馬艷，羅美玲

(西北工業(yè)大學(xué) 航海學(xué)院，陜西 西安710072)

0 引言

目標的方位、距離和速度估計是雷達和聲納等探測系統(tǒng)信號處理的主要問題之一［1-2］。主動系統(tǒng)通過估計回波信號與發(fā)射信號之間的時延和多普勒伸縮因子來估計目標距離和相對徑向速度。目標出現(xiàn)與否、脈沖的起始時間和信號參數(shù)都是未知的，需要對整個周期的信號進行處理。

目前主動方式估計目標距離和速度采用的匹配濾波技術(shù)，對于未知目標速度的檢測和估計需要多個副本來覆蓋目標的速度范圍。而且對于常用的線性調(diào)頻(LFM)信號(chirp 信號)，由于時延和頻率的耦合性，還需要同時發(fā)射相同帶寬、調(diào)頻率的正負調(diào)頻信號以達到準確估計目標距離和速度的目的，這都將導(dǎo)致龐大的運算量且使得處理增益下降［1］。

分數(shù)階傅里葉變換(FRFT)是傳統(tǒng)傅里葉變換的推廣形式，在量子力學(xué)、光學(xué)和信號處理中有著廣泛的應(yīng)用［3，6］，它可以看做是信號在一系列chirp 基上的擴展系數(shù)。LFM 的某一特定角度的FRFT 將為δ 函數(shù)，信號的能量將集中在這個chirp 基上，其最大值出現(xiàn)的某個u 值與信號的中心頻率有關(guān)，因此FRFT 在處理LFM 時有很大優(yōu)勢，這也得到了研究人員的關(guān)注［4-7］。但是這些都是假定信號正好包含在待處理信號中，即已知目標的距離及脈沖寬度，這在主動探測中不太可能。

包含脈沖線性調(diào)頻信號的FRFT，其峰值出現(xiàn)的角度與原來線性調(diào)頻信號相同，u 域的位置與時延有直接聯(lián)系［8］，因此可通過此方法和短時傅里葉變換的方法結(jié)合來進一步估計出目標的距離和速度，最后分析了這兩個參數(shù)的估計性能與信號參數(shù)的關(guān)系。

1 FRFT 變換

1.1 FRFT 的定義和性質(zhì)［3］

FRFT 可以通過很多方式定義，這里我們就介紹線性變換核的方法。信號x(t)的p 階FRFT 定義為

式中:α=pπ/2;

α 可看做是信號的FRFT 旋轉(zhuǎn)的角度，F(xiàn)α表示FRFT算子，且

1.2 FRFT 的離散計算

Ozaktas 在文獻［3］［9］中給出了一種計算FRFT 的快速算法。這種方法是對連續(xù)FRFT 的核函數(shù)在FRFT 和時域直接采樣得到的，因此被稱之為FRFT 的離散計算方法。(1)式可以表示為

FRFT 被分解為乘以chirp 信號，然后和chirp 信號卷積，最后再乘以一個chirp 信號。在利用該方法進行計算之前需要進行維數(shù)歸一化。對于時寬帶寬積為N 的信號，完成FRFT 需要O(NlgN)次運算.假設(shè)信號在時域和頻域都是緊支撐的，其時域范圍為［-Δt/2，Δt/2］，頻域的范圍為［-Δf/2，Δf/2］，則時寬帶寬積定義為N≡ΔtΔf.可選擇伸縮參數(shù)為這樣時域和頻域的長度相等，為記為Δu.因此在u 域的采樣間隔為這種方法稱之為離散尺度轉(zhuǎn)化法。

對于離散信號，一般選擇觀測時間為時寬Δt=t0，采樣頻率為帶寬，即Δf=fs，fs為采樣頻率，因此伸縮因子s 和歸一化長度Δu 分別為［10］

2 水下寬帶信號模型及FRFT

2.1 線性調(diào)頻信號

LFM 的頻率線性增加或減小，是聲納和雷達系統(tǒng)的常用信號之一。線性調(diào)頻信號可寫為

式中:A0，φ0和f0分別為信號的幅度、初始相位和初始頻率(t=0 );調(diào)頻率這里B 和T 是信號的帶寬和時寬。

依據(jù)FRFT 的頻移性質(zhì)，A0，φ0將不影響其FRFT 能量的分布，exp［jπ(2f0t+k0t2)］的FRFT 為［3］:

