朱秋明 徐大專 羅艷強 陳小敏

(1.南京航空航天大學(xué)信息科學(xué)與技術(shù)學(xué)院,江蘇 南京 210016; 2.中國空空導(dǎo)彈研究院,河南 洛陽 471109)

1. 引 言

多輸入多輸出(MIMO)系統(tǒng)大容量的實現(xiàn)以及各種空時信號處理算法的性能優(yōu)劣都極大地依賴于信道特性,MIMO信道相關(guān)的測量、建模和評估成為目前通信領(lǐng)域的研究熱點之一[1-6]。早期對MIMO信道的研究通常假設(shè)獨立同分布的瑞利衰落,實際中由于天線陣列間距不夠大以及傳播環(huán)境中散射不充分,各天線接收信號具有空域相關(guān)性且不可忽略[2-4]。文獻[3]、[5]-[6]推導(dǎo)總結(jié)了均勻、余弦、高斯、拉普拉斯和Von mise五種常見角度域功率譜分布時衰落信號空域相關(guān)系數(shù)的精確解析式。然而,實際中當(dāng)功率角譜(PAS)服從其它復(fù)雜分布時空域相關(guān)性計算非常困難[7],通常只能采用數(shù)值積分或級數(shù)展開求和[3]的方法。

針對實際情況下空域相關(guān)性計算比較復(fù)雜的問題,提出一種基于角度域脈沖采樣的空域相關(guān)性評估簡化模型,利用有限個角度域采樣脈沖空域相關(guān)系數(shù)的加權(quán)疊加,獲得任意PAS分布時接收天線陣列的空域相關(guān)特性,該模型稍加改進可適用于方向性天線、天線互耦或三維入射情況[8-9]。同時,詳細討論了各種模型參數(shù)的優(yōu)化方法,以及常見采樣脈沖空域相關(guān)性簡化表達式,最后給出數(shù)值仿真和復(fù)雜度比較結(jié)果。

2． 空域相關(guān)性簡化模型

假設(shè)到達波平行入射,不考慮天線單元方向性與互耦的影響,相距為d的兩根接收天線空域相關(guān)系數(shù)可表示為[3]

(1)

式中：λ表示到達波的波長;p(α)為到達波歸一化功率角譜分布；αl,αh,分別對應(yīng)入射角角分布區(qū)間及均值。

假設(shè)到達波角度域采樣間隔為2Δs,采樣脈沖持續(xù)角度為4Δs(如圖1所示),則采樣后功率角譜為

(2)

式中：gn(α)表示概率面積歸一化的角度域采樣脈沖;N=(αh-αl)/2Δs表示采樣脈沖數(shù)目;wn為加權(quán)系數(shù)。

將式(2)代入式(1),獲得衰落信號空域相關(guān)性模型,

(3)

式中，ρs,n(d)表示各采樣脈沖的空域相關(guān)系數(shù)。

圖1 角度域脈沖采樣

3． 各種簡化模型參數(shù)分析

3.1 參數(shù)選取與模型改進

采樣前后功率角譜的累積概率面積需保持不變,因此式(3)中歸一化加權(quán)系數(shù)應(yīng)為

(4)

由于采樣間隔較小,式(4)可近似簡化為

(5)

式中：N表示采樣脈沖數(shù)目;p(θn)對應(yīng)各脈沖中心角離散化概率。

實際接收信號的PAS分布較集中[7],若仍進行圖1所示角度域完整均勻采樣,需要大量采樣脈沖而導(dǎo)致運算效率降低。由于權(quán)重小的采樣脈沖對簡化模型中接收信號空域相關(guān)性影響甚微,針對小角度擴展情況對上述模型改進如下:

1) 將N個離散化概率從大到小依次排列,假設(shè)記為p(θ1)>p(θ2)…>p(θN);

2) 每次從排序后的概率集合中取出最大值進行累加,直至滿足

(6)

式中：M表示實際選取的采樣脈沖數(shù)目;η≤1則為選取脈沖的累積概率面積門限。

根據(jù)式(3)和式(5),改進后MIMO空域相關(guān)性評估模型可表示為

(7)

式中假設(shè)p(θ1)>p(θ2)…>p(θM).

