration by simulation design

4 CICC 交流損耗

通過上面數(shù)值模擬設(shè)計所獲得的CICC 導體結(jié)構(gòu)，能否滿足實際運行條件，還要考慮AC 損耗等因素對穩(wěn)定性的影響。因為CICC 運行在復(fù)雜電磁場和其他惡劣環(huán)境中，會產(chǎn)生包括磁滯損耗、耦合損耗和渦流損耗在內(nèi)的交流損耗[11]擾動，一旦導體的穩(wěn)定裕度不滿足擾動條件，就會產(chǎn)生局部的正常區(qū)，若該種趨勢得不到遏制就會發(fā)生失超傳播，最后導致CICC 的整體失超。

CICC 的磁滯損耗可用洛倫茲力做功來表示，對導體所處變化磁場中的磁化曲線進行積分即可。具體由Poynting 矢量S=E×H 對電流或場積分，或由導體的電流密度和電場點積Jc·E 進行積分計算獲得，單位體積上縱向磁滯損耗的經(jīng)驗公式為

式中，de為超導絲的有效直徑；B˙為磁場變化率。

對處于交變磁場中的 CICC，在銅基體中由于產(chǎn)生耦合電流而形成耦合損耗。CICC 是由多股、多級子纜扭絞而成的超導電纜，各級子纜的扭距長度和橫向電阻率也存在差異，因此，關(guān)鍵是如何根據(jù)這些參數(shù)來計算CICC 導體的耦合損耗時間常數(shù)和耦合損耗。

當外場的變化速率不大時，計算損耗時可以不考慮屏蔽效應(yīng)，這樣其表達式為

式中，θ 為耦合損耗時間常數(shù)；μ0是真空磁導率；Bn為橫向磁場的大小。

對線圈勵磁、等離子體放電或破滅等極端情況，CICC 的超導細絲大都處于飽和狀態(tài)，則需考慮飽和系數(shù)。因此，耦合損耗功率可采用如下方法。

式中，ρet是銅基體中的有效橫向電阻率；Ls為股線長度。

對耦合損耗功率在磁場變化時間范圍內(nèi)積分，就可以獲得耦合損耗

由耦合損耗和磁滯損耗可獲得CICC 在給定運行條件下的交流損耗。經(jīng)模擬程序計算可以獲得數(shù)值仿真設(shè)計中 CICC 導體耦合損耗時間常數(shù)θ 為41.25ms，交流損耗Ec為78.27mJ/cm3（具體比較見表）。

5 結(jié)果比較與分析

為了對比數(shù)值模擬設(shè)計結(jié)果，在中科院等離子體所獲得了目前國際上正在進展中聚變裝置磁體上CICC 導體的最新數(shù)據(jù)，特別是根據(jù)印度SST—1 的CICC 結(jié)構(gòu)制作了導體模型，進行了CICC 導體試驗和數(shù)據(jù)驗證。最后從數(shù)據(jù)庫中調(diào)出相應(yīng)運行條件下的模擬設(shè)計數(shù)據(jù)，將其與印度SST—1 的工程設(shè)計值比較見下表。

表 數(shù)值仿真設(shè)計結(jié)果與工程設(shè)計值比較 Tab. Comparison between simulation results with that of and engineering design

由上表可知，數(shù)值仿真給出的CICC 結(jié)構(gòu)與工程設(shè)計結(jié)果吻合得很好。但在設(shè)計參數(shù)上存在一定的差異：如在數(shù)值仿真中，由于絞纜系數(shù)不同導致ACu的不同；Ic的不同主要因為Ic計算方法不同所致（數(shù)值仿真采用Ic=AscJc；工程上是由經(jīng)驗給定某一運行條件下單股超導線的臨界電流計算而來）；穩(wěn)定性裕度ΔE 不同主要是因為ACu不同；交流損耗的差異主要由耦合損耗時間常數(shù)所致。

針對這種問題，在本程序中根據(jù)導體一級子纜結(jié)構(gòu)、股線直徑以及電纜層（級）數(shù)，擬采用合適的濕邊周長系數(shù)等來彌補計算誤差。同時，根據(jù)一級子纜結(jié)構(gòu)，并結(jié)合參考文獻[10]的有關(guān)結(jié)果，來選取相應(yīng)的液氦熱傳遞系數(shù)加以修正。

