閆源江 甘新年 胡光波

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1 引言

艦船輻射噪聲信號是一種復(fù)雜且不規(guī)則的時間序列。艦船輻射噪聲是否含有混沌特性,并如何在水下復(fù)雜環(huán)境下提取出艦船目標的混沌特征并加以分類,從而達到對艦船目標的有效識別,成為學(xué)者們越來越感興趣的內(nèi)容,隨著混沌理論以及非線性時間序列分析的逐漸深入,結(jié)合其它現(xiàn)代信號處理方法,艦船噪聲信號的非線性和混沌研究也必將逐漸成熟,從而推動水下目標信號的特征提取和識別技術(shù)的進一步發(fā)展。

一般來說,混沌特性主要是基于最大 Lyapunov指數(shù)大于零這一特征來判別。但是最大Lyapunov指數(shù)大于零只是混沌特性存在的必要條件,并不是判斷混沌現(xiàn)象存在的充分條件。除了最大Lyapunov指數(shù)大于零這一條件成立之外,還需要所有的 Lyapunov指數(shù)之和小于零等。這是因為混沌吸引子是耗散系統(tǒng)的專有特征,是擴散與收縮兩種作用相互牽制的結(jié)果。為了維系混沌吸引子的存在,總的收縮率必然超過總的擴散率。這樣,即使系統(tǒng)具有幾個正的 Lyapunov指數(shù)時,如果對整個Lyapunov指數(shù)譜求和,所得結(jié)果仍是負值。

本文對傳統(tǒng)的只求最大Lyapunov指數(shù)而判別混沌特性的方法做出改進,在 Darbyshire等人[1～2]提出的計算噪聲時間序列Lyapunov指數(shù)的基礎(chǔ)上,針對D-B法排除可疑的Lyapunov指數(shù)的困難,本文提出在D-B法計算Lyapunov指數(shù)之前先利用相空間重構(gòu)的方法確定指數(shù)的個數(shù),然后再根據(jù)簡化的D-B法計算全部指數(shù)。該方法省去了原算法排除可疑Lyapunov指數(shù)的過程,而且因為相空間重構(gòu)中虛假最近鄰點法本身的抗干擾能力,所以能進一步克服噪聲的干擾,尤其適合對含有噪聲的實測數(shù)據(jù)的 Lyapunov指數(shù)的計算。最后對實測艦船輻射噪聲序列作Lyapunov指數(shù)估計,檢驗了艦船輻射噪聲的混沌特性。

2 Lyapunov指數(shù)

為了有效地刻畫吸引子,有必要研究動力系統(tǒng)在整個吸引子或無窮長的軌道上平均后得到的特征量,如 Lyapunov指數(shù)、分數(shù)維和 Kolmogorov熵。混沌運動的基本特點就是運動對初始條件的極為敏感性。兩個極靠近的初值產(chǎn)生的運動軌道,隨時間的推移按指數(shù)形式分離,Lyapunov指數(shù)就是描述這一現(xiàn)象的量。

2.1 Lyapunov指數(shù)的定義

混沌動力系統(tǒng)有對初始條件的敏感依賴性,這意味著在狀態(tài)空間中無限靠近的兩個向量會產(chǎn)生兩條指數(shù)分離的軌線,設(shè)M維混沌動力系統(tǒng)為

為了從整體上刻畫系統(tǒng),引入不同局部因子的一個適當(dāng)?shù)钠骄?即Lyapunov指數(shù),定義為

M個不同的λi稱為Lyapunov指數(shù)譜,其中最大的一個稱為最大Lyapunov指數(shù),如果最大Lyapunov指數(shù)是正的,意味著相鄰的軌線按指數(shù)發(fā)散,即系統(tǒng)可能是混沌的。