其中m 為任意整數(shù)，gα(u)是g(t)=exp(jπk0t2)的α 階FRFT.也就是說，調(diào)頻率為k0的線性調(diào)頻信號的某一角度k0=-cot(α)的FRFT 為δ 函數(shù)，信號能量集中在某一chirp 基上，F(xiàn)α［exp［jπ(2f0t+k0t2)］］的幅值會在u=f0sinα 時達到最大，所以說最大值出現(xiàn)的角度與調(diào)頻率有關(guān)，其在u 域的位置與初始頻率有關(guān)，可通過最大值的位置來估計LFM的調(diào)頻率和中心頻率。

2.2 水下動目標的回波模型

當(dāng)發(fā)射機發(fā)射的信號為u(t)，經(jīng)過單目標反射，接收機接收到的信號為r(t).若目標是勻速運動(可忽略目標加速運動)，徑向速度為v，接收信號可表示為［11-12］

式中:τ0=是信號到目標的雙程時延，R 為目標距離，c 為水中聲速;a=是回波的時間尺度因子;n(t)是背景噪聲，為均值為0，方差為σ2獨立同分布的復(fù)高斯白噪聲。

2.3 回波信號FRFT

聲納和雷達中，回波信號在工作周期中很短的一部分，從(4)式的接收信號可知，它由兩部分組成:目標反射回波(第1 項)和背景噪聲(第2 項)，背景噪聲是一直存在，而在聲納和雷達中，目標回波信號只存在于工作周期中很短的時間中。由于FRFT 是線性變換，而且信號和噪聲是互不相關(guān)的，所以對(4)式的FRFT 可以分為兩項。背景噪聲為復(fù)高斯過程，那么它的FRFT 也將是復(fù)高斯過程，沒有明顯的聚集特點。而對于脈沖形式的回波信號，采用短時傅里葉變換的思想，將接收信號分成長度為2γT(γ≤1)的小段。為了簡化，我們只給出包含回波脈沖的一段接收信號，必須保證這段的中心包含信號成分，這段信號可以表示為

其中，g'α(u)是g'(t)=的α 階FRFT.所以gα(u)的最大幅值出現(xiàn)的角度為其中α'為g'α(u)最大值出現(xiàn)的角度，雙程時延不僅對FRFT 的相位有影響，而且會引起幅值最大值位置在u 域的變化。

線性調(diào)頻信號FRFT 的幅值分四種情況，這里我們僅討論峰值點位置的情況，即:α-arctg(k0)=且u- f0sinα 的情況，|Fα［exp(jπ(2f0t+所以回波信號FRFT 幅值的均值為

其方差為

3 徑向速度和時延的估計

圖1表示的是發(fā)射信號、尺度信號和回波信號的時間—頻率關(guān)系，［-γT，γT］是這段信號的時間范圍，［-T/2，T/2］，k0和f0分別為發(fā)射信號的時間范圍、調(diào)頻率和初始頻率(t=0)，［- T/2a，T/2a］，k0a和f0a分別為發(fā)射信號伸縮后信號的相應(yīng)參數(shù)，［-T/2a+τ0，T/2a+τ0］，k0r和f0r分別為回波信號的參數(shù)。若尺度為a，時延為τ0，則有下面的關(guān)系存在

圖1 信號的瞬時頻率Fig.1 Instantaneous frequency of signal

FRFT 譜的最大值出現(xiàn)在

4 數(shù)值仿真

假設(shè)主動聲納系統(tǒng)發(fā)射線性調(diào)頻信號，其參數(shù)為:時寬150 ms，帶寬為5 kHz，中心頻率為15 kHz，所以其調(diào)頻率為33.33 kHz/s，系統(tǒng)的采樣頻率為40 kHz，則信號的采樣點數(shù)為6 000.為了確保整個LFM 信號在一個觀測段內(nèi)，設(shè)定段的長度為2T，即12 000 個點，所以在進行量綱歸一化時的尺度為s=那么歸一化調(diào)頻率和中心頻率與實際LFM 信號參數(shù)之間的關(guān)系為［8］

其中k0r，f0r是接收信號實際的調(diào)頻率和中心頻率，k'0，f'0分別為歸一化之后的調(diào)頻率和中心頻率。

對于水下目標，其運動速度在-50～50 m/s，此時LFM 的FRFT 為Delta 函數(shù)的理論階數(shù)可這樣計算

其范圍為［1.137 1，1.177 1］.因此沒有必要在FRFT 的定義域［0，2］之間搜索，大大減小了搜索范圍及計算量。

仿真分為兩部分進行，首先用仿真數(shù)據(jù)和實測數(shù)據(jù)來驗證該方法的有效性和該估計方法的誤差均方值與信噪比的關(guān)系，其次分析該算法的敏感性能。

