胡啟平,王穎

(河北工程大學(xué)土木工程學(xué)院,河北邯鄲056038)

近年來(lái),隨著建筑的高度不斷增加,建筑結(jié)構(gòu)在地震作用下的變形越來(lái)越大。目前,國(guó)內(nèi)外許多學(xué)者普遍采用動(dòng)力時(shí)程分析法對(duì)高層建筑結(jié)構(gòu)的地震響應(yīng)進(jìn)行研究[1-3],然而在求解過(guò)程中,一方面采用有限單元法計(jì)算單元?jiǎng)偠染仃嚂r(shí),通常會(huì)產(chǎn)生較大的累計(jì)誤差;另外在求解結(jié)構(gòu)的動(dòng)力方程時(shí),采用只具有一階或二階精度的傳統(tǒng)Newmark-β和Wilson-θ法,往往導(dǎo)致計(jì)算結(jié)果精度較低,尤其是在高頻階段。對(duì)此,鐘萬(wàn)勰等[4-6]提出了哈密頓對(duì)偶體系及求解動(dòng)力方程的精細(xì)積分法,并得到地震反應(yīng)下的高精度數(shù)值解。在此基礎(chǔ)上,本文采用哈密頓體系中的區(qū)段混合能矩陣推導(dǎo)結(jié)構(gòu)的層單元?jiǎng)偠染仃?利用有限元?jiǎng)偠燃煞ㄐ纬煽倓偩仃?并采用初值問(wèn)題的精細(xì)積分法求解結(jié)構(gòu)地震作用下的動(dòng)力方程,以進(jìn)一步提高得到的地震響應(yīng)數(shù)值解的計(jì)算精度。

1 基本假定

框剪結(jié)構(gòu)是以框架和剪力墻兩種類型的抗側(cè)力單元組成的結(jié)構(gòu)體系,在高層建筑結(jié)構(gòu)中應(yīng)用非常廣泛?？蚣艚Y(jié)構(gòu)一般看作是平面結(jié)構(gòu),將同一方向布置的所有框架合并成綜合框架,所有剪力墻合并成綜合剪力墻。框剪結(jié)構(gòu)中的綜合框架和綜合剪力墻通過(guò)樓板協(xié)同工作,共同抵抗水平力。假定框剪結(jié)構(gòu)由綜合框架和綜合剪力墻兩個(gè)抗側(cè)力單元構(gòu)成,每個(gè)抗側(cè)力單元都具有彎曲和剪切變形,可看成豎放的鐵摩辛柯梁,樓板是剛性的,樓板的作用沿高度連續(xù)化[7-8]。

計(jì)算模型如圖1所示,共有綜合框架和綜合剪力墻2個(gè)抗側(cè)力單元,其抗彎剛度分別為D1= E1I1和D2=E2I2,抗推剛度為 C1和C2,綜合框架和綜合剪力墻的截面轉(zhuǎn)角為θ1和θ2,側(cè)移為v1和v2,由于剛性樓板的作用,綜合框架和綜合剪力墻協(xié)同工作,v1=v2=v?？箓?cè)力結(jié)構(gòu)上作用的總的水平外載集度為q=q1+q2。

2 框剪結(jié)構(gòu)協(xié)同分析的哈密頓體系

框剪結(jié)構(gòu)協(xié)同分析[6]時(shí)的拉格朗日函數(shù)為

通過(guò)引入q的對(duì)偶變量p=K22﹒q+K21q,可導(dǎo)出哈密頓函數(shù)[9-10]：

3 框剪結(jié)構(gòu)的剛度矩陣

框剪結(jié)構(gòu)被看作頂部自由,底部固定的并聯(lián)懸臂鐵摩辛柯梁模型[8],結(jié)構(gòu)的單元?jiǎng)偠染仃嚴(yán)脙啥诉呏祮?wèn)題精細(xì)積分法中區(qū)段混合能矩陣F,G,Q來(lái)表示[6]。

將結(jié)構(gòu)沿高度按樓層分為若干單元(區(qū)段),通過(guò)精細(xì)積分法中區(qū)段混合能矩陣與哈密頓常數(shù)矩陣A,B,D的關(guān)系,得到第j個(gè)單元(區(qū)段)的混合能矩陣Fj,Gj,Qj。