3.2 采樣脈沖空域相關(guān)系數(shù)及復(fù)雜度比較

由式(7)評估模型可見,不同脈沖對應(yīng)空域相關(guān)系數(shù)和運算量也不同。各角度域采樣脈沖空域相關(guān)系數(shù)定義如下:

(8)

式中，θn=αl+(2n-1)Δs表示各脈沖角度均值。

a) Sinc采樣脈沖

角度域Sinc采樣脈沖可表示為

(9)

式中:Q為采樣脈沖累積概率歸一化系數(shù)且易證Q=π/4ΔsSi(π)，Si(π)表示正弦積分函數(shù)[10]

(10)

將式(9)代入式(8),并令β=α-θn可得

(11)

由于β值較小,利用公式sinβ≈β,cosβ≈1化簡式(11)可得

(12)

式中積分項記為X(d),利用偶函數(shù)性質(zhì)及三角變換公式并令

(13)

可得

(14)

因此,Sinc采樣脈沖空域相關(guān)系數(shù)可近似表示為

(15)

b) 高斯采樣脈沖

角度域高斯采樣脈沖可表示為[11-12]

(16)

將式(16)代入式(8),簡化可得

(17)

當(dāng)Q=1時,上式與文獻[12]中式(3)相同。

c) 余弦脈沖

角度域余弦采樣脈沖可表示為[13]

(18)

將式(18)代入式(8),可得簡化后空域相關(guān)系數(shù)的近似表達式

(19)

對照文獻[13]中式(3)結(jié)果(該文稱之為升余弦脈沖),原式sinc函數(shù)中少了系數(shù)π.

d) 升余弦脈沖

角度域升余弦采樣脈沖可表示為

(20)

式中Q為歸一化系數(shù)且等于1/2Δs.

將式(20)代入式(8)并進行變量代換,

(21)

式中：

(22)

當(dāng)Δs,d/λ較小時,γ>2被積函數(shù)幾乎衰減為零,利用積分公式得升余弦脈沖空域相關(guān)系數(shù)的近似表達式為

(23)

式中sign(·)表示符號函數(shù)。

由上述各脈沖空域相關(guān)系數(shù)的近似表達式可見,各者具有相同的復(fù)指數(shù)項,不同部分運算量主要體現(xiàn)為三角運算個數(shù)。其中,高斯脈沖含有3次三角運算和1次指數(shù)運算;余弦脈沖含有4次三角運算;升余弦脈沖含有3次三角運算和2次符號運算。式(24)給出了各脈沖近似表達式的歸一化仿真耗時比較。

TGauss≈TCosine≈TRaised-cos

≈0.004·Tsinc

(24)

式中Sinc脈沖含有比較復(fù)雜的正弦積分運算(仿真中式(10)近似取50項累加),所以耗時最大。

圖2仿真了θn=0時,各近似表達式精度與采樣脈沖寬度的關(guān)系,其中絕對誤差均值定義為近似表達式與理論值在d/λ∈[0,10]范圍內(nèi)的平均偏差,即

ME(Δs)=E[|ρs,n(Δs,θn)-

ρtheory,n(Δs,θn)|]

(25)

結(jié)果表明:1)余弦采樣脈沖均值誤差最小且隨Δs增加而逐步增加,因為推導(dǎo)近似表達式時均假設(shè)脈沖寬度很窄(見式(12)簡化條件);2)Sinc脈沖誤差曲線與余弦脈沖類似,但采用有限級數(shù)實現(xiàn)正弦積分函數(shù)會導(dǎo)致額外偏差;3)高斯和升余弦脈沖均值誤差較大,原因在于推導(dǎo)二者時還使用了近似積分公式(如式(21)的簡化),近似誤差與Δs,d/λ,θn有關(guān)。

