李尚生，宋亞平，殷 勇，叢 軍，陳如山

（1.海軍航空工程學(xué)院電子信息工程系，山東 煙臺(tái) 264001；2.91436部隊(duì)，廣西 柳州 545613；3.南京理工大學(xué)電光學(xué)院，南京 210094）

0 引言

矩量法（MOM）[1]求解體積分方程（VIE）在解決非均勻介質(zhì)的電磁散射問(wèn)題中應(yīng)用非常廣泛，它是一種嚴(yán)格的數(shù)值方法，其計(jì)算結(jié)果精度高，但同時(shí)具有未知量大的缺點(diǎn)。假設(shè)它離散所得的SWG基函數(shù)[2]個(gè)數(shù)為N，那么它需要占用O (N2)的內(nèi)存，并且通過(guò)迭代解法需要執(zhí)行 O (N2)次矩陣矢量乘的操作。因此，用傳統(tǒng)的矩量法很難求解電大尺寸目標(biāo)的電磁散射問(wèn)題。

本文將體積分方程方法與重疊型區(qū)域分解法（ODDM）[3]結(jié)合，得到改進(jìn)的體積分方程方法（VIE-ODDM），這種分區(qū)域求解的方法能夠減少每次求解時(shí)的未知量，從而可以減少計(jì)算機(jī)占用內(nèi)存。另外，由于每個(gè)子域邊界的電流奇異性得到有效地抑制，因而外迭代過(guò)程能夠很快地收斂，大大減少了計(jì)算時(shí)間，特別是在解決電大尺寸的問(wèn)題上這些優(yōu)點(diǎn)更加突出。

1 VIE-ODDM 基本原理

用體極化電流J表示體積分方程如下：

用矩量法求解上式都將轉(zhuǎn)化為求解一個(gè)矩陣方程：ZD=V。對(duì)于電大結(jié)構(gòu)，阻抗矩陣Z的逆矩陣的計(jì)算幾乎不可能實(shí)現(xiàn)，取而代之用迭代法求解，本文所采用的迭代算法是最小余量法（GMRES）[4]。

區(qū)域分解法（DDM）把整個(gè)計(jì)算區(qū)域Ωi分解成若干個(gè)子區(qū)域 Ωi,i=1,…,M，相應(yīng)的Z 則被分裂為若干小塊矩陣，然后分別求解各個(gè)子對(duì)角塊矩陣方程，再通過(guò)迭代方法得到整個(gè)矩陣方程的解。由于每次只需對(duì)其中的一個(gè)塊矩陣進(jìn)行處理，所以降低了內(nèi)存的消耗，當(dāng)然因?yàn)橐ㄟ^(guò)迭代法得到整個(gè)矩陣方程的解，計(jì)算時(shí)間往往會(huì)變長(zhǎng)。如果在并行機(jī)上進(jìn)行并行計(jì)算，計(jì)算效率將會(huì)得到提高，也可以通過(guò)預(yù)條件技術(shù)來(lái)減少迭代次數(shù)和計(jì)算時(shí)間[5]。

在積分方法中運(yùn)用DDM時(shí)，為抑制子區(qū)邊界處電流的奇異性，保證收斂性并提高迭代算法收斂速度，在求解某一子域Ωi時(shí)，在該子區(qū)的所有相鄰子區(qū)內(nèi)增加緩沖區(qū)Ωb(i)[6]，然后將擴(kuò)展子區(qū)Ω ′i=Ωi+Ωb(i)作為整個(gè)求解區(qū)域來(lái)計(jì)算電流，而后遺棄緩沖區(qū)的電流并保留子區(qū)的電流，該方法即為重疊型區(qū)域分解法。

根據(jù)上述原理，可建立子區(qū)之間積分迭代公式，定義兩個(gè)關(guān)于體極化電流J的線性算子，對(duì)于體積分方程(1)

從矩陣角度看，式(4)可表示為矩陣迭代公式：

式中：Zii、Zij、Zb(i)i、Zb(i)b(i)分別表示 Ωi內(nèi)基函數(shù)的自作用，Ωj內(nèi)基函數(shù)對(duì) iΩ 內(nèi)基函數(shù)的作用，iΩ 內(nèi)基函數(shù)對(duì)Ωb(i)內(nèi)基函數(shù)的作用，Ωb(i)內(nèi)基函數(shù)的自作用；另外的意義見(jiàn)文獻(xiàn)[7]。