通過(guò)混合能矩陣與節(jié)點(diǎn)位移和力的關(guān)系,可得到每層樓(結(jié)構(gòu)單元)的剛度矩陣

利用有限元?jiǎng)偠燃煞ㄐ纬煽倓偩仃?并引入頂部自由,底部固定的邊界條件,則結(jié)構(gòu)整體剛度矩陣為K=

4 質(zhì)量及阻尼矩陣

建立結(jié)構(gòu)的動(dòng)力方程,必須考慮結(jié)構(gòu)的質(zhì)量分布及阻尼。

4.1 質(zhì)量矩陣

本文采用多質(zhì)點(diǎn)體系模型,將結(jié)構(gòu)的質(zhì)量集中于樓層處,其特點(diǎn)是質(zhì)量矩陣與位移向量相對(duì)應(yīng)且是對(duì)角矩陣,每一層有3個(gè)自由度。則

其中,Mj=diag(ρ Ajhj,ρ INjhj,ρ Ifjhj);ρ—結(jié)構(gòu)材料密度;N—結(jié)構(gòu)總層數(shù)。

4.2 阻尼矩陣

計(jì)算中采用瑞雷(Rayleigh)阻尼,結(jié)構(gòu)阻尼矩陣的計(jì)算公式為

5 數(shù)值計(jì)算

利用初值問(wèn)題的精細(xì)積分法進(jìn)行框剪結(jié)構(gòu)的地震反應(yīng)分析,由以上分析可得框剪結(jié)構(gòu)的動(dòng)力方程

將上式進(jìn)行降階處理,轉(zhuǎn)化為

若將荷載作用時(shí)間分成時(shí)間步長(zhǎng)為地震波時(shí)間步長(zhǎng)η的若干時(shí)間間隔,則式 (9)的解可表示為

上面具體的降階轉(zhuǎn)化及式(10)中指數(shù)矩陣和特解的計(jì)算參見(jiàn)文獻(xiàn)[12-14],將初值v(t0)代入,采用迭代法可依次求出每時(shí)刻tk對(duì)應(yīng)的未知量。

6 算例驗(yàn)證

某一框剪結(jié)構(gòu)平面圖如圖2所示：層高均為3m,共19層,總高度為57m,1～5層柱取700mm× 700mm,剪力墻厚度300mm,混凝土強(qiáng)度等級(jí)為C35;6-12層柱取600mm×600mm,剪力墻厚取250mm,混凝土強(qiáng)度等級(jí)為C30;13～19層柱取500mm×500mm,剪力墻厚200mm,混凝土強(qiáng)度等級(jí)為C25;梁截面分別為250mm×500mm,300mm× 600mm,混凝土強(qiáng)度等級(jí)為 C25;樓層板厚為120mm,混凝土強(qiáng)度等級(jí)為C20;結(jié)構(gòu)的材料密度取為2.5×103kg/m3。

對(duì)上述框剪結(jié)構(gòu)進(jìn)行動(dòng)力時(shí)程分析。地震波采用美國(guó)加利福尼亞州EI-Centro地震記錄,峰值為341.7cm/s2,在本例中,地震波沿x方向作用于結(jié)構(gòu)上,持續(xù)時(shí)間0～8s,時(shí)間步長(zhǎng)為 Δ t=0.02s,在常遇烈度7度下,選定加速度峰值為35cm/s2。

利用本文編制的MATLAB語(yǔ)言程序?qū)ι鲜隹蚣艚Y(jié)構(gòu)進(jìn)行動(dòng)力時(shí)程分析。在多遇地震作用下,頂層時(shí)程位移最大值為35.47mm,發(fā)生在2.26s,結(jié)構(gòu)位移在平衡位置附近上下變化(圖3);圖4是任意選擇的兩個(gè)時(shí)刻各樓層的位移時(shí)程曲線,結(jié)構(gòu)位移變化符合結(jié)構(gòu)的地震動(dòng)時(shí)刻反應(yīng)情況;圖5中a圖表明結(jié)構(gòu)的整體位移曲線呈現(xiàn)彎剪型,符合框剪結(jié)構(gòu)的變形特點(diǎn);而從b圖可得出結(jié)構(gòu)的層間最大位移角為1/1 329,滿足現(xiàn)行規(guī)范中規(guī)定的高度不大于150m的框架-剪力墻高層建筑結(jié)構(gòu)彈性層間位移角限值(1/800)的要求,且結(jié)構(gòu)沒(méi)有出現(xiàn)明顯的薄弱層,表明整個(gè)結(jié)構(gòu)是處在彈性工作的狀態(tài)。

7 結(jié)論

1)運(yùn)用兩端邊值問(wèn)題精細(xì)積分法中的區(qū)段混合能概念推導(dǎo)結(jié)構(gòu)的單元?jiǎng)偠染仃?避免了傳統(tǒng)有限單元法中誤差積累的現(xiàn)象,得到的結(jié)果更符合實(shí)際。

2)初值問(wèn)題的精細(xì)積分法,比傳統(tǒng)的Newarkβ,Wilson-θ離散積分法得到的結(jié)果精度更高。

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