陳明生 孔 勐 時晶晶 吳先良 沙 威

(1.合肥師范學(xué)院 物理與電子工程系,安徽 合肥 230601； 2.中國科學(xué)技術(shù)大學(xué) 信息學(xué)院，安徽 合肥 230026； 3.香港大學(xué) 電機(jī)電子工程系，香港)

1. 引 言

實(shí)現(xiàn)軍用目標(biāo)的電磁隱身是一個極其復(fù)雜的系統(tǒng)工程，等離子體作為一種全新的隱身技術(shù)，具有吸波頻段寬、價格便宜等諸多優(yōu)點(diǎn)，正受到廣泛關(guān)注，對其寬頻電磁散射特性進(jìn)行計(jì)算和分析具有十分重要的理論和工程意義[1]。

目前國內(nèi)外分析等離子體寬頻散射特性的算法主要為時域有限差分法(FDTD)[2-3]，然由于數(shù)值色散性及復(fù)雜邊界處理時所產(chǎn)生的誤差，其計(jì)算精度難以令人滿意。而用于求解積分方程的矩量法(MOM)雖具有較高的計(jì)算精度，在無解析解的情況下常被視為參考解，但作為頻域算法其在分析寬頻響應(yīng)時需逐點(diǎn)計(jì)算，耗費(fèi)大量的計(jì)算機(jī)資源。

基于矩量法[4-5]的寬頻分析算法主要為漸近波形估計(jì)(AWE)技術(shù)，其主要思想為通過獲得表面電流的Taylor級數(shù)逼近并轉(zhuǎn)化為Padé逼近以改善計(jì)算精度，最終獲得關(guān)于表面電磁流的一種有理逼近。該方法的提出一定程度上突破了矩量法在寬頻分析上的限制，并被廣泛應(yīng)用于電磁散射問題的求解[6-7]。然而由于Taylor級數(shù)系數(shù)的獲得首先要計(jì)算阻抗矩陣元素的高階導(dǎo)數(shù)，這使得其在提高計(jì)算效率的同時耗費(fèi)了較大的計(jì)算內(nèi)存。此外，在分析等離子體等色散媒質(zhì)時，阻抗矩陣元素高階導(dǎo)數(shù)的計(jì)算過程也十分復(fù)雜。

鑒于以上考慮，我們提出一種新的“Chebyshev-Maehly”模式以代替?zhèn)鹘y(tǒng)的“Taylor- Padé”模式用以分析目標(biāo)的寬頻電磁散射特性。Chebyshev級數(shù)逼近在眾多多項(xiàng)式逼近中具有最佳一致逼近性，而Maehly逼近在有理逼近中同樣具有最佳一致逼近性[8]，因此，從理論上保證了所提算法的高精度性。此外，Chebyshev級數(shù)的獲得過程無需求解阻抗矩陣元素的高階導(dǎo)數(shù)[9]，十分適用于等離子體等色散介質(zhì)的分析。同時，Chebyshev級數(shù)亦可轉(zhuǎn)化為Maehly逼近形成高精度的有理逼近。通過理論推導(dǎo)和對不同目標(biāo)的計(jì)算分析，探討了等離體頻率和碰撞頻率變化對其后向電磁散射特性的影響，并驗(yàn)證了所提算法的高精度、高效率等特征。

2. 理 論

2.1 介質(zhì)目標(biāo)積分方程及其矩量法解

如圖1所示，設(shè)在背景空間參數(shù)為ε1和μ1的情況下， 存在某一介質(zhì)目標(biāo)，其介電常數(shù)和磁導(dǎo)率分別為ε2和μ2，則應(yīng)用等效原理可得介質(zhì)體的表面積分方程。

圖1 介質(zhì)目標(biāo)示意圖

在分析介質(zhì)目標(biāo)電磁散射特性的眾多積分方程中，PMCHWT方程以良好的矩陣性態(tài)、抗內(nèi)諧振以及較高的計(jì)算精度等特點(diǎn)而被廣泛應(yīng)用[10]，其具體形式如下