2.2 改進的Lyapunov指數(shù)譜算法

首先給定一個時間序列{vi}Ni=1,利用文獻[3]中介紹的的互信息法[4]和虛假最近鄰點法[5]計算被測時間序列的嵌入延遲和最佳嵌入維數(shù),然后利用簡化的D-B方法估計Lyapunov指數(shù)譜,這種改進的算法克服了原算法排除可疑的Lyapunov指數(shù)的過程,而且FNN方法本身具有抗干擾的能力,所以能進一步克服噪聲干擾,適合對含有噪聲的實測數(shù)據(jù)進行 Lyapunov指數(shù)的計算。具體算法如下:

其中m為嵌入維數(shù),τ為時間延遲,通過對矩陣A進行奇異值分解得到A=U*S*C。其中U和C是正交矩陣,分別稱為A的左右奇異向量,且

利用軌跡矩陣A和最佳嵌入維數(shù)m求得維數(shù)為N×m子空間矩陣X:

其中(Rj)ii是Rj的第i個對角元素。λi即為時間序列的Lyapunov指數(shù)。

3 仿真試驗及結(jié)果分析

仿真首先以典型的混沌信號Henon吸引子為例驗證算法的有效性。采用新算法對 Lyapunov指數(shù)的估計進行仿真,Henon吸引子方程[8]為

用Rung-Kutta法求解微分方程組,其中 Δ t=1,得到離散的吸引子數(shù)據(jù),從500點開始對一定數(shù)據(jù)長度的Lyapunov指數(shù)譜進行計算仿真,Lyapunov指數(shù)譜和最大Lyapunov指數(shù)譜如圖1所示,同時計算得到Henon吸引子各個Lyapunov指數(shù)分別為λ1=0.4286,λ2=-1.6326,其中最大Lyapunov指數(shù)約為0.42,這與理論值是十分吻合的。

圖1 Henon吸引子 Lyapunov指數(shù)譜

在Henon吸引子數(shù)據(jù)中加入高斯白噪聲,信噪比為6dB。其它試驗條件同上,得到Lyapunov指數(shù)譜和最大Lyapunov指數(shù)譜如圖2所示。同時計算得到Henon吸引子各個Lyapunov指數(shù)分別為 λ1=0.4462,λ2=-1.6502,其中最大 Lyapunov指數(shù)由于受到噪聲的影響,計算值比第一組稍大,值為0.4462。可以看出在含有噪聲和未含噪聲的Henon時間序列的Lyapunov指數(shù)基本相等,說明了算法的有效性。從圖可以看出,當(dāng)數(shù)據(jù)點大于800左右以后指數(shù)就趨于穩(wěn)定,說明了本算法的具有快速收斂性,可以收斂到穩(wěn)定值。

圖2 含噪Henon吸引子Lyapunov指數(shù)譜

圖3 某類艦船輻射噪聲Lyapunov指數(shù)譜

對三類水中目標共120個樣本(每種40個樣本)進行 Lyapunov指數(shù)譜和最大 Lyapunov指數(shù)的特征提取。每個樣本長度為5000,采樣率為25KHz。從 500點開始一直到后面若干點,計算得到三種目標輻射噪聲某一樣本的 Lyapunov指數(shù)譜如圖3所示,三種目標Lyapunov指數(shù)譜和最大Lyapunov指數(shù)平均值見表1。

表1 三類艦船輻射噪聲的Lyapunov指數(shù)估計結(jié)果

仿真結(jié)果表明,三種水中目標輻射噪聲的最大Lyapunov指數(shù)λ1均存在,且都大于零,指數(shù)之和均小于零,檢驗了三類水中目標信號確實具有混沌特性。

4 結(jié)語

本文在Darbyshire-Broomhead關(guān)于含有噪聲的實測數(shù)據(jù)的 Lyapunov指數(shù)譜的計算理論基礎(chǔ)上,對其進行改進,減少了計算的復(fù)雜程度,并增強了抗干擾能力,算法成功應(yīng)用于對艦船輻射噪聲時間序列的混沌特性檢驗,仿真結(jié)果表明艦船輻射噪聲確實具有混沌特性,這為進一步開展基于混沌預(yù)測的艦船目標檢測和基于混沌理論的艦船目標特征提取和自動識別等工作奠定了理論基礎(chǔ)。

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