圖2 采樣脈沖誤差均值與脈沖寬度關(guān)系

4. 仿真結(jié)果分析

目前,Von Mises分布在信道仿真中已得到廣泛應(yīng)用,該分布可表示為

(26)

式中： I0(·)表示零階修正貝塞爾函數(shù);α0表示信號入射角均值;k≥0為角度擴展因子,k越小角度擴展越大,k=0對應(yīng)均勻分布情況。

圖3比較了PAS服從α0=0,k=2的Von Mises分布,采樣間隔2Δs為10°和5°時,不同簡化模型空域相關(guān)性評估的絕對誤差,表1則給出對應(yīng)絕對誤差在d/λ∈[0,5]范圍內(nèi)的均值。結(jié)果表明:1)余弦和升余弦脈沖模型的誤差性能接近,優(yōu)于高斯和Sinc采樣脈沖;2)采樣脈沖數(shù)目大于36時,評估模型誤差均值小于0.003,可滿足常見實測需求;3)高斯和升余弦簡化模型的誤差均值遠小于各脈沖近似相關(guān)系數(shù)的誤差均值(見圖2),原因在于近似積分公式的誤差與各區(qū)間的θn有關(guān),不同區(qū)間采樣脈沖隨機誤差疊加后部分相互抵消。

圖3 簡化模型誤差性能比較

簡化模型絕對誤差均值Δs=5°絕對誤差均值Δs=2.5°Gauss0.00340.00081Cosine0.00250.00068Sinc0.00310.00083Raised-cos0.00220.00066

上述仿真過程中各模型耗時如表2所示,表中還給出了Teal模型[6]、三角級數(shù)求和模型[3]和數(shù)值積分方法的耗時。由表可見:1)簡化模型的運算量隨采樣脈沖數(shù)目增加而線性增加,且小于其它模型;2)Sinc簡化模型由于涉及正弦積分函數(shù),運算量大實際不宜采用;3)Teal模型和級數(shù)求和模型運算量相當(dāng),介于簡化模型和數(shù)值積分方法之間。

表2 各模型運算效率比較

由于簡化模型運算量與采樣脈沖數(shù)目線性相關(guān),減少脈沖數(shù)目可明顯降低運算量。升余弦模型的誤差均值、實際脈沖數(shù)目M和累積概率面積門限η的關(guān)系如圖4所示,圖中y軸分別表示誤差均值和實際采樣脈沖數(shù)目。由圖4可見,隨著η的減小,采樣脈沖數(shù)目迅速下降即評估運算量下降,模型誤差均值則逐步增加。

圖4 改進模型誤差均值、脈沖數(shù)目和η的關(guān)系

當(dāng)角度擴展因子比較大即PAS分布比較集中時,可通過選擇適當(dāng)門限η值,在運算量固定前提下提高評估精度。圖5給出了η=0.99,N=36時,改進模型的誤差性能。仿真中,角度擴展因子k取8～131,對應(yīng)實際角度擴展約為5～20度。由圖5可見對于大角度擴展情況,不同采樣脈沖的誤差性能非常接近且絕對誤差均值都小于0.005, 可以滿足實際評估精度的需求。

圖5 小角度擴展改進模型誤差性能

5. 結(jié) 論

對于任意PAS分布的MIMO系統(tǒng),接收信號空域相關(guān)性的評估比較困難,通常只能采用數(shù)值積分方法。通過將空域相關(guān)性計算建模為有限個采樣脈沖相關(guān)系數(shù)的加權(quán)疊加,可大大降低MIMO衰落信號空域相關(guān)性評估的復(fù)雜度,為多天線系統(tǒng)空域相關(guān)性實時評估提供參考。仿真結(jié)果表明,對于實際常見角度擴展情況,當(dāng)采樣脈沖數(shù)目大于36時,該簡化模型的誤差均值小于0.005,可以滿足MIMO信道建模、陣列天線設(shè)計、MIMO系統(tǒng)容量以及誤比特率等性能分析的實際需求。

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