由于對(duì)應(yīng)相鄰子區(qū)域的矩陣子塊和向量可能重疊，迭代式(5)實(shí)際上是變形的Gauss-Seidal 迭代公式。在整個(gè)求解過(guò)程中涉及到兩重迭代：內(nèi)迭代和外迭代。求解子域的迭代稱為內(nèi)迭代，每求解完一次所有子區(qū)域稱為一次外迭代。一次外迭代中的內(nèi)迭代把所有區(qū)域的電流依次更新一次。

2 VIE-ODDM計(jì)算復(fù)雜度分析

設(shè)總未知量為N，為方便起見(jiàn)，設(shè)每個(gè)子區(qū)域的未知數(shù)個(gè)數(shù)均為其中Nb為緩沖區(qū)電流系數(shù)的平均數(shù)目。由于總的系數(shù)矩陣Z和子矩陣均為滿矩陣，迭代求解這兩種矩陣方程所需內(nèi)存分別是ηN2和ξNi2，設(shè)VIE-ODDM法的外迭代總共需要?步。則VIE-ODDM的內(nèi)迭代所需內(nèi)存為：

式(5) 右端的矩陣向量積所需內(nèi)存為Ni?(N?Ni)，故VIE-ODDM 外迭代所需內(nèi)存為：

當(dāng)總的系數(shù)矩陣規(guī)模一定時(shí)，VIE-ODDM 迭代方式的計(jì)算量主要由來(lái)決定。

依算例來(lái)看，? 一般取3就可得到足夠精度的雷達(dá)散射截面。因此，當(dāng)M 大于3和ξ 小于η，VIE-ODDM 迭代算法的計(jì)算量就可減少，計(jì)算效率就能得到提高。

3 數(shù)值算例

所有算例均設(shè)定為：入射波為頻率為300 MHz的平面波，極化方向與X軸平行，入射方向?yàn)?Z方向。

算例1：計(jì)算一個(gè)半徑為0.20λ的介質(zhì)球的RCS，相對(duì)介電常數(shù)為3，整個(gè)介質(zhì)球的SWG 單元個(gè)數(shù)為1 884。將其分為4個(gè)子區(qū)，見(jiàn)圖1。

圖1 半徑為0.2λ0的介質(zhì)球

將VIE-ODDM 求解的結(jié)果與MIE級(jí)數(shù)[8]進(jìn)行比較，圖2中顯示數(shù)據(jù)吻合較好，從而驗(yàn)證了VIEODDM的正確性。

圖2 介質(zhì)球的RCS

算例2：計(jì)算一個(gè)由3種介質(zhì)材料構(gòu)成的長(zhǎng)方體的RCS，采用VIE和VIE-ODDM算法，長(zhǎng)方體的SWG個(gè)數(shù)都為3 684。目標(biāo)結(jié)構(gòu)和材料參數(shù)分別見(jiàn)圖3。

圖33 種介質(zhì)材料的長(zhǎng)方體

分別利用VIE和VIE-ODDM 程序計(jì)算該目標(biāo)的雙站RCS，結(jié)果見(jiàn)圖4。

圖4 介質(zhì)長(zhǎng)方體的RCS

由圖4可見(jiàn)，VIE 程序和VIE-ODDM 程序計(jì)算出來(lái)的結(jié)果相當(dāng)吻合，見(jiàn)表1。

表1 相對(duì)余量誤差與迭代次數(shù)的函數(shù)關(guān)系

VIE 經(jīng)過(guò)25次迭代過(guò)程，精度達(dá)到9.088×10-4，迭代時(shí)間為6.9 s，而VIE-ODDM 只經(jīng)過(guò)4次外迭代過(guò)程，就達(dá)到收斂精度，迭代時(shí)間為5.5 s。采用VIE時(shí)，所需內(nèi)存為103 M，而在VIE-ODDM中，求解第2個(gè)子區(qū)時(shí)所需的內(nèi)存最大，為44 M，只相當(dāng)于采用VIE 所需內(nèi)存的42.718%。

4 結(jié)論

算例1顯示VIE-ODDM的計(jì)算結(jié)果與解析解吻合較好，從而保證了VIE-ODDM在解決電磁散射問(wèn)題中的有效性。算例2證明，VIE-ODDM相比于VIE在計(jì)算中占用更少的內(nèi)存，并且通過(guò)對(duì)兩者在迭代次數(shù)和迭代時(shí)間上的比較，進(jìn)一步證明VIE-ODDM外迭代過(guò)程具有更快的收斂速度。

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