(1)

(2)

對于等離子體目標(biāo)，其相對介電常數(shù)和相對磁導(dǎo)率可以用Drude模型[11]分別描述為

(3)

(4)

式中：ωp、ωpm分別為電等離子體和磁等離子體的振蕩頻率；νc、νcm分別為電等離子體和磁等離子體的電子碰撞頻率(一般在1011Hz量級以內(nèi))。

應(yīng)用矩量法，采用Rao-Wilton-Glisson (RWG) 基函數(shù)[12]fn(r)(n=1,2,3,…，N)對式(1)中電磁流進(jìn)行如下形式的展開

(5)

可得矩陣方程

Z(k)I(k)=V(k)

(6)

式中：Z(k)為阻抗矩陣；I(k)為電、磁流系數(shù)向量；V(k)為激勵向量。

2.2 寬頻分析的最佳一致逼近理論

對于給定頻帶f∈[fa,fb，]k∈[ka,kb],先作坐標(biāo)變換，令

(7)

則I(k)在[ka,kb]中的切比雪夫逼近按如下公式給出

(8)

(9)

(10)

為了進(jìn)一步提高計(jì)算精度， 應(yīng)用梅利逼近將上述多項(xiàng)式轉(zhuǎn)化為有理逼近

(11)

式中：b0=1,L+M=N.將式(11)代入式(8)并利用性質(zhì)

(12)

可以按如下方式解出系數(shù)ai(i=0,1,…，L)與bj(j=1,2,…，M)

q=1,2,…，L

(13)

(14)

3. 數(shù)值結(jié)果

為驗(yàn)證所提算法的高精度性，首先考慮一個半徑為0.3 cm的均勻介質(zhì)球體。其相對介電常數(shù)為εr=1.5，相對磁導(dǎo)率為μr=1.0.目標(biāo)表面離散為980個三角單元，在應(yīng)用矩量法求解PMCHWT方程時生成一個2940×2940維的矩陣方程。分別采用Mie級數(shù)進(jìn)行解析計(jì)算、漸近波形估計(jì)計(jì)算和Chebyshev方法計(jì)算，所得結(jié)果比較如圖2所示。可以看出：同等階數(shù)(相同計(jì)算復(fù)雜度)情況下，Chebyshev級數(shù)(有效計(jì)算帶寬為2～30 GHz)的計(jì)算精度要遠(yuǎn)高于Taylor級數(shù)(有效計(jì)算帶寬為12～24 GHz)，甚至在沒有轉(zhuǎn)化為精度更高的有理逼近之前，其有效計(jì)算帶寬已超過了Taylor級數(shù)轉(zhuǎn)化為Padé近似(有效計(jì)算帶寬為3～26 GHz)的結(jié)果。同時由式(8)(9)可以看出Chebyshev方法無需計(jì)算電流的高階導(dǎo)數(shù)，而漸近波形估計(jì)(AWE)技術(shù)中為了獲得表面電流的泰勒(Taylor)級數(shù)展開，必須求解電流的高階導(dǎo)數(shù)，從而需要計(jì)算并存儲L+M個阻抗矩陣的導(dǎo)數(shù)矩陣，使得內(nèi)存耗費(fèi)較矩量法逐點(diǎn)計(jì)算成數(shù)倍增加。尤其是處理等離子體等色散媒質(zhì)時，相對介電常數(shù)等電磁參數(shù)隨頻率變化，其阻抗矩陣的高階導(dǎo)數(shù)計(jì)算將異常復(fù)雜。

圖2 均勻介質(zhì)球的RCS頻率響應(yīng)

圖3 不同等離子頻率下介質(zhì)球的RCS頻率響應(yīng)

