胡開業(yè)，丁勇，王宏偉，李積德

(哈爾濱工程大學(xué) 船舶工程學(xué)院，黑龍江 哈爾濱 150001)

傾覆是造成船舶嚴(yán)重事故的重要原因之一，歷來受到造船界的極大關(guān)注.作為研究船舶傾覆的一種觀點(diǎn)，從非線性動(dòng)力系統(tǒng)穩(wěn)定性的角度來研究船舶在波浪中的傾覆機(jī)理，已經(jīng)引起了船舶科學(xué)工作者的廣泛重視［1-4］.根據(jù)非線性動(dòng)力學(xué)理論，除了局部分岔外，全局分岔也是導(dǎo)致系統(tǒng)穩(wěn)定性喪失的途徑之一［5］.

迄今為止，Melnikov方法是研究確定性動(dòng)力系統(tǒng)全局穩(wěn)定性的一種相當(dāng)行之有效的方法，它通過構(gòu)造系統(tǒng)的Melnikov函數(shù)，求解該函數(shù)的一階零點(diǎn)來確定系統(tǒng)失穩(wěn)時(shí)系統(tǒng)參數(shù)的閾值.Melnikov方法簡單易行，而且還有可能解析求解，因此得到了廣泛的應(yīng)用.目前采用Melnikov方法對船舶在波浪中的全局分岔及穩(wěn)定性的研究，多集中在研究外激勵(lì)是規(guī)則波作用下的情況，如McCue等［3］、袁遠(yuǎn)等［4］、王迎光等［6］的研究工作，他們利用Melnikov方法對船舶在規(guī)則橫浪作用下的全局穩(wěn)定性進(jìn)行了細(xì)致地研究，求解出了規(guī)則波中導(dǎo)致船舶出現(xiàn)混沌運(yùn)動(dòng)的外激勵(lì)閾值.船舶在隨機(jī)波浪中的運(yùn)動(dòng)穩(wěn)定性的研究由于外激勵(lì)的隨機(jī)性使得分析和處理變得復(fù)雜，現(xiàn)有的研究多將外激勵(lì)簡化為白噪聲［7-8］，采用概率密度函數(shù)研究船舶在白噪聲激勵(lì)下的隨機(jī)橫搖運(yùn)動(dòng)，然而實(shí)際的海浪則是具有有限的譜寬和給定的譜密度函數(shù)［9］，即為一有色噪聲，顯然白噪聲模型與實(shí)際情況并不相符.

該文采用隨機(jī)Melinikov方法對船舶在隨機(jī)橫浪中的全局穩(wěn)定性進(jìn)行了研究.研究了船舶在窄帶隨機(jī)噪聲激勵(lì)下的隨機(jī)橫搖運(yùn)動(dòng)，采用Melinikov均方準(zhǔn)則確定系統(tǒng)混沌運(yùn)動(dòng)的臨界參數(shù)條件，并用安全池法驗(yàn)證了噪聲強(qiáng)度超過臨界值時(shí)的船舶運(yùn)動(dòng)特性.

1 船舶在隨機(jī)橫浪作用下的橫搖運(yùn)動(dòng)模型

假設(shè)橫搖運(yùn)動(dòng)與其它運(yùn)動(dòng)方式不耦合，則船舶在隨機(jī)橫浪作用下的單自由度橫搖運(yùn)動(dòng)微分方程可寫為

式中:I44為船舶橫搖慣性矩;A44為附加慣性矩;B44為船舶橫搖線性阻尼系數(shù);B44q為船舶橫搖非線性阻尼系數(shù);Δ為排水量;W(τ)為隨機(jī)橫浪激勵(lì)引起的力矩為船舶的靜穩(wěn)性臂，采用曲線擬合法可得

對于隨機(jī)橫浪外激勵(lì)項(xiàng)W(τ)，目前有一些學(xué)者采用白噪聲模型的簡化方法，這種模型雖然在計(jì)算和分析處理時(shí)較為方便，但由于白噪聲模型具有無限譜寬，而實(shí)際海況下隨機(jī)波浪激勵(lì)是一窄帶隨機(jī)過程，顯然白噪聲模型并不能很好的模擬船舶在隨機(jī)橫浪中所受到的實(shí)際外激勵(lì)，雖然白噪聲可通過濾波器過濾后變?yōu)橐挥猩肼?，但增加濾波器后卻大大增加了這一隨機(jī)非線性系統(tǒng)的分析和求解的難度.該文通過計(jì)算分析發(fā)現(xiàn)，采用一種有界隨機(jī)噪聲模型可以模擬船舶在隨機(jī)橫浪中所受的隨機(jī)外激勵(lì)，無需增加濾波器即可直接分析船舶在該有界噪聲下的隨機(jī)運(yùn)動(dòng)特性.采用有界隨機(jī)噪聲法不僅可以較好的模擬出船舶在隨機(jī)波浪中所受的隨機(jī)外激勵(lì)，對該隨機(jī)系統(tǒng)的穩(wěn)定性分析也變得較容易，下面介紹該有界噪聲模型.

