李明軍，楊國東

(1.鐵道第三勘察設(shè)計院集團(tuán)有限公司航遙測繪分院，天津 300251； 2.吉林大學(xué)地球探測科學(xué)與技術(shù)學(xué)院，吉林長春 130026)

帶狀廣域高程擬合方法的探討

李明軍1?，楊國東2

(1.鐵道第三勘察設(shè)計院集團(tuán)有限公司航遙測繪分院，天津 300251； 2.吉林大學(xué)地球探測科學(xué)與技術(shù)學(xué)院，吉林長春 130026)

結(jié)合高速鐵路建設(shè)中C級GPS控制網(wǎng)和二等水準(zhǔn)數(shù)據(jù)，對石鄭客運(yùn)專線沿線143 km帶狀區(qū)域，分別構(gòu)建多面函數(shù)模型、二次多項式和EGM2008重力場模型進(jìn)行高程擬合分析。在特定區(qū)域，確定帶狀廣域高程擬合最佳模型，驗證獲取厘米級甚至更高精度的正常高，以滿足鐵路工程、公路工程以及其他帶狀工程施工要求的可行性。

高程擬合模型；正常高；大地高；高程異常

1 引 言

隨著科學(xué)技術(shù)的不斷發(fā)展，GPS定位技術(shù)已廣泛用于各種工程平面控制測量，其平面控制精度已可達(dá)到10－9數(shù)量級上[1]。但由于參考橢球體與似大地水準(zhǔn)面之間的關(guān)系難于準(zhǔn)確確定，致使GPS大地高同水準(zhǔn)高轉(zhuǎn)換模型中高程異常無法用帶有固定參數(shù)的數(shù)學(xué)模型精確求解。造成了GPS高程在實際工程應(yīng)用中，利用率相對比較低，甚至出現(xiàn)不被利用的現(xiàn)象。為此，本文以石鄭客運(yùn)專線為例，采用數(shù)學(xué)模型構(gòu)建C級GPS控制網(wǎng)與二等水準(zhǔn)數(shù)據(jù)之間的關(guān)系，分幾個方案研究帶狀區(qū)域高程擬合方法，以獲取高精度高程異常，減少外業(yè)水準(zhǔn)工作量，從而提高大地高的利用率，進(jìn)而提出鐵路工程、公路工程以及其他廣域帶狀工程最佳高程擬合方式。

2 高程擬合原理

高程擬合是指根據(jù)測區(qū)內(nèi)若干個既進(jìn)行了GPS測量又聯(lián)測了水準(zhǔn)高程的控制點，利用大地高、水準(zhǔn)高和高程異常之間關(guān)系:

(式中，H為大地高，H正常為地面點沿正常重力垂線到似大地水準(zhǔn)面的距離－正常高，也就是這里說的水準(zhǔn)高。)推算出各點上的高程異常值，利用這些離散點上的高程異常值和GPS點的平面坐標(biāo)之間存在的關(guān)系，構(gòu)建測區(qū)內(nèi)高程擬合隨坐標(biāo)不斷變化的數(shù)學(xué)模型，從而可以根據(jù)控制點坐標(biāo)計算出未知點上的高程異常，實現(xiàn)橢球高向正常高的轉(zhuǎn)換。高程異常值和GPS點的平面坐標(biāo)之間存在的關(guān)系可由以下方程式表示:

ξ(x，y)為GPS測點的高程異常值，x，y為測點坐標(biāo)，α為待定參數(shù)。f(x，y，α)為所選的函數(shù)模型。選擇一定的函數(shù)模型，利用已知量和推求出待定參數(shù)，可得到該測區(qū)似大地水準(zhǔn)面的一個逼近，從而可以內(nèi)插出其余GPS點的正常高值[2]。

3 高程異常解算模型

3.1 多項式模型

似大地水準(zhǔn)面的擬合也可采用一次或多次曲面擬合法，即對于公共點上的高程異常與平面坐標(biāo)之間存在以下數(shù)學(xué)關(guān)系:

一般根據(jù)聯(lián)測水準(zhǔn)的GPS點的個數(shù)來選取多項式的模型，比如當(dāng)聯(lián)測水準(zhǔn)的GPS點的個數(shù)n＝3，4，5時，可選用一次多項式，6以上可以選用二次或更高次多項式。但一般需要擬合的大地水準(zhǔn)面區(qū)域較小，不會進(jìn)行大量水準(zhǔn)聯(lián)測，再加之多項式擬合自身系統(tǒng)精度的限制，一般只應(yīng)用一、二和三次多項式擬合。

3.2 EGM2008重力場模型

地球重力場模型是通過最新衛(wèi)星跟蹤數(shù)據(jù)、地面重力異常數(shù)據(jù)及衛(wèi)星測高等重力場信息，建立的重力位的球諧函數(shù)級數(shù)展開系數(shù)，簡稱位系數(shù)(Cnm，Snm)。利用位系數(shù)，根據(jù)數(shù)學(xué)模型:

可解算地面任意一點P的高程異常。式中:ρ，φ，λ分別為地面點P的向徑、地心緯度和精度，GM為引力常數(shù)與地球質(zhì)量的乘積，γP為地面點P的正常重力值，a為參考橢球的長半軸，在實際計算中采取相對于GRS80的值，即a＝6 378 137。為完全規(guī)格化位系數(shù)，其中偶次帶諧系數(shù)代表實際引力位與正常引力位之差，(sinφ)為完全規(guī)格化Legendre函數(shù)，N則為地球展開的最高階數(shù)。

EGM2008是NGA(US National Geospatial Intelligence Agency)釋放的全球超高階地球重力場模型。該模型階次完全至2 159(另外球諧系數(shù)的階N擴(kuò)至2 190，次為2 159)，模型分辨率相當(dāng)于5′(約9 km)[3]。

3.3 多面函數(shù)模型[4]

多面函數(shù)的主要思想則是根據(jù)“任何數(shù)學(xué)表面和任何不規(guī)則的圓滑表面，總可以利用一系列的有規(guī)則的數(shù)學(xué)表面的總和，以任意精度逼近”原理，建立如下函數(shù)模型:

其中xi和yi為中心點，Q(x，y，xi，yi)為核函數(shù)，為了簡單一般采用:

或者:

本文則采用式(7)，多面函數(shù)圓滑因子取δ＝0.001。

4 實際案例分析

本文針對帶狀線路工程的特征，實施GPS水準(zhǔn)點高程擬合均勻性最佳優(yōu)化設(shè)計，對石鄭客運(yùn)專線沿線143 km，嚴(yán)格執(zhí)行《客運(yùn)專線無碴軌道鐵路工程測量暫行規(guī)定》(鐵建設(shè)[2006]189號)，獲取的100個GPS水準(zhǔn)點成果，根據(jù)上述各種模型的特點，分方案進(jìn)行了數(shù)據(jù)處理和分析，其具體案例如圖1所示。

圖1 擬合區(qū)域高程異常概算擬合曲面線狀圖

4.1 多面函數(shù)擬合案例分析

針對多面函數(shù)模型，對現(xiàn)有GPS水準(zhǔn)點分別以平均4.5 km、6 km、7.5 km、11.5 km和15 km的主體間距進(jìn)行數(shù)據(jù)提取，并依次進(jìn)行高程擬合，其單點高程誤差統(tǒng)計表及相鄰點高差誤差統(tǒng)計圖如表1和圖2所示。

多面函數(shù)擬合單點高程誤差統(tǒng)計表 表1

圖2 多面函數(shù)擬合相鄰點高差誤差統(tǒng)計圖

根據(jù)四等水準(zhǔn)往返高差閉合差限差公式，mh限＝20L，L為路線長度。

根據(jù)多面函數(shù)擬合成果可以看出，其單點求解高程精度很高，在現(xiàn)有數(shù)據(jù)最優(yōu)一組成果中，其最大高程偏離值僅為2.3 cm，而其高差主體滿足四等水準(zhǔn)要求。不足的是:在4.5 km處，只有一個略微超限，超限2 mm；11.5 km和15 km處已知GPS水準(zhǔn)點包含范圍內(nèi)，有6個超限，其主要原因是由于離它們的最近兩個GPS水準(zhǔn)已知點概算高程異常值出現(xiàn)突變所致；6 km～11.5 km，已知GPS水準(zhǔn)點縱向包含范圍外各有幾個超限，并且隨著縱向距離越遠(yuǎn)其超限值越大；在間距為15 km時，考慮了縱向范圍包含性問題，在縱向最外延加入已知GPS已知點，上述因外延引起的超限問題得到了解決，并取得了比較理想的成果。

4.2 多項式擬合案例分析

本次多項式擬合實驗中，分別選用了相鄰的24個和63個GPS水準(zhǔn)點作為基準(zhǔn)數(shù)據(jù)，然后均按平均4.5 km的間距進(jìn)行了二次多項式高程擬合。24點擬合相鄰點高差誤差主體滿足四等水準(zhǔn)要求，只有一個點超限，超出限差6 mm；63個點擬合相鄰點高差共有5個點超限(其中一個點也是因為外延點而引起的超限)，其他4個中最大超限值為24 mm。

4.3 EGM2008高程擬合案例分析

同樣，本次實驗選擇98個GPS水準(zhǔn)點作為基準(zhǔn)數(shù)據(jù)，分別以4.5 km、6 km、7.5 km和15 km的主體間距提取GPS水準(zhǔn)數(shù)據(jù)作為已知數(shù)據(jù)，然后依次實施EGM2008平面高程擬合，全線單點高程誤差和擬合相鄰點高差誤差統(tǒng)計如表2、圖3所示。

