方 石 陳朝宏 殷正保

（1.海軍駐宜昌地區(qū)軍事代表室, 宜昌 443003； 2.中船重工集團(tuán)第710研究所, 武漢 443003）

1 引言

小波變換理論為噪聲消除問(wèn)題提供了一個(gè)新的思路。其主要思路是根據(jù)小波變換的線性，如果噪聲能量明顯小于信號(hào)能量，則與噪聲對(duì)應(yīng)的小波系數(shù)也將明顯地小于與信號(hào)對(duì)應(yīng)的小波系數(shù)；因此可通過(guò)將小于某一閾值的小波系數(shù)去除從而實(shí)現(xiàn)去噪。小波去噪中的關(guān)鍵問(wèn)題是閾值的確定。目前主要有 MAD（Median absolute deviation）、MINIMAX（MINImaland MAXimal value）、SURE（Stein’s unbiased risk esti-mate[2]）和HYBRID（軟硬閾值混合） 等方法[3]用于確定閾值。但這些方法在確定閾值時(shí)都帶有一定的猜測(cè)性，因此去噪效果不穩(wěn)定。

本文結(jié)合信息論中熵的理論，以及多尺度下小波熵的定義，在分析不同分解尺度上信號(hào)和噪聲不同的能量分布特性基礎(chǔ)上，通過(guò)對(duì)不同分解尺度上小波系數(shù)進(jìn)行子帶分解，計(jì)算不同子帶分量的小波熵，利用最大小波熵自適應(yīng)地選擇閾值，實(shí)現(xiàn)水下目標(biāo)磁場(chǎng)信號(hào)的有效去噪。

2 小波變換及小波熵

設(shè)x（t）是平方可積函數(shù)，即x（t）∈L2（R），則x（t）的小波變換為：

（1） 容許條件

（2） 正規(guī)性條件

為使ψ（ω）在頻域上有較好的局域性能，要求|WTx（a,b）|隨a的減小而迅速減小，這就要求ψ（t）的前n階原點(diǎn)矩為0，且n值越高越好。即

P=1～n，且n值越大越好

對(duì)于（1）式，如果對(duì)尺度參數(shù)和位移參數(shù)按冪級(jí)數(shù)作離散化，即令a=a0j，b=ka0j則小波函數(shù)變?yōu)椋?/p>

相應(yīng)小波變換為

式（5）就是離散小波變換（DWT），其輸出結(jié)果便是小波序列的系數(shù)djk，信號(hào)x（t）可用小波基函數(shù)和小波系數(shù)表示為

由小波標(biāo)架理論可知，當(dāng)小波基函數(shù)是一組正交基函數(shù)時(shí)，小波變換具有能量守恒性質(zhì)，即

此時(shí)，單一尺度下小波系數(shù)的平方和就定義為該尺度下的小波能量[5]。

信號(hào)總能量就為各尺度下小波能量之和

這樣，相對(duì)小波能量可定義為

因此，信號(hào)熵值的大小實(shí)際上反映了其概率分布的均勻性，即信號(hào)的概率分布越接近無(wú)序的分布，其熵值也就越大；反之其熵值就越小。如果把小波變換的系數(shù)矩陣處理成一個(gè)概率分布序列，則由它計(jì)算得到的熵值就反映了這個(gè)系數(shù)矩陣的稀疏程度，也就是信號(hào)概率分布的有序程度，這種熵就稱作小波熵。如果將（11）式中的P（ai）換成（10）式中反映某一段信號(hào)能量強(qiáng)度比例的相對(duì)小波能量pj，則小波熵可定義為：

3 基于小波熵的閾值確定法

對(duì)于加性噪聲模型，經(jīng)過(guò)正交小波變換后，能最大程度地去除有用信號(hào)的相關(guān)性，將能量集中在少數(shù)稀疏的、幅度相對(duì)較大的小波系數(shù)上。而噪聲對(duì)應(yīng)的小波系數(shù)仍然互不相關(guān)，并將分布在各個(gè)尺度下的所有時(shí)間軸上，且幅度不是很大。如果在小波變換的各個(gè)尺度下保留那些集中了有用信號(hào)大部分能量的少數(shù)小波系數(shù)，而將其他點(diǎn)置零，或最大程度地減小，再利用處理后的小波系數(shù)做小波逆變換，就可實(shí)現(xiàn)對(duì)噪聲的抑制。因此，小波閾值在去噪過(guò)程中起到了決定性的作用，將直接影響到小波去噪的效果。

令觀察信號(hào)為

式中，s（n）為有用信號(hào)；u（n）是噪聲。記xλ是對(duì)小波系數(shù)施加閾值λ后重建的信號(hào)，uλ是xλ中殘留的噪聲，即uλ=xλ-s。由xλ近似s所產(chǎn)生的“風(fēng)險(xiǎn)函數(shù)”定義為

式中，MSE是均方誤差，N是數(shù)據(jù)長(zhǎng)度。

文獻(xiàn)[6]和[7]證明了如果λMSE使E{R（λ）}為最小，則

式中，符號(hào)～表示漸進(jìn)等效，λMSE稱為基于均方誤差的最小風(fēng)險(xiǎn)閾值。由于實(shí)際工作中最小均方誤差很難估計(jì)，因此，通常使用通用閾值

