張錚，譚海鷗

（五邑大學(xué) 數(shù)學(xué)與計算科學(xué)學(xué)院，廣東 江門 529020）

張錚，譚海鷗

（五邑大學(xué) 數(shù)學(xué)與計算科學(xué)學(xué)院，廣東 江門 529020）

記D是復(fù)平面的開單位圓盤，H( D)表示D上的解析函數(shù)的全體，給出并證明了從空間到 QK(p,q)空間上的Volterra型復(fù)合算子有界性和緊性的充分必要條件.

Volterra型復(fù)合算子； QK(p,q)空間；空間；有界性；緊性

1 引言及預(yù)備知識

設(shè) φ∈ B( D)，y( z)∈ H( D )，算子Iy,φ定義為稱為Volterra型復(fù)合算子.

定義1[1]設(shè)分別為加權(quán)空間、加權(quán)小空間.

定義2[2]設(shè)且滿足

稱 f屬于 QK(p,q)空間.其中權(quán)函數(shù)K滿足以下條件：

a）K為非減函數(shù)；

b）K在（0,1）上二階可微；

關(guān)于Volterra算子Jφ已有很多研究成果，如于燕燕[2]刻畫了Bloch空間上的型復(fù)合算子有界性的充分必要條件；黃小玲等[3]刻畫了Bloch型空間中B Bα→ Volterra算子的有界性；瞿丹[4]討論了Bloch型空間中的Volterra算子的有界性.本文給出并證明了從加權(quán)Bloch型空間到 QK(p,q)空間上的Volterra型復(fù)合算子有界性和緊性的充分必要條件，其中C表示常數(shù)，在不同的地方C表示不同的值.

2 預(yù)備引理

引理1[5]存在函數(shù)使得

3 主要結(jié)果

定理1 設(shè)α＞0，0＜p＜∞，q＞-2，φ是D→D一個全純自映射，則以下結(jié)論等價：

證明 3）?1）.設(shè)結(jié)論3）成立并且 C( C ＞ 0)是結(jié)論3）的上確界，如果則由閉圖像定理只需證 Iy,φ( f)∈ QK(p,q).由結(jié)論3）有

定理2 設(shè)α＞0，0＜p＜∞，q＞-2， K :[0,∞) → [0,∞)為非減函數(shù)，且 φ∈ B( D)，則下列結(jié)論等價：

由結(jié)論3），存在 δ: 0 ＜δ＜1，使得

設(shè)a∈D，0＜t＜1，記Dt={z∈ D:z＞t}，令

因 Iy,φ(fn)∈ QK(p,q),0，故則?a∈D，存在ta，0 ＜ ta＜1使 Ita(a)＜ε.由于 It( a)是關(guān)于a的一個連續(xù)函數(shù)，故存在a的領(lǐng)域N( a)?D，使得 Ita(z)＜ε(z ∈N( a )).因且為閉集，故存在 N( a1),… ,N( am)，使得對 ai( i = 1,2,… ,m)存在tai，使得 Itai(z) ＜ε(z ∈ N( ai),i =1,2,…,m).令 t0= max{ta1,… ,tam}，則當(dāng)a≤δ時， It0(a)＜ε，所以

2）?1）顯然成立.

所以，

故結(jié)論3）成立.

[1]譚海鷗.一類加權(quán) α- Bloch 空間上復(fù)合算子的有界性和緊性[J].五邑大學(xué)學(xué)報：自然科學(xué)版，2004,18(4): 7-10.

[2]于燕燕.Volterra-type composition operators from logarithmic Bloch spaces into Bloch-type spaces[J].徐州師范大學(xué)學(xué)報：自然科學(xué)版，2009,27(3):14-18.

[3]黃小玲，葉國棟.Bloch型空間上的廣義 Volterra型算子的有界性[J].數(shù)學(xué)的實踐與認(rèn)識，2009,39(12): 205-208.

[4]瞿丹.Bloch型空間上的Vloterra算子[J].韓山師范學(xué)院學(xué)報，2008,29(3):9-11.

[5]LI Haiying,LIU Peide.Composition operators between generally weighted Bloch spaces andspaces[J]. Banach J of Math Anal,2009,3(1):99-110.

Volterra-type Composition Operators fromSpaces to QK(p,q)Spaces

ZHANG Zheng,TAN Hai-ou
(School of Mathematics and Computational Science,Wuyi University,Jiangmen 529020,China)

LetDbe a unit disk of the complex plane,H( D)be the sum of analytic functions in the open unit disk.The boundeness and the compactness of the Volterra-type composition operators from weighted Bloch-type spaces to QK(p,q)spaces are proved.

Volterra-type composition operators; QK(p,q)spaces;spaces;boundeness;compactness

O174.5

A

1006-7302（2011）03-0007-05

2011-01-05

張錚（1984—），女，湖北襄陽人，碩士研究生，研究方向為復(fù)分析及其應(yīng)用；譚海鷗，教授，碩士生導(dǎo)師，通信作者，主要從事復(fù)分析方面的研究.