如圖3所示：首先，為了驗(yàn)證Maehly逼近對Chebyshev方法有效計(jì)算帶寬的拓展，在等離子頻率為ωp=180 GHz、碰撞頻率為νc=20 GHz下對半徑為0.3 cm的非磁化等離子體目標(biāo)的寬頻電磁散射特性進(jìn)行了研究，結(jié)果表明：Chebyshev級數(shù)轉(zhuǎn)化為有理逼近后有效計(jì)算帶寬得到了進(jìn)一步拓展。其次，計(jì)算了不同等離子體頻率下的雷達(dá)散射截面(RCS)寬頻響應(yīng)，由圖3可以看出：在所研究的頻段，該半徑為0.3 cm等離子體球的后向散射隨等離子體頻率的升高而增強(qiáng)。最后在計(jì)算效率方面，以0.5 GHz為步長，采用矩量法逐點(diǎn)計(jì)算完成40～80 GHz頻帶的掃頻分析，共耗時4157秒，而Maehly逼近方法以0.1 GHz為步長僅耗時423秒，足見計(jì)算效率的提高。而計(jì)算過程中并未涉及阻抗矩陣元素求導(dǎo)運(yùn)算，因此，所提算法更易于程序?qū)崿F(xiàn)。

為了比較不同碰撞頻率對其后向散射的影響，對上述介質(zhì)球體，取等離體頻率為ωp=20 GHz，而碰撞頻率分別為νc=0 GHz、νc=40 GHz、νc=80 GHz情況下計(jì)算其RCS頻率響應(yīng)如圖4所示。由此可見：等離子體的碰撞頻率越高，其后向散射越小，隱身特性越好。

圖4 不同碰撞頻率下的RCS頻率響應(yīng)

(a) 相對介電常數(shù)虛部隨頻率變化

(b) 相對介電常數(shù)實(shí)部隨頻率變化圖5 相對常數(shù)隨頻率變化情況分析

至于20 GHz以后，三種參數(shù)下RCS頻率響應(yīng)幾乎一致，可以歸結(jié)為其相對介電常數(shù)在20 GHz以后趨于一致，如圖5所示，即實(shí)際計(jì)算的目標(biāo)可近似認(rèn)為是同一目標(biāo)。

如圖6所示，計(jì)算半徑為0.5 cm的磁化等離子體目標(biāo)的寬頻RCS，其相關(guān)參數(shù)描述為ωp=120 GHz、ωpm=100 GHz，νc=20 GHz、νcm=10 GHz.當(dāng)該目標(biāo)表面離散1280個三角單元時，采用矩量法以1 GHz為步長計(jì)算耗時2759秒，而Maehly方法以0.1 GHz為步長計(jì)算耗時僅為706秒，兩種方法計(jì)算結(jié)果在20～50 GHz頻段內(nèi)吻合良好。

圖6 磁化等離子體球的RCS頻率響應(yīng)

圖7 均勻介質(zhì)立方體的RCS頻率響應(yīng)

為驗(yàn)證所提算法對不同幾何形態(tài)等離子體目標(biāo)的適用性，對一個1 cm×1 cm×1 cm的立方體等離子體目標(biāo)進(jìn)行了計(jì)算分析，其相關(guān)參數(shù)為等離子頻率ωp=20 GHz、碰撞頻率νc=10 GHz.分別采用矩量法逐頻率點(diǎn)求解PMCHWT方程和Maehly方法獲得該目標(biāo)寬頻電磁響應(yīng)，其計(jì)算結(jié)果比較如圖7所示，二者吻合良好。計(jì)算時間上，矩量法以0.5 GHz為步長逐點(diǎn)計(jì)算耗時4384秒，Maehly近似法以0.1 GHz為步長共耗時679秒。