在閾值的確定過(guò)程中，將每一個(gè)分解尺度的高頻信息量都看成是一個(gè)單獨(dú)的信號(hào)源，將每一層高頻小波系數(shù)分成n個(gè)相等的小區(qū)間，計(jì)算各個(gè)小區(qū)間的小波熵，選取熵值最大的那個(gè)小區(qū)間的中值作為該尺度下噪聲的方差，再根據(jù)（16）式計(jì)算出各個(gè)尺度下的閾值，實(shí)現(xiàn)基于小波熵的閾值自適應(yīng)選取。

3 基于小波熵的閾值確定法

采用艦船磁場(chǎng)仿真軟件生成一組探測(cè)距離413 m的航空磁性探潛試驗(yàn)數(shù)據(jù)，如圖1所示，從圖中可以看出，目標(biāo)信號(hào)完全被環(huán)境噪聲湮沒(méi)，無(wú)法進(jìn)行分辨。基于Meyer小波基函數(shù)對(duì)一組信號(hào)進(jìn)行5層的多尺度分析，得到的1～5層的細(xì)節(jié)信號(hào)，如圖2所示。從圖中可見(jiàn)，第1、2、3層細(xì)節(jié)信號(hào)的幅值較小，第4層細(xì)節(jié)信號(hào)的幅值有所增加，而第5層細(xì)節(jié)信號(hào)不但幅值增加，其包絡(luò)曲線構(gòu)成的低頻成分和艦船磁場(chǎng)信號(hào)已非常相似。分別計(jì)算各層小波的功率譜，如圖3所示。其中，第4、5層分解信號(hào)的功率譜值較大，集中在0.04 Hz～0.2 Hz的頻帶，主要成分是背景極低頻磁干擾譜；第5層信號(hào)譜集中在0.03 Hz左右，目標(biāo)信號(hào)包絡(luò)清晰可見(jiàn)。小波變換大大的提高了在0.5 Hz以下低頻段的頻率分辨率，且很好的將中心頻率各異的目標(biāo)信號(hào)和背景信號(hào)分開(kāi)來(lái)。但在0.05 Hz左右的位置信號(hào)疊加嚴(yán)重，必須選取合適的閾值進(jìn)行濾波，才可以濾除幅值較大的背景噪聲，提取目標(biāo)弱信號(hào)。圖4給出了基于不同閾值選取方法的小波去噪處理結(jié)果，其中（a）為采用固定軟閾值的小波去噪結(jié)果；（b）為采用SURE方法確定閾值的小波去噪結(jié)果；（c）為采用極大極小閾值的小波去噪結(jié)果；（d）為利用小波能量熵確定閾值方法的小波去噪結(jié)果。從圖中可以看出，基于小波能量熵的去噪結(jié)果明顯要由于其他三種方法。

圖1 目標(biāo)信號(hào)和觀測(cè)信號(hào)

圖2 目標(biāo)磁場(chǎng)信號(hào)5層Meyer小波分析

圖3 各層小波的功率譜分析

圖4 信號(hào)去噪結(jié)果

4 結(jié)束語(yǔ)

利用小波能量熵原理自適應(yīng)地確定小波系數(shù)閾值的小波去噪方法，能夠在較強(qiáng)背景噪聲下實(shí)現(xiàn)對(duì)水下目標(biāo)磁場(chǎng)信號(hào)的有效檢測(cè)，仿真結(jié)果表明，這種檢測(cè)方法能夠有效地提高信噪比，對(duì)水下目標(biāo)磁場(chǎng)信號(hào)位置進(jìn)行較為準(zhǔn)確的定位，有效地提取有用信息。

[1] 葉平賢, 龔沈光. 艦船物理場(chǎng)[M]. 北京:兵器工業(yè)出版社, 1992.

[2] D L Donoho and I M Johnstone. Journal of the american statistical association,1995,90（432）:1200.

[3] B K Alsberg,A M Woodward,M K Winson,et al.Analyst,1997,122（7）:645.

[4] 傅祖蕓. 信息論——基礎(chǔ)理論與應(yīng)用. 北京:電子工業(yè)出版社,2001;24-25.

[5] Svaldo A Rosso, Susana Blanco, et al. Wavelet entropy: a new tool for analysis of short duration brain electrical signals. Journal of Neuroscience Methods,2001;105:65—75.

[6] Donoho D L, Johnstone I M. Ideal de-noising in an orthogonal basis chosen from a library of bases. C R Acad Sci I-Math.1994,319:1317-1322.

[7] Jansen M. Noise reduction by wavelet three holding.New York: Springer-Verlag, 2001.

[8] 吳正國(guó), 夏立, 尹為民. 現(xiàn)代信號(hào)處理技術(shù)[M]. 武漢:武漢大學(xué)出版社,2002.

[9] 印欣運(yùn), 何永勇. 小波熵及其在狀態(tài)趨勢(shì)分析中的應(yīng)用[J]. 振動(dòng)工程學(xué)報(bào), 2004, 17（2）: 165-169.

[10] 張榮標(biāo), 胡海燕, 馮友兵. 基于小波熵的微弱信號(hào)檢測(cè)方法研究[J]. 儀器儀表學(xué)報(bào), 2007, 28（11）:2078-2084.