郭榮化，吳玉生，陳慶榮

(中國(guó)華陰兵器試驗(yàn)中心，陜西 華陰714200)

0 引言

定時(shí)截尾可靠性試驗(yàn)，就是當(dāng)試驗(yàn)進(jìn)行到預(yù)定的試驗(yàn)時(shí)間t 時(shí)，就終止試驗(yàn)，然后根據(jù)試驗(yàn)中被試裝備發(fā)生的故障個(gè)數(shù)，對(duì)裝備作出“接收”或“拒收”的判定，同時(shí)對(duì)裝備的可靠性作出評(píng)估。由于定時(shí)截尾試驗(yàn)具有很強(qiáng)的計(jì)劃性和可操作性，是目前可靠性工作者最樂意選擇的使用方法。

但隨著武器裝備設(shè)計(jì)不斷優(yōu)化，元器件水平逐步提高，在定時(shí)截尾可靠性試驗(yàn)中，當(dāng)試驗(yàn)結(jié)束時(shí)，出現(xiàn)零個(gè)關(guān)聯(lián)故障的概率也在逐漸地提高。針對(duì)這種情況如何做出正確的試驗(yàn)結(jié)論，目前在國(guó)標(biāo)、國(guó)軍標(biāo)的資料中，都未有明確提出具體的實(shí)施意見。

1 相關(guān)評(píng)估標(biāo)準(zhǔn)缺陷

《GJB899—90 可靠性鑒定和驗(yàn)收試驗(yàn)》中(A-8)式，給出了基于指數(shù)分布的極大似然估計(jì)法推導(dǎo)而來的平均無故障間隔時(shí)間(MTBF)觀測(cè)值點(diǎn)估計(jì)^θ 的計(jì)算方法

式中:t 為設(shè)備的總試驗(yàn)時(shí)間;r 為責(zé)任故障。

同時(shí)在(A-11)式給出了定時(shí)截尾試驗(yàn)中接收時(shí)MTBF 的置信下限系數(shù)θl公式和置信上限系數(shù)θu的計(jì)算方法

上述公式在無故障發(fā)生時(shí)均無法應(yīng)用，因?yàn)闊o故障發(fā)生時(shí)r 為0，根據(jù)點(diǎn)估計(jì)評(píng)估公式得出MTBF的估計(jì)值為無窮大;同樣在自由度m 為0 時(shí)χ2分布也不存在。

但在GB5080.4—85《設(shè)備可靠性試驗(yàn)可靠性測(cè)定試驗(yàn)的點(diǎn)估計(jì)和區(qū)間估計(jì)方法(指數(shù)分布)》中5.1.1 條規(guī)定，在指數(shù)分布場(chǎng)合，若到測(cè)定點(diǎn)沒有觀察到失效數(shù)據(jù)，推薦用下述公式計(jì)算失效率^λ

因?yàn)楫a(chǎn)品的平均壽命與產(chǎn)品的故障率互為倒數(shù)關(guān)系，即可用總試驗(yàn)時(shí)間的3 倍作為平均壽命(MTBF)估計(jì)。上述規(guī)定也只是一個(gè)經(jīng)驗(yàn)的辦法，國(guó)標(biāo)中沒有給出推導(dǎo)過程和相關(guān)依據(jù)，取3 倍試驗(yàn)時(shí)間作為MTBF 估計(jì)值的做法至今也尚未在其他文獻(xiàn)和資料查找到充分理論證明。

