張海燕, 張衛(wèi)國(guó), 李韶偉, 楊 劉

(上海理工大學(xué)理學(xué)院,上海 200093)

1 問(wèn)題的提出

廣義對(duì)稱(chēng)正則長(zhǎng)波方程為

當(dāng)b2=1/2,b3=0時(shí),方程(1)成為對(duì)稱(chēng)正則長(zhǎng)波方程

方程(2)是用于描述弱非線(xiàn)性作用下等離子聲波傳播的數(shù)學(xué)模型[1],它也出現(xiàn)在其他的許多非線(xiàn)性數(shù)學(xué)物理問(wèn)題中[2].文獻(xiàn)[1-2]給出了方程(2)的孤波解、守恒律和孤波解間的相互作用.關(guān)于方程(2)整體解和數(shù)值解方面的研究結(jié)果可參見(jiàn)文獻(xiàn)[3 -5].文獻(xiàn)[6]求出了方程(1)及一類(lèi)更廣義的對(duì)稱(chēng)正則長(zhǎng)波方程的精確孤波解.文獻(xiàn)[7]討論了廣義對(duì)稱(chēng)正則長(zhǎng)波方程

孤波解的軌道穩(wěn)定性和不穩(wěn)定性.文中假設(shè) f∈C1,當(dāng)s＞0時(shí),f(s)＞0,且當(dāng)s→0時(shí),｜f(s)｜= o(｜s｜p),｜f′(s)｜=o(｜s｜p-1),p＞1,而且其假設(shè)1中要求所考慮的孤波解(φc,ψc)T中的 φc＞0.(?,?)T表示轉(zhuǎn)置運(yùn)算,以下相同.

本文研究廣義對(duì)稱(chēng)正則長(zhǎng)波方程(1)孤波解的軌道穩(wěn)定性.若將所研究的方程(1)化為方程(3)的形式,則f(u)=b2u2+b3u3,這里f(u)的表達(dá)式中有兩個(gè)非線(xiàn)性項(xiàng),且b2,b3不取定符號(hào),故所研問(wèn)題沒(méi)有被包含于文獻(xiàn)[7]中.而且由定理1可知,方程(1)實(shí)際上有兩個(gè)鐘狀孤波解(φi,ψi)T,i=1, 2,其中,φ1(ξ)＞0,φ2(ξ)＜0,本文也將討論(φ2, ψ2)T的軌道穩(wěn)定性.故本文所研問(wèn)題是新的且有意義的.

2 方程(1)的鐘狀孤波解及柯西問(wèn)題解的局部存在性

根據(jù)文獻(xiàn)[6],方程(1)的孤波解

滿(mǎn)足

其中,u′(ξ),u″(ξ)→0,｜ξ｜→∞,且孤波解的精確表達(dá)式由定理1給出.

定理1 設(shè)c2-1＞0.

a.若b3c＞0或b3=0且b2c＞0,則廣義對(duì)稱(chēng)正則長(zhǎng)波方程(1)有一個(gè)鐘狀孤波解

b.若b3c＞0或b3=0且b2c＜0,則廣義對(duì)稱(chēng)正則長(zhǎng)波方程(1)還有一個(gè)鐘狀孤波解

現(xiàn)利用半群理論研究方程(1)柯西問(wèn)題解的局部存在性.首先給出兩個(gè)引理[8-9].

引理1 一個(gè)線(xiàn)性無(wú)界算子 A是C0半群{T(t):t≥0}的無(wú)窮小生成元的充分必要條件是A為稠定的閉算子,且存在實(shí)數(shù)M與ω,使當(dāng)λ＞ω時(shí),有

其中,ρ(A)為預(yù)解集,R(λ;A)n為預(yù)解式.

引理2 對(duì)非線(xiàn)性方程的柯西問(wèn)題

a.A是空間X上的某個(gè)C0半群T(t)的無(wú)窮小生成元;

b.f∈C(R+×X,X)滿(mǎn)足Lipschiz條件:對(duì)?T＞0,存在K=K(t),使‖f(t,u)-f(t,v)‖≤K(t)‖u-v‖,?u,v∈X,t∈[0, T],則初值問(wèn)題(6)在R+上存在唯一解

根據(jù)引理1與引理2可以推出關(guān)于方程(1)柯西問(wèn)題解的局部存在性的引理3.

證明 首先可將方程(1)化為

其中

現(xiàn)證明A是空間X上的某個(gè)(C0)半群的無(wú)窮小生成元,且D(A)=H1×L2.

據(jù)引理1可知,只要證明存在實(shí)數(shù) ω,使得當(dāng)λ＞ω且λ∈ρ(A)時(shí),有

由式(10)可知

根據(jù)式(11)可知

綜上,據(jù)引理1和引理2即知引理3成立.

3 孤波解軌道穩(wěn)定的一般性結(jié)論

首先將方程(1)化為Hamilton系統(tǒng)

其中

設(shè)在空間X=H1(R)×L2(R)上有內(nèi)積

X的對(duì)偶空間為X*=H-1(R)×H-1(R).X與X*間存在自然同構(gòu)I:X→X*,定義為其中,〈?,?〉表示X與X*之間的配對(duì)

設(shè)T是X上具有單參數(shù)的酉算子群,定義為

顯然

易知

方程(1)的孤波解式(4b)、式(5)可表為

式中,φ1(x),φ2(x)分別由式(4b)、式(5b)給出.現(xiàn)考慮孤立波解T(ct)(x)的軌道穩(wěn)定性.為不重復(fù),取定(x)為(x)和(x)之一.驗(yàn)證T(ct)(x)滿(mǎn)足Grillakis-Shatah-Strauss提出的軌道穩(wěn)定性理論[10-11]的條件.