由對比分析還可得出：在給定的運行條件下，由程序得到的 CICC 結(jié)構(gòu)，經(jīng)模擬計算獲得損耗Ec=78.27mJ/cm3，小于工程設(shè)計值85.12mJ/cm3，說明模擬獲得的導體其擾動小于工程設(shè)計結(jié)果；數(shù)值仿真程序所得到的導體穩(wěn)定性裕度ΔE=115.1mJ/cm3，它大于工程設(shè)計值100.3mJ/cm3，說明數(shù)值模擬得到導體相對更穩(wěn)定；同時數(shù)值仿真設(shè)計中交流損耗小于工程設(shè)計和仿真獲得的穩(wěn)定性裕度值，這說明模擬設(shè)計的CICC 導體是可以在該條件下較好地穩(wěn)定運行，因而數(shù)值仿真的結(jié)果是基本合理和可靠的。

6 結(jié)論

本文提出 CICC 結(jié)構(gòu)數(shù)值仿真設(shè)計的基本思路，并給出一級子纜采用3 根股線、CICC 運行于過渡區(qū)間以及純銅線起不同作用的假定條件，推導和構(gòu)建了數(shù)值仿真設(shè)計的算法模型；并對導體的交流損耗進行了理論研究和模擬計算。為工程上快速準確設(shè)計導體開辟了新的思路和方法。

通過仿真得出CICC 結(jié)構(gòu)，并對數(shù)值仿真設(shè)計結(jié)果與工程設(shè)計值進行了比較，由導體的損耗值不大于穩(wěn)定性裕度可知CICC 是可穩(wěn)定運行在給定工況下；另外還分析了模擬設(shè)計與工程值產(chǎn)生差異的原因，提出了改進方法。這為磁體系統(tǒng)中CICC 的設(shè)計提供了參考。

[1] Dresner Lawrence.Twenty years of cablie-in-conduit conductors,1975-1995[J].Joural of Fusion Enery,1995,14(1):3-11.

[2] Martinez A,Duchateau J L,Tadris L.Transverse heat transfer coefficients on a full size dual channel CICC ITER conductor[J].Cryogenics,2006,46(6):530-540.

[3] Bottura L,Calvi M,Siemko A.Stability analysis of the LHC cables[J].Cryogenics,2006,46(7-8):481- 493.

[4] Qin Jinggang,Wu Yu.A 3D numerical model study for superconducting cable pattern[J]. Fusion Engineering and Design,2010,85(1):109-114.

[5] Qiuliang Wang,Cheon Seong Yoon,Sungkeun Baang,et al.AC losses and heat removal in three-dimensional winding pack of Samsung superconducting test facility under pulsed magnetic field operation[J].Cryogenics,2001,41(4):253-265.

[6] Nijhuis A,Ilyin Yu,Abbas W,et al.Change of interstrand contact resistance and coupling loss in various prototype ITER NbTi conductors with transverse loading in the Twenty Cryogenic cable press up to 40,000 cycles[J].Cryogenics,2004,44(5):319-339.

[7] Kazutaka Seo,Katsuhiko Fukuhara,Mitsuru Hasegawa.Analyses for inter-strand coupling loss in multi-strand superconducting cable with distributed contact resistance between strands[J].Cryogenics,2001,41(2):121-137.

[8] Kawagoe A,Sumiyoshia F,Mitob T,et al.Compact stranded superconducting conductors with both low AC loss and high stability.I.Proposal of a new design[J].Cryogenics,2004,44(9):617-622.

[9] 蔣華偉,張慶州.基于圖像曲線和最小二乘法進行函數(shù)擬合的研究[J].計算機應(yīng)用與軟件,2007,24(7):43-44.

Jiang Huawei,Zhang Qingzhou.Research on function fitting based on image curve and method of least squares[J].Computer Applications and Software,2007,24(7):43-44.

[10] 蔣華偉,李戰(zhàn)升,武松濤.考慮應(yīng)變的管內(nèi)電纜導體設(shè)計模型[J].西安交通大學學報,2010,44(5):75-79.

Jiang Huawei,Li Zhansheng,Wu Songtao.Simulation model for cable-in-conduit conductor design considering strain effect[J].Journal of Xi’an Jiao Tong University,2010,44( 5):75-79.

[11] 李保增,畢延芳,吳維越,等.大型超導電纜交流損耗的計算[J].低溫與超導,2000,28(4):14-18.

Li Baozeng,Bi Yanfang,Wu Weiyue,et al.Calculation of AC losses in large scale supercon- ducting cable[J].Cryogenics and Super Conductivity,2000,28(4):14-18.