李志平

(北京航空航天大學(xué)電子信息工程學(xué)院，北京 100191)

1. 引 言

矩量法(MoM)由哈林頓(Harrington)首先引入到計(jì)算電磁學(xué)中求解積分方程[1]，其廣泛應(yīng)用于天線(xiàn)分析與設(shè)計(jì)、微波器件模擬和雷達(dá)散射截面計(jì)算，最大優(yōu)點(diǎn)是求解精度高。矩量法求解L個(gè)入射方向激勵(lì)，M個(gè)散射方向的雙站RCS時(shí)，需要解L次矩陣方程和LM次矩陣向量乘法運(yùn)算分別獲得表面電流和雙站RCS[8]。雙站特性由于反隱身的需求，日益受到重視，如此循環(huán)迭代實(shí)際上是無(wú)法計(jì)算的。為了提高雙站分析的速度，已發(fā)展出了幾種方法，如單雙站等效定理[2-3]，以及將物理光學(xué)電流作為初始試探解來(lái)提高求解速度[4]，前者是近似估計(jì)，后者是基于初值近似的循環(huán)迭代。為了降低矩量法求解單站RCS的計(jì)算復(fù)雜度，用基波模激勵(lì)展開(kāi)，不同入射方向激勵(lì)起的表面電流是某固定入射方向激勵(lì)下的一系列模式表面電流的加權(quán)積分[4]。本文將入射和散射的平面波都分解成一系列模式，得出目標(biāo)雙站RCS與模散射響應(yīng)成傅立葉變換關(guān)系；利用展開(kāi)模中Bessel函數(shù)的性質(zhì)可闡明模散射響應(yīng)具有近似成對(duì)角分布的稀疏性，根據(jù)這些性質(zhì)和快速傅立葉變換(FFT)，可高效快速實(shí)現(xiàn)雙站RCS計(jì)算分析和應(yīng)用。

2. 算 法

任意二維電磁波可分解為橫電波和橫磁波的疊加。根據(jù)疊加原理，單獨(dú)考慮物體對(duì)橫電波和橫磁波的散射即可，為簡(jiǎn)單起見(jiàn)，考慮橫磁波的散射。假設(shè)目標(biāo)軸向?yàn)閦方向，二維理想導(dǎo)體目標(biāo)所在背景為自由空間，如圖1所示。

圖1 TM波激勵(lì)二維理想導(dǎo)體目標(biāo)的電磁散射

矩量法求解TM波激勵(lì)二維理想導(dǎo)體目標(biāo)的電磁散射時(shí)，將導(dǎo)體橫截面的邊界劃分為N個(gè)直線(xiàn)單元，用脈沖基將其上的未知電流密度展開(kāi)，經(jīng)檢驗(yàn)匹配建立電場(chǎng)積分方程的方程組[1]，即

(1)

(2)

(3)

(4)

(5)

(6)

求解L個(gè)入射方向激勵(lì)，M個(gè)散射方向的雙站散射，需解L次矩陣方程(1)和LM次矩陣向量乘法(4)運(yùn)算分別獲得表面電流和雙站散射，即使用共軛梯度迭代求解，計(jì)算復(fù)雜度也將分別為O(LN2)和O(LMN)。

傍晚，蘇婷婷下班回來(lái)，杰克上前擁抱妻子：親愛(ài)的，你想死我了！杰克連連在蘇婷婷臉上親吻著，蘇婷婷躲閃著：別這樣，讓爸媽看見(jiàn)了不好。杰克說(shuō)：爸媽都出去了，看不見(jiàn)的。蘇婷婷放松下來(lái)，杰克趁勢(shì)把蘇婷婷抱到床上。

(7)

將式(7)右邊的各階基波模(-j)pJp(kr′)e-jp θ′作為式(1)右邊的激勵(lì)，再根據(jù)疊加性可將任意方向θi入射激勵(lì)起的表面電流表達(dá)為基波模表面電流的傅立葉積分。

(9)

其中式(8)確立的線(xiàn)性方程組與入射方向無(wú)關(guān)，并將求解方程組的次數(shù)由L變?yōu)?P0+1。而基波模電流重構(gòu)各個(gè)θi入射方向激勵(lì)起的電流的式(9)是傅立葉變換。

同樣，將散射到遠(yuǎn)區(qū)的平面波模式展開(kāi)，有

(10)

綜合式(10)、(9)和(4)，更換求和次序，并略去常系數(shù)項(xiàng)，有

(11)

式(11)是二維(逆)傅立葉變換，其中Tp,q為

(12)

另外，Bessel函數(shù)有性質(zhì)[6]

J-n(x)=(-1)nJn(x)

(13)

雙站模式散射響應(yīng)Tp,q在數(shù)學(xué)上是將p階激勵(lì)模在目標(biāo)空間內(nèi)經(jīng)廣義導(dǎo)納矩陣加權(quán)后在q階散射模上的投影，在物理上是p階基波模激勵(lì)起目標(biāo)的q階模散射響應(yīng)，其較大元素集中在對(duì)角線(xiàn)附近(p=±q)，遠(yuǎn)離對(duì)角線(xiàn)時(shí)，入射與散射的模式差別增大，二者間的關(guān)聯(lián)程度將降低，模散射響應(yīng)將減小，可預(yù)估模散射響應(yīng)近似有沿對(duì)角分布的稀疏性。顯然模散射響應(yīng)是目標(biāo)的內(nèi)秉屬性，與入射和散射的觀測(cè)角度無(wú)關(guān)。