從以下結(jié)果可以看出，EGM2008重力高程擬合成果整體比較均一，只要已知GPS水準(zhǔn)點布點均勻，其高程誤差以及相鄰點高差誤差基本不受已知點個數(shù)限制，其相鄰點高差誤差最大只為0.23 cm，精度均滿足四等水準(zhǔn)要求，只是其單點高程擬合精度只是局限于10.5 cm，有待進(jìn)一步提升。

EGM2008平面高程擬合單點高程誤差統(tǒng)計表 表2

圖3 EGM2008平面高程擬合相鄰點高差誤差統(tǒng)計圖

5 結(jié) 論

綜合考慮帶狀廣域線性工程特點，對石鄭線現(xiàn)有GPS水準(zhǔn)數(shù)據(jù)，基于三種擬合方法，分方案實施143 km帶狀區(qū)域的高程擬合，通過擬合成果及分析，可以得到如下結(jié)論:

(1)三種擬合模型均能獲取高精度高程擬合成果，其擬合精度均能達(dá)到四等水準(zhǔn)要求，甚至更高。對于廣域帶狀區(qū)域而言，采用多面函數(shù)模型能獲取高準(zhǔn)確度點位高程擬合成果，且其已知GPS點高程擬合殘差均為0，但要獲取高精度擬合成果，它對已知點點位密度和均勻性要求比較高，尤其是在當(dāng)高程異常變化比較大的情況下，更應(yīng)想辦法加密控制點的密度，且當(dāng)未知點超出帶狀控制點縱向范圍，其擬合高程成果不可靠；多項式擬合同樣能獲取高準(zhǔn)確度的點位高程成果，但相對于多面函數(shù)模型，其對廣域帶狀區(qū)域的高程擬合不能建立統(tǒng)一的數(shù)學(xué)模型來實施對全線其他GPS點正常高的求解，計算過程比較復(fù)雜；相對于上述兩種高程擬合模型，EGM2008重力場模型對點位密度和均勻性要求相對較低，能獲取更高準(zhǔn)確度的相鄰點高差。但其單點擬合高程準(zhǔn)確度略顯偏低，高程誤差有待更進(jìn)一步提升。因此為獲取高質(zhì)量廣域帶狀區(qū)域高程擬合成果，更適合采用多面函數(shù)和EGM2008模型。而在使用多面函數(shù)模型時，綜合考慮工程進(jìn)度和點位高程精度，在高程異常變化比較大的區(qū)域要獲取高精度擬合成果，高程已知點點位密度應(yīng)以5 km/個～8 km/個為宜；

(2)在實際帶狀工程生產(chǎn)應(yīng)用中，高程擬合已知點個數(shù)總是有限，多面函數(shù)高程擬合模型的準(zhǔn)確度也有待更進(jìn)一步的提高。通過本文案例分析，是否可以結(jié)合多面函數(shù)高程擬合成果與EGM2008模型獲取的相鄰點高差數(shù)據(jù)，在已知水準(zhǔn)點的基礎(chǔ)上進(jìn)行高程平差后的成果，來獲取高準(zhǔn)確度的高程成果，可作為高程擬合模型研究的下一課題。

[1] 張冰，馬開鋒，陳南祥.GPS高程擬合模型研究[J].華北水利水電學(xué)院學(xué)報；2008(2):65～67

[2] 徐紹銓，張華海，楊志強(qiáng)等.GPS原理及應(yīng)用[M].武漢:武漢大學(xué)出版社，2003

[3] 金時華.多面函數(shù)擬合法轉(zhuǎn)換高程擬合模型[J].測繪與空間地理信息，2005年，(6):44～47

[4] 劉成，張幸福.EGM2008重力場模型在GPS高程擬合中的應(yīng)用分析[J].鐵道勘察；2009(1):1～3

[5] 匡翠林.高精度GPS水準(zhǔn)算法研究及其應(yīng)用[D].長沙:中南大學(xué)，2004

[6] 王凱紅，張俊影，趙娟等.GPS高程擬合方法精度分析[J].吉林地質(zhì)，2007(3):84～87

Discussion on Elevation Fitting Method of Band Wide－area

Li MingJun1，Yang GuoDong2
(1.Department of Remote Sensing and Surveying of theThird Surveying and Design Institute Co.，Ltd.Tianjin 300251，China； 2.College of Geoexploration Science and Technology of JiLin university，ChangChun 130026，China)

In this paper，based on C－class GPS control network and second level data in the high－speed railway construction，researched on 143km band wide－area along passenger dedicated high－speed railway of which from ShiJiazhuang to WuHan，By using of multi－faceted function model and quadratic polynomial model and EGM2008 gravity field model，carried out and analysis elevation fitting。In a specific region determine the best band wide－area fitting elevation model，and verification the feasibility to obtain the normal high posses centimeter－level or even higher accuracy，to meet the railway，road and other ribbon construction requirements。results of study has guiding significance on heoretical research and practical work.

elevation fitting model；normal height；geodetic height；abnormal elevation

1672－8262(2011)02－96－04

P228

B

2010—07—22

李明軍(1984—)，男，助理工程師，主要從事GPS與3S應(yīng)用研究。