近年來，統(tǒng)計(jì)學(xué)家對(duì)無失效情況進(jìn)行了相應(yīng)研究，如文獻(xiàn)［1-2］提出配分布曲線法;文獻(xiàn)［3-13］采用Bayes 或多層修正Bayes 法;文獻(xiàn)［14］給出了指數(shù)分布情況下的修正似然函數(shù)法;文獻(xiàn)［15-16］采用公式和權(quán)系數(shù)給出一種類似經(jīng)驗(yàn)法;文獻(xiàn)［17-18］采用再抽樣方法，利用Monte-Carlo 方法進(jìn)行了隨機(jī)模擬和參數(shù)估計(jì);文獻(xiàn)［19-20］采用最大期望(EM)算法，并與極大似然估計(jì)及修正極大似然估計(jì)進(jìn)行了比較;文獻(xiàn)［21］采用信息測(cè)度方法建立壽命檢驗(yàn)方法等。關(guān)于無失效數(shù)據(jù)的若干研究進(jìn)展情況，見參考文獻(xiàn)［22］。上述諸多研究中，以對(duì)Bayes 方法研究居多，而且主要方向?yàn)椴捎梅謱覤ayes 方法以及不同先驗(yàn)分布的情況下各種估計(jì)，這些方法理論性較強(qiáng)，側(cè)重于在無失效情況下的數(shù)學(xué)推導(dǎo)和理論證明，由于各種方法引起估計(jì)結(jié)果的差別沒有統(tǒng)一的判定依據(jù)，無法形成在無失效情況下可靠性鑒定試驗(yàn)相應(yīng)的操作方法，難以在實(shí)際可靠性試驗(yàn)中進(jìn)行實(shí)施和評(píng)估。此外，文獻(xiàn)［23］通過定義最大置信下限和正則置信下限概念，推導(dǎo)出無故障情況下計(jì)算最優(yōu)置信下限的普遍公式，但是由于其推導(dǎo)過程理論性很強(qiáng)，不便于一般工程人員理解和接受。

針對(duì)上述問題，本文根據(jù)指數(shù)分布的累積分布函數(shù)性質(zhì)，利用一次試驗(yàn)中小概率事件是不會(huì)發(fā)生的原理，進(jìn)行反證法論證，推導(dǎo)出無故障情況下MTBF 的驗(yàn)證值確定方法，彌補(bǔ)了依據(jù)GJB899 中公式無法確定MTBF 驗(yàn)證值的不足。由于本文提供的推導(dǎo)方法避開了較為復(fù)雜數(shù)學(xué)推導(dǎo)，并給出具有較為明確的工程物理背景的各個(gè)估計(jì)方案，在進(jìn)行可靠性鑒定試驗(yàn)設(shè)計(jì)時(shí)，通過雙方協(xié)商，可提前選取合適的參數(shù)估計(jì)方案，使本文提供的方法具有很強(qiáng)的可操作性和工程應(yīng)用價(jià)值。

2 驗(yàn)證區(qū)間推導(dǎo)

可靠性鑒定試驗(yàn)中若產(chǎn)品壽命服從指數(shù)分布，產(chǎn)品累積分布函數(shù)可表示為

式中:ti為可靠性試驗(yàn)中第i 個(gè)故障發(fā)生的時(shí)間;θ為平均無故障間隔時(shí)間MTBF 值。

設(shè)從一批產(chǎn)品中取n 個(gè)進(jìn)行定時(shí)截尾試驗(yàn)，到規(guī)定的時(shí)間并未發(fā)現(xiàn)產(chǎn)品故障，產(chǎn)品的工作時(shí)間為

假定題設(shè)樣本E 的發(fā)生概率為P(E)時(shí)，則有下式成立

式中，tΣ為到規(guī)定的截止時(shí)間所累積的相關(guān)試驗(yàn)時(shí)間。

通過(2)式可知，若θ 減小時(shí)，P(E)隨之減小，即P(E)隨θ 具有單調(diào)遞減性。假設(shè)MTBF 下限值θl是已知，在產(chǎn)品的MTBF 設(shè)計(jì)值是合理的基礎(chǔ)上，那么θ 應(yīng)以一個(gè)較大的概率大于MTBF 下限值θl，即MTBF 下限θl大于θ 的概率是個(gè)小概率，根據(jù)P(E)的單調(diào)性，如果存在θ≤θl，則發(fā)生P(El)事件的概率也必為一個(gè)小概率α 事件