3. 仿 真

下面分析波變換中級(jí)數(shù)截?cái)嗟碾A數(shù)對(duì)求解精度的影響。平面波展開(kāi)為Bessel級(jí)數(shù)和形式，用式(7)左右兩邊的復(fù)相關(guān)來(lái)分析截?cái)嚯A數(shù)P0對(duì)級(jí)數(shù)收斂的影響。

(14)

圖2 平面波與其Bessel級(jí)數(shù)展開(kāi)的相關(guān)系數(shù)

由Stratton-Chu積分方程可證明[5]，遠(yuǎn)區(qū)散射場(chǎng)可表達(dá)為與表面電流的積分，即

(15)

Δθ≤2π/(2×2×2π max(r′)/λ)

(16)

則在2π角度范圍內(nèi)需要的觀測(cè)點(diǎn)數(shù)至少為

L=2π/Δθ≥8π max(r′)/λ

(17)

而系數(shù)8π大于擬合出的2×6.3，若目標(biāo)形狀更為復(fù)雜，將需更密的間隔來(lái)精細(xì)地觀測(cè)目標(biāo)的散射特性[7]。

下面計(jì)算四個(gè)目標(biāo)的模散射響應(yīng)和重構(gòu)雙站散射，并分析忽略遠(yuǎn)離對(duì)角線(xiàn)的元素對(duì)重構(gòu)的影響，如圖3～6所示。

(a) Target I (b) Target II (c) Target III (d) Target IV圖3 仿真的二維目標(biāo)

為了分析模散射響應(yīng)的性質(zhì)，并能體現(xiàn)目標(biāo)的鏡面散射和多次散射等機(jī)制，構(gòu)造出Target I、II、III和IV如圖3所示，Target I是兩根半徑為1λ的圓柱組合體，兩軸在x和y方向分別相距3.2λ、2λ；Target II是邊長(zhǎng)為4λ，邊厚為0.5λ的二面角；Target III是在Target I的基礎(chǔ)上在左上方添了一根寬為2λ的方柱，方柱的軸與Target I左邊圓柱的軸在x、y方向分別相距3λ、2λ；Target IV是底寬8λ，深3.5λ，開(kāi)口寬4λ，壁高4λ的凹槽。圖4(見(jiàn)411頁(yè))的(a)～(d)分別為四個(gè)目標(biāo)的模散射響應(yīng)填充等值線(xiàn)圖，橫、縱軸分別為入射和散射的基波模式p、q.

模散射響應(yīng)有三個(gè)特點(diǎn)，其一是“帶限低通”性，對(duì)最大尺寸不大于9λ的這三個(gè)目標(biāo)，將模散射響應(yīng)歸一化于最大值，幅度大于-40 dB的元素都在±40之間的有限帶寬內(nèi)，難以激勵(lì)起足夠強(qiáng)度的高階響應(yīng)，正如上文分析平面波的模展開(kāi)式(7)、(10)，截?cái)嗟碾A數(shù)取決于電尺寸。其二是“稀疏”性，如圖4所示，幅度大于-10 dB的元素都集中在對(duì)角線(xiàn)(p=±q)附近；并且從中可看到經(jīng)驗(yàn)性的規(guī)律，隨著目標(biāo)內(nèi)部耦合現(xiàn)象的加劇，在p=-q附近會(huì)集中幅度較強(qiáng)的元素，如圖4(c)中的Target III 比(a)的Target I多了方柱，模響應(yīng)在p=-q臨近的區(qū)域多出現(xiàn)了較強(qiáng)的元素(兩端的位置)，而Target II和IV是強(qiáng)耦合的典型，有著強(qiáng)烈的多次反射，圖4(b)和(d)中在p=-q附近會(huì)聚集的更多。其三是“互易對(duì)稱(chēng)”性。

為了分析忽略遠(yuǎn)離對(duì)角線(xiàn)元素的影響，沿垂直對(duì)角線(xiàn)(p=±q)的方向逐漸擴(kuò)展使用模響應(yīng)，正負(fù)號(hào)的選擇由變化較大的方向確定，并與由常規(guī)矩量法得到的雙站散射計(jì)算相關(guān)值。如圖5(見(jiàn)411頁(yè))(a) 和圖6(見(jiàn)411頁(yè))(a)是Target II和IV由常規(guī)矩量法計(jì)算的雙站散射，而5(b)和6(b)是由全部模響應(yīng)24.8% 重構(gòu)所得，相關(guān)系數(shù)分別大于0.9971和0.9983。圖7是沿垂直對(duì)角線(xiàn)(p=±q)的方向擴(kuò)展時(shí)，由占全部模響應(yīng)的百分比的元素重構(gòu)計(jì)算的和由常規(guī)矩量法計(jì)算的雙站散射之間的相關(guān)系數(shù)；當(dāng)逐漸增加遠(yuǎn)離對(duì)角線(xiàn)的元素，模響應(yīng)重構(gòu)逐