該有界噪聲是一個(gè)具有隨機(jī)頻率與相位的協(xié)和函數(shù)［10］，其幅值為常數(shù)，表示為

式中:Ω表示中心頻率，σ表示頻率的隨機(jī)擾動(dòng)強(qiáng)度，B(τ)是標(biāo)準(zhǔn)Wiener過程，Γ是在［0，2π)上均勻分布的隨機(jī)相位.

ξ(τ)的譜密度為

船舶在隨機(jī)橫浪中所受的隨機(jī)外激勵(lì)W(τ)主要由于隨機(jī)波浪作用于船體產(chǎn)生的，對于隨機(jī)波浪一般采用波能譜的形式進(jìn)行描述，目前已有多種形式的波能譜表達(dá)式［9］，如紐曼譜、P-M譜、ITTC單參數(shù)及雙參數(shù)譜、JONSWAP譜等，不同的波能譜公式均為對某一特定海域海浪能量分布的近似，其結(jié)果是有一定差別的，因而不同波能譜公式均有一定的適用范圍，但不同形式的波能譜均屬窄帶譜，通過調(diào)整參數(shù)，均可被該有界噪聲模型近似模擬.以P-M譜為例，通過計(jì)算可以發(fā)現(xiàn)，式(4)所描述的有界噪聲模型的譜密度即可近似模擬P-M譜，圖1是σ= 0.64，Ω=0.57時(shí)有界噪聲譜密度曲線與有義波高為5 m時(shí)的P-M譜的譜密度比較圖，從該圖可以看出，在隨機(jī)波浪所在的主要頻率區(qū)間，隨機(jī)噪聲譜與波能譜曲線吻合良好，雖然在波浪頻率較小時(shí)，隨機(jī)噪聲譜密度值較波能譜值偏差較大，但由于該頻率段在實(shí)際波浪中出現(xiàn)的概率較小，因此將船舶在隨機(jī)波浪中所受到的隨機(jī)波浪外激勵(lì)W(τ)考慮為式(3)所描述的有界噪聲模型在實(shí)際應(yīng)用中還是具有較高精度的.

圖1 有界噪聲譜與P-M譜Fig.1 Bounded noise spectrum and P-M spectrum

將式(1)中隨機(jī)橫浪外激勵(lì)項(xiàng)W(τ)改寫為有界噪聲ξ(τ)的形式，則式(1)改為

式中:d為噪聲強(qiáng)度，當(dāng)ψ=0時(shí)，則方程(5)成為規(guī)則波作用下船舶橫搖運(yùn)動(dòng)非線性微分方程.將式(5)無因次處理后，得

式中:x=φ，t=ω0τ，ω0

2 隨機(jī)Melnikov均方準(zhǔn)則

Melnikov方法是基于攝動(dòng)分析給出受到小擾動(dòng)的可積系統(tǒng)出現(xiàn)橫截同宿(異宿)軌道的解析條件，作為預(yù)測系統(tǒng)出現(xiàn)混沌運(yùn)動(dòng)的必要條件.由龐加萊理論［5］知，如果Melnikov函數(shù)有簡單零點(diǎn)，則系統(tǒng)穩(wěn)定流形與不穩(wěn)定流形橫截相交，一旦相交就有無數(shù)次相交，吸引子的相空間發(fā)生形變，不停地伸縮與折疊，從而產(chǎn)生Smale馬蹄意義下的混沌.對于隨機(jī)系統(tǒng)，需要從概率或統(tǒng)計(jì)意義上討論隨機(jī)Melnikov過程是否具有簡單零點(diǎn)，因而有隨機(jī)Melnikov均方準(zhǔn)則［10］.

對于噪聲擾動(dòng)下的單自由度哈密頓系統(tǒng)，其運(yùn)動(dòng)方程為

式中:H=P2/2+U(q)，ξ(t)是隨機(jī)外激勵(lì).設(shè)相應(yīng)的哈密頓系統(tǒng)有一個(gè)被同宿軌道(q0(t)，p0(t))連接的雙曲鞍點(diǎn).則式(7)的Melnikov過程為

式中:Q=q0(t)，P=p0(t).鑒于E［ξ(t)］=0，隨機(jī)Melnikov過程的均值為

顯然，當(dāng)c(Q，P)＞0時(shí)，隨機(jī)Melnikov過程在均值意義上不可能有簡單零點(diǎn)，從而系統(tǒng)(7)在均值意義上不可能出現(xiàn)混沌.隨機(jī)Melnikov的均方值為

式中:

式(12)中的積分:

是一個(gè)卷積分，其中:

可看成一個(gè)脈沖響應(yīng)函數(shù).因此

式中:H(ω)是h(t)的Fourier變換，即頻率響應(yīng)函數(shù)，Sξ(ω)為ξ(t)的譜密度.隨機(jī)Melnikov過程在均方意義上有簡單零點(diǎn)的條件，即系統(tǒng)出現(xiàn)混沌的準(zhǔn)則為

下面利用該準(zhǔn)則來分析船舶在隨機(jī)橫浪中的全局穩(wěn)定性，將式(6)改寫成形如式(7)的2個(gè)一階微分方程的形式:

方程(17)是一個(gè)可積Hamilton系統(tǒng)，對于無擾動(dòng)的系統(tǒng)ε=0，有

解上述微分方程，可得

式中:“+”代表異宿軌線的正軸部分，“－”代表異宿軌線的負(fù)軸部分，這條軌線是區(qū)分船舶靜水中安全與傾覆的界限.

式(17)的隨機(jī)Melnikov函數(shù)為

由式(11)得

由式(14)、(19)可得

將式(4)、(23)代入式(15)，即可計(jì)算出

3 算列分析

以一Patti-B型船為例［11］，計(jì)算該船在隨機(jī)橫浪中的全局穩(wěn)定性，該船船型參數(shù)見表1.

表1 Patti-B型船船型參數(shù)Table 1 List of parameters for Patti-B

根據(jù)表1的參數(shù)，計(jì)算可得方程(6)的系數(shù)為εδ1=0.003 7，εδ2=0.067 2，α=3.135 5.由式(22)、(24)可確定出σ2d和σ2z，代人到式(16)隨機(jī)Melnikov均方準(zhǔn)則，即可計(jì)算出該型船均方意義上的簡單零點(diǎn)條件為d1=0.005 6.即該船在有界噪聲激勵(lì)幅值小于0.005 6時(shí)運(yùn)動(dòng)穩(wěn)定，而有界噪聲激勵(lì)幅值大于0.005 6時(shí)該船可能會出現(xiàn)不穩(wěn)定的混沌運(yùn)動(dòng)，影響船舶的安全性.

由于Melnikov函數(shù)具有簡單零點(diǎn)只是隨機(jī)非線性系統(tǒng)出現(xiàn)混沌運(yùn)動(dòng)的必要條件而不是充分條件，為驗(yàn)證該方法的正確性，分別選取有界噪聲幅值小于混沌臨界值和大于混沌臨界值的激勵(lì)，計(jì)算系統(tǒng)的安全池［12］來分析其隨機(jī)運(yùn)動(dòng)特性.圖2是當(dāng)有界噪聲激勵(lì)幅值d1=0.005時(shí)的安全池，從圖2可以看出，當(dāng)有界噪聲激勵(lì)幅值小于臨界值時(shí)，系統(tǒng)具有完整的安全池，說明此時(shí)的船舶運(yùn)動(dòng)是安全的，而當(dāng)有界噪聲激勵(lì)幅值d1=0.007超過臨界值時(shí)，系統(tǒng)的安全池出現(xiàn)破損(見圖3)，說明此時(shí)船舶的運(yùn)動(dòng)是不安全的.

假設(shè)某船具有較大的阻尼系數(shù)，其εδ1=0.006，通過式(16)的計(jì)算可得其均方意義上的簡單零點(diǎn)條件為d1=0.006 1，對比Patti-B型船的計(jì)算數(shù)據(jù)可以看出，增大船舶阻尼可以增加船舶航行的安全域.

圖2 安全池(d1=0.005)Fig.2 Safe basin for d1=0.005

圖3 安全池(d1=0.007)Fig.3 Safe basin for d1=0.007

4 結(jié)論

該文從非線性隨機(jī)動(dòng)力系統(tǒng)分岔的角度來探索船舶在隨機(jī)波浪中的奇異傾覆機(jī)理，通過隨機(jī)Melnikov對有界噪聲激勵(lì)下船舶隨機(jī)橫搖運(yùn)動(dòng)的全局穩(wěn)定性進(jìn)行了分析，得到了導(dǎo)致船舶運(yùn)動(dòng)穩(wěn)性喪失的外激勵(lì)閾值，該文的研究表明:

1)可以采用有界噪聲模型近似模擬船舶在隨機(jī)橫浪中實(shí)際所受到的外激勵(lì);

2)船舶在隨機(jī)橫浪中航行時(shí)，在隨機(jī)激勵(lì)幅值超過某一臨界值時(shí)，即會產(chǎn)生不穩(wěn)定的橫搖運(yùn)動(dòng)而導(dǎo)致船舶傾覆，隨機(jī)激勵(lì)幅值的大小反映了船舶所在海域的惡劣程度，因此船舶應(yīng)盡量避免在惡劣海況下行駛;

3)增加船舶的阻尼可以提高船舶航行的安全域.

該文的研究可為船舶在隨機(jī)海浪中的安全營運(yùn)提供參考.

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