即有

所以滿足上式的MTBF 置信下限θl計(jì)算公式為

上述公式結(jié)果，與文獻(xiàn)［23］推導(dǎo)出來的指數(shù)分布下零故障最優(yōu)置信下限可靠性評(píng)估公式使一致的，其區(qū)別在于文獻(xiàn)［23］在θ 已知情況，假設(shè)θl是變化的，然后推導(dǎo)出最優(yōu)的θl;本文假設(shè)θl已知，在θ減少至θl后，試驗(yàn)中出現(xiàn)無故障發(fā)生的事件將是一個(gè)小概率事件，從而獲得置信下限θl計(jì)算公式。雖然推導(dǎo)過程不一樣，但是公式意義都是一樣的，文獻(xiàn)［23］定義正則性的一個(gè)物理意義可以簡(jiǎn)要表述為:無故障情況下置信下限不會(huì)小于有故障情況下的置信下限。本文的小概率推導(dǎo)過程中一個(gè)物理意義可簡(jiǎn)要表述為:產(chǎn)品MTBF 取在置信下限情況下無故障發(fā)生的概率小于區(qū)間估計(jì)中任何一個(gè)MTBF值時(shí)的無故障發(fā)生概率。

3 點(diǎn)估計(jì)方案

在前節(jié)驗(yàn)證區(qū)間的推導(dǎo)中，得到了MTBF 的驗(yàn)證下限，根據(jù)(5)式控制置信水平變動(dòng)，在某一風(fēng)險(xiǎn)范圍附近，存在一個(gè)置信水平α'的θ'l等于MTBF 的值，故此，我們可以將此時(shí)的估計(jì)下限作為MTBF 的點(diǎn)估計(jì)，即得到下式

由上述推導(dǎo)的(6)式，可以計(jì)算在不同置信度α'下，MTBF 的這個(gè)置信下限θ'l值，即^θ 關(guān)于總試驗(yàn)時(shí)間tΣ的倍數(shù)關(guān)系，這個(gè)關(guān)系可以用來獲得合理的MTBF 點(diǎn)估計(jì)，獲得的計(jì)算方案見表1.

表1 無故障發(fā)生時(shí)MTBF 點(diǎn)估計(jì)計(jì)算方案簡(jiǎn)表Tab.1 The calculation scheme of the point estimation of MTBF of zero-failure

上述計(jì)算方案主要是在產(chǎn)品壽命服從指數(shù)分布情況下，解決在采用定時(shí)截尾試驗(yàn)中無故障發(fā)生時(shí)進(jìn)行MTBF 真值估計(jì)問題，彌補(bǔ)在試驗(yàn)中接收的判決故障數(shù)位零發(fā)生時(shí)MTBF 無法估計(jì)的難題。上述計(jì)算方案理論上可以適用于包括GJB899—90《可靠性鑒定和驗(yàn)收試驗(yàn)》中給出的標(biāo)準(zhǔn)定時(shí)截尾試驗(yàn)1～17 號(hào)方案和短時(shí)高風(fēng)險(xiǎn)19～21 號(hào)方案，尤其適用于接收的判決故障數(shù)較少的方案中，比如GJB899的標(biāo)準(zhǔn)定時(shí)截尾試驗(yàn)方案17，短時(shí)高風(fēng)險(xiǎn)方案20和方案21，因?yàn)檫@些方案接收的判決故障數(shù)分別為2/2/0，在實(shí)際試驗(yàn)過程中無故障情況的出現(xiàn)概率也較高。

表1提供的無故障發(fā)生時(shí)MTBF 點(diǎn)估計(jì)計(jì)算方案簡(jiǎn)表給出了在定時(shí)截尾試驗(yàn)中，零故障時(shí)的MTBF 點(diǎn)估計(jì)值和置信度之間的關(guān)系，選取不同的置信度將會(huì)得到不同的MTBF 估計(jì)值，其中置信度選取主要依據(jù)產(chǎn)品本身的技術(shù)狀態(tài)。下面針對(duì)不同工程應(yīng)用環(huán)境對(duì)各個(gè)方案的選取進(jìn)行說明。