假設(shè)目標的徑向相對運動速度為10 m/s，目標距離為750 m，所以目標回波的時延是1 s，背景噪聲用零均值、方差為1 的互不相關(guān)的復(fù)高斯隨機過程近似，回波的信噪比為0 dB，每批處理的信號長度為12 000 點，刷新6 000 點，所以信號將出現(xiàn)在第8 批，其FRFT 的譜如圖2所示，峰值出現(xiàn)的歸一化階數(shù)和u 值為:p=1.151 9，u=37.226 9，依據(jù)階數(shù)和u與信號參數(shù)之間的關(guān)系(第4 部分)以及歸一化參數(shù)與實際參數(shù)的關(guān)系((12)、(13)式)，可知回波信號的調(diào)頻率32 434 Hz/s 和中心頻率為13 990 Hz，從(13)式可得出目標的徑向運動速度為10.260 4 m/s，和目標回波的在該數(shù)據(jù)段的時延為0.024 9 s，則估計的目標距離為749.123 9 m.

圖2 回波信號的FRFTFig.2 The FRFT of echo

在消聲水池實驗中，發(fā)射信號由PC 機產(chǎn)生、經(jīng)D/A 和功放由發(fā)射換能器發(fā)射，經(jīng)模擬抗混疊濾波和接收基陣接收。A/D 的采樣頻率為200 kHz，發(fā)射的LFM 時寬為75 ms，帶寬為5 kHz，中心頻率為20 kHz.PC 機仿真時設(shè)定目標的距離為188 m，速度為0 m/s.所以每批處理的長度為30 000，刷新的長度為15 000.注意到前面第2 部分的推導(dǎo)中，信號都是復(fù)信號，所以在用FRFT 處理陣元接收的信號之前需要對信號進行Hilbert 變換將其轉(zhuǎn)換為復(fù)信號。經(jīng)過該方法處理，F(xiàn)RFT 峰值出現(xiàn)在第5 批數(shù)據(jù)中，p=1.031 83，u=18.019 1.所以估計的信號的調(diào)頻率k0r=66.73 kHz/s 和零點頻率為20.83 kHz，因此估計的目標速度為-0.29 m/s，脈沖在這批數(shù)據(jù)中的時延為-0.012 3 s，最終估計的目標距離為

圖3和圖4給出了時延和徑向速度估計的均方根誤差與信噪比之間關(guān)系，展現(xiàn)了信噪比對該估計方法的影響。信噪比從-6 dB 到10 dB，回波的真實時延為0.575 s，徑向速度的真實值為10 m/s，在每個信噪比下進行100 次仿真實驗，圖中給出的均方誤差的對數(shù)。從圖可以看出，在信噪比大于或等于-2 dB 時，該算法受信噪比影響較小，比較穩(wěn)健。

5 敏感性分析

為了使徑向速度和時延達到一定的估計精度，研究其與階數(shù)間隔之間的關(guān)系。線性調(diào)頻信號的調(diào)頻率可以為正，也可以為負，當(dāng)調(diào)頻率為正時，α 在第二象限，否則α 在第一象限。對接收信號分段的長度為2γT，則進行維數(shù)歸一化的尺度因子為s=由速度的估計原理

圖3 時延估計的均方誤差Fig.3 MSE of the time delay

圖4 徑向速度估計的均方誤差Fig.4 MSE of the radial velocity

對(14)式兩邊求微分，當(dāng)線性調(diào)頻信號的調(diào)頻率為正時，α 在第二象限，cotα 為負，所以

這里我們僅討論估計的信號參數(shù)等于信號參數(shù)的情況，由信號調(diào)頻率與FRFT 變換角度、歸一化尺度因子等的關(guān)系，(15)式可以簡化為

從式中可以看出，速度的敏感度與信號中心頻率和u 無關(guān);在信號時寬相同的條件下，它與FRFT 的角度(即信號的調(diào)頻率有關(guān))有關(guān)，也就是和信號的帶寬有關(guān)，隨著帶寬的增加而降低。

同理，時延估計的敏感度

對α 求偏導(dǎo)并經(jīng)過一系列的簡化得

同理用理論的角度和u 值來代替估計的值，且du=Δu，則的微分可簡寫為

從式中可以看出，時延估計的敏感度與信號的時寬、帶寬和中心頻率都有關(guān)系。

由于在信號時寬變化時，F(xiàn)RFT 變化的信號長度、u 域的分辨力和歸一化因子都發(fā)生變化，所以這里就不比較時寬對敏感性的影響。圖5是時寬為75 ms，中心頻率為5 kHz，采樣頻率為40 kHz，角度的間隔為10-6，帶寬從200 Hz 到10 kHz 的速度敏感度，可見隨著帶寬的增加，敏感度降低，尤其是當(dāng)帶寬大于4 kHz 之后，變化就非常小，也就是說對于窄帶信號，該估計方法如果估計角度有很小的偏差將會導(dǎo)致速度的估計誤差發(fā)生較大的變化。圖6中實線是和圖5中參數(shù)相同，而虛線則是中心頻率為15 kHz 時的時延敏感度曲線。時延對誤差的敏感度也是隨著帶寬的增加而降低，當(dāng)帶寬大于2 kHz后，變化就比較平穩(wěn)了;另一方面，時延敏感度與中心頻率也有關(guān)系，中心頻率為5 kHz 的比中心頻率為15 kHz 的敏感度小一些。