4. 結(jié) 論

針對分析目標(biāo)寬頻特性的傳統(tǒng)頻域算法在計(jì)算精度、內(nèi)存耗費(fèi)以及處理色散媒質(zhì)上的一些弱點(diǎn)，提出了一種基于最佳一致有理逼近的方法，并將該方法應(yīng)用于等離子體寬頻電磁散射特性的分析。通過數(shù)值仿真，得出了一些定性的結(jié)論，且驗(yàn)證了所提算法的高效性：1)與傳統(tǒng)漸近波形估計(jì)算法相比，所提算法內(nèi)存耗費(fèi)小，且在同等階數(shù)情況下有效計(jì)算帶寬大為拓展；2)由于無需計(jì)算阻抗矩陣元素的高階導(dǎo)數(shù)，在處理等離子體一類的色散媒質(zhì)方面，所提算法簡捷而更易于程序?qū)崿F(xiàn)。

[1] 莊釗文, 袁乃昌, 莫錦軍, 劉少斌. 軍用目標(biāo)雷達(dá)散射截面預(yù)估與測量 [M]. 北京：科學(xué)出版社, 2007.

[2] TAFLOVE A and SUSAN C H. Computational electrodynamics: the finite difference time domain method [M]. Boston: Artech House, 2005.

[3] 曾 瑞, 李明之, 周樂柱, 王長清. FDTD 法分析涂覆各向異性材料金屬目標(biāo)寬帶散射特性[J]. 電波科學(xué)學(xué)報, 2008, 23(1): 11-16.

ZENG R, LI M Z, ZHOU L Z, and WANG C Q. FDTD analysis of wide2band scatting characteristic of metal target coated by anisotropic medium [J]. Chinese Journal of Radio Science, 2008, 23(1): 11-16.

[4] 楊 卓, 薛正輝, 李偉明. 導(dǎo)體目標(biāo)瞬態(tài)電磁散射的時空矩量法研究[J]. 電波科學(xué)學(xué)報, 2009, 24(2): 314-317.

YANG Z, XUE Z H, and LI W M. Analyzing frequency selective surface with plane wave approach and the method of moments [J]. Chinese Journal of Radio Science, 2009, 24(2): 314-317.

[5] 任 儀, 聶在平, 趙延文. 基于高階疊層基函數(shù)的加速迭代求解方法[J]. 電波科學(xué)學(xué)報, 2008, 23(1): 100-105.

REN Y, NIE Z P, and ZHAO Y W. An acceleration iterative solution of MoM matrix equation based on higher order hierarchical basis functions [J]. Chinese Journal of Radio Science, 2008, 23(1): 100-105.

[6] SLONE R D, LEE R, and LEE J F. Well-Conditioned Asymptotic Waveform Evaluation for Finite Elements [J]. IEEE Transactions on Antennas and Propagation, 2003, 51(9): 2442-2447.

[7] HANG G B and LI Z F. Novel broadband asymptotic waveform evaluation method and its applications in parameter extraction [J]. International Journal of RF and Microwave Computer-Aided Engineering, 2007, 17(3): 279-285.

[8] 馬振華. 現(xiàn)代應(yīng)用數(shù)學(xué)手冊: 計(jì)算與數(shù)值分析卷[M]. 北京: 清華大學(xué)出版社, 2005.

[9] CHEN M S, WU X L, HUANG Z X, and SHA W. Chebyshev approximation for fast frequency- sweep analysis of electromagnetic scattering problem [J]. Chinese Journal of electronics, 2006, 15(4): 736-738.

[10] CHEW W C, TONG M S and HU B. Integral Equations for Electromagnetic and Elastic Waves [M]. New York: Morgan & Claypool Publishers, 2008.

[11] ENGHETA N, ZIOLKOWSKI R W. A positive future for double negative metamaterials [J]. IEEE Transactions on Microwave Theory Technology, 2005, 53 (4): 1535-1556.

[12] RAO S M, WILTON D R, and GLISSON A W. Electromagnetic scattering by surfaces of arbitrary shape [J]. IEEE Transactions on Antennas and Propagation, 1982, 30(3): 409-418.