如果進(jìn)行可靠性鑒定試驗(yàn)的武器裝備采用較多高新技術(shù)，作戰(zhàn)使用中需要極高的可靠性，或者定時(shí)截尾試驗(yàn)選用的短時(shí)高風(fēng)險(xiǎn)、鑒別比又較大的試驗(yàn)方案，在進(jìn)行MTBF 的點(diǎn)估計(jì)的計(jì)算時(shí)，訂購(gòu)方可以選擇風(fēng)險(xiǎn)更小的保守方案1、2、3，讓生產(chǎn)方承擔(dān)較大的風(fēng)險(xiǎn)。其中，方案2 計(jì)算MTBF 點(diǎn)估計(jì)值結(jié)果等于r 為1 時(shí)的MTBF 估計(jì)值，即認(rèn)為如果繼續(xù)進(jìn)行可靠性試驗(yàn)，會(huì)立即出現(xiàn)1 個(gè)故障。

如果進(jìn)行可靠性鑒定試驗(yàn)的武器裝備屬于成熟產(chǎn)品，或者基于可靠性鑒定試驗(yàn)前的數(shù)據(jù)有理由相信武器裝備的可靠性較高，可以選擇方案5、6、7 等。其中方案7 與GB5080.4—85 推薦的計(jì)算結(jié)果是一致的，此方案訂購(gòu)方承擔(dān)風(fēng)險(xiǎn)要高于生產(chǎn)方。

例如，某新型電子偵察裝備，選用GJB899 標(biāo)準(zhǔn)定時(shí)試驗(yàn)方案中17 號(hào)方案(雙方名義風(fēng)險(xiǎn)均為20%，判決故障的接收數(shù)Ac≤2，判決故障的拒收數(shù)Rc≥3)進(jìn)行可靠性鑒定試驗(yàn)，試驗(yàn)結(jié)束后沒有出現(xiàn)故障，總試驗(yàn)時(shí)間t=24(臺(tái)時(shí))，該如何給出試驗(yàn)結(jié)果?

因?yàn)楫a(chǎn)品試驗(yàn)過程中零個(gè)故障，根據(jù)17 號(hào)方案試驗(yàn)結(jié)束后故障數(shù)小于3 個(gè)，可以做出接收產(chǎn)品為合格的判定，在對(duì)其進(jìn)行MTBF 估值時(shí)，采用GJB899 提供的公式=t/r 將無法計(jì)算，因考慮其作戰(zhàn)過程中任務(wù)可靠較高，又為新型電子偵察裝備，其以前可靠性水平掌握較少，故可選取文中表1提供較為保守的3 號(hào)方案，MTBF 的估計(jì)值計(jì)算結(jié)果為28.8 h.

4 結(jié)論

在可靠性鑒定試驗(yàn)中，產(chǎn)品在有故障下的數(shù)據(jù)處理已有一套成熟的方法，但是對(duì)無故障情況下的處理還處于研究探討階段，常用的極大似然估計(jì)法也隨之失效，本文經(jīng)過推導(dǎo)和分析解決了下述兩個(gè)問題:

1)獲得了無故障時(shí)可靠性鑒定試驗(yàn)中的MTBF置信下限公式。

2)提供了無故障情況下，MTBF 的點(diǎn)估計(jì)計(jì)算方法，并給出了幾種典型的方案和應(yīng)用環(huán)境分析。

本文研究的內(nèi)容對(duì)GJB899 中在無故障發(fā)生時(shí)MTBF 的驗(yàn)證值難以確定作了較好的補(bǔ)充，根據(jù)可靠性試驗(yàn)方案設(shè)計(jì)，在可靠性試驗(yàn)進(jìn)行前可以根據(jù)產(chǎn)品技術(shù)狀態(tài)和工程背景，雙方協(xié)商選取文中提供的某一方案，以此確定如果在可靠性試驗(yàn)中無故障時(shí)的MTBF 驗(yàn)證值計(jì)算方法，避免了在試驗(yàn)完成后對(duì)MTBF 估計(jì)可能產(chǎn)生的分歧，本文研究的內(nèi)容和提供的方案對(duì)可靠性鑒定試驗(yàn)具有很強(qiáng)的指導(dǎo)性和可操作性，具備很強(qiáng)的工程應(yīng)用和推廣價(jià)值。

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