首先,由引理3可知,方程(1)的初值問(wèn)題存在唯一解,且易證由式(14)、式(18)定義的E()、Q()分別滿(mǎn)足

其次,可證引理4.

對(duì)式(19)兩邊積分,得

式中,a1,a2為積分常數(shù).

由于 φc、ψc、φcξ ξ→0,當(dāng)｜ξ｜→∞時(shí),故有a1= 0,a2=0,從而有

現(xiàn)考慮算子Hc,并進(jìn)行譜分析.

算子Hc:X→X*定義為,這里

故有

由式(19)可得

整理得

令

根據(jù)文獻(xiàn)[10-11]可得引理5.

引理5 對(duì)滿(mǎn)足〈y,χ〉=〈y,φcx〉=0的任意實(shí)函數(shù)y∈H1(R),存在δ＞0,使得

令

有

令

有

令

則

綜上所述,當(dāng)c＞1時(shí),可對(duì)Hc譜分解為

因此,空間X可分解為直和X=N+Z+P,其中,Z為Hc的核空間,N為一個(gè)有限維空間,P為一個(gè)閉子空間.

于是,由引理3～5,以及對(duì) Hc的譜分析,可得關(guān)于廣義對(duì)稱(chēng)正則長(zhǎng)波方程(1)孤波解軌道穩(wěn)定的一般性結(jié)論.

4 孤波解軌道穩(wěn)定性的充分條件

4.1 關(guān)于軌道穩(wěn)定的判別式

首先將式(23)化為顯式且化簡(jiǎn).據(jù)定理1中式(4)和式(5)可知,將它代入式(23),再作代換則有

由于-2＜Bi＜0,解出中的積分,并代入原式,可得

當(dāng)Bi=B1時(shí)

當(dāng)Bi=B2時(shí)

化簡(jiǎn),得

其中

進(jìn)一步,設(shè)

則式(25)可等價(jià)表示為

式(26)可等價(jià)表示為

4.2 關(guān)于M1與M2的討論

令g(x)=x(π-2arctan x),有

g(x)在x0處取極大值,這里x0滿(mǎn)足g′(x0)=0,有

b.對(duì)于M2.當(dāng)b2＞0時(shí),有 x∈(0,+∞), M2∈(0,+∞).當(dāng)b2＜0,則

與考察M1時(shí)同理,可證M2∈(-2,0).

4.3 2c-k2＞0時(shí)孤波解軌道穩(wěn)定的充分條件

基于d″i(c)的顯式表達(dá)式(30)、式(31)和關(guān)于其中M1、M2的討論,現(xiàn)給出較為容易判別孤波解和軌道穩(wěn)定的充分性條件.

當(dāng)b2＞0時(shí),為得到c滿(mǎn)足何種條件時(shí)d″1(c)＞0,只需考慮在式(30)中取M1=2時(shí), d″1(c)＞0的條件.現(xiàn)在式(30)中取M1=2,通分并注意此時(shí)分母恒正,可知當(dāng)c的取值滿(mǎn)足

當(dāng)b2＜0時(shí),式(30)中-3M1(2c-k2)＞0.為使d″1(c)＞0,即孤波解軌道穩(wěn)定,只需取c滿(mǎn)足

當(dāng)b2＞0時(shí),因此時(shí)有M2∈(0,+∞),為使d″2 (c)＞0,只需取c滿(mǎn)足式(33).

當(dāng)b2＜0時(shí),因此時(shí)有M2∈(-2,0),為使d″2(c)＞0,只需考慮在式(31)中取M2=-2時(shí)d″2(c)＞0的條件,易知只需取c滿(mǎn)足不等式(32).

綜上可得定理3.

a.若b2＞0,且波速c使不等式(32)成立,或當(dāng)b2＜0時(shí),波速c使不等式(33)成立,則孤波解軌道穩(wěn)定.

b.若b2＞0,且波速c使不等式(33)成立,或當(dāng)b2＜0時(shí),波速c使不等式(32)成立,則孤波解軌道穩(wěn)定.

4.4 2c-k2＜0時(shí)孤波解軌道穩(wěn)定的充分條件

當(dāng)b2＞0時(shí),因此時(shí)式(30)中-3M1(2c-k2)＞0,為使d″1(c)＞0,只需考慮取M1=0時(shí)d″1(c)＞0的條件.易知當(dāng)c滿(mǎn)足式(32)時(shí),d″1(c)＞0,從而孤波解軌道穩(wěn)定.

當(dāng)b2＜0時(shí),因此時(shí)式(31)中3M2(2c-k2)＞0,為保證d″2(c)＞0,只需考慮取M2=0時(shí) d″2(c)＞0的條件.易知此時(shí)只需取c滿(mǎn)足式(33), d″2(c)＞0即成立,從而孤波解軌道穩(wěn)定.

綜上可得定理4.

5 結(jié)束語(yǔ)

研究了具兩個(gè)非線(xiàn)性項(xiàng)的廣義對(duì)稱(chēng)正則長(zhǎng)波方程(1)孤波解的軌道穩(wěn)定性.應(yīng)用文獻(xiàn)[10-11]中提出的軌道穩(wěn)定性理論,經(jīng)過(guò)方程解的局部存在性證明、有界態(tài)存在的證明以及算子Hc的譜分析與計(jì)算,給出了判別方程(1)孤波解軌道穩(wěn)定的一般性定理.利用所求方程(1)的兩個(gè)精確孤波解(φi,ψi)T, i=1,2,給出了判斷它們軌道穩(wěn)定的判別式d″i(c)的顯式表達(dá)式.進(jìn)一步利用分析方法導(dǎo)出了較為容易判別這兩個(gè)孤波解(φi,ψi)T軌道穩(wěn)定的充分條件——定理3和定理4.

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