圖5 速度敏感度與帶寬的關(guān)系Fig.5 Sensitivity of the radial velocity vs.SNR

圖6 時延敏感度與帶寬和中心頻率的關(guān)系Fig.6 Sensitivity of the time delay vs.SNR and central frequency

6 結(jié)論

本文研究了基于FRFT 的水下目標的速度和距離聯(lián)合估計問題。推導(dǎo)了目標速度和距離與回波的FRFT 峰值位置之間的關(guān)系，數(shù)值仿真表明該方法僅用單調(diào)頻線性調(diào)頻脈沖就可以同時完成目標的距離和速度的有效估計，并且對于水下運動目標低速情況，該方法需要搜索的角度范圍非常小，為該方法在實際工程中成功應(yīng)用提供可能。最后對該方法進行了敏感度分析。

References)

［1］ Stergiopoulos S.Advanced signal processing handbook:theory and implementation for radar，sonar，and medical imaging real time systems［M］.Boca Raton:CRC Press LLC，2001.

［2］ 李志舜.魚雷自導(dǎo)信號與信息處理［M］.西安:西北工業(yè)大學(xué)出版社，2003:164-237.LI Zhi-shun.Signal ＆ information processing in torpodo-homing［M］.Xi’an:Northwestern Polytechnical University Press，2003:164-237.(in Chinese)

［3］ Ozaktas H M.The fractional fourier transform with application in optics and signal processing［M］.New York:John wiley ＆ Sons，2001:117-183.

［4］ Sun H B，Liu G S，Gu H，et al.Application of the fractional fourier transform to moving target detection in airborne SAR［J］.IEEE Transactions on Aerospace and Electronic Systems，2002，38(4):1416-1424.

［5］ 齊林，陶然，周思永，等.基于分數(shù)階Fourier 變換的多分量LFM 信號的檢測和參數(shù)估計［J］.中國科學(xué):E 輯，2003，33(8):749-759.QI Lin，TAO Ran，ZHOU Si-yong，et al.Application of the factional fourier transform for multi-component LFM signal detection and estimation［J］.Science in China:Series E，2003，33(8):749-759.(in Chinese)

［6］ Qi L，Tao R，Zhou S Y，et al.Detection and parameter estimation of multicomponent LFM signal based on the fractional Fourier transform［J］.Science in China:Series F.Information Sciences，2004，47(2):184-198.

［7］ 陳鵬，侯朝煥，馬曉川，等.基于匹配濾波和離散分數(shù)階傅里葉變換的水下動目標LFM 回波聯(lián)合檢測［J］.電子與信息學(xué)報，2007，29(10):2305-2308.CHEN Peng，HOU Chao-huan，MA Xiao-chuan，et al.The joint detection to underwater moving target’s LFM echo based on matched filter and discrete fractional fourier transform［J］.Journal of Electronics ＆ Information Technology，2007，29(10):2305-2308.(in Chinese)

［8］ Yan M，Yan K.FRFT based on joint estimation time delay and radial velocity of underwater target［C］∥2010 3th International Congress on Image and Signal Processing，Yantai:2010(9):4074-4078.

［9］ Ozaktas H M，Arikan O，Kutay M A，et al.Digital computation of the fractional Fourier transform［J］.IEEE Transactions on Signal Processing，1996，44(9):2141-2150.

［10］ 趙興浩，鄧兵，陶然.分數(shù)階傅立葉變換數(shù)值計算中的量綱歸一化［J］.北京理工大學(xué)學(xué)報，2005，25(4):360-364.ZHAO Xing-hao，DENG Bing，TAO Ran.Dimensional normalization in the digital computation of the fractional fourier transform［J］.Transactions of Beijing Institute of Technology，2005，25(4):360-364.(in Chinese)

［11］ 劉建成，劉忠，等.高斯白噪聲背景下的LFM 信號的分數(shù)階Fourier 域信噪比分析［J］.電子與信息學(xué)報，2007，29(10):2337-2343.LIU Jian-cheng，LIU Zhong，et al.SNR analysis of LFM signal with gaussian white noise in fractional fourier transform domain［J］.Journal of Electronics ＆ Information Technology，2007，29(10):2337-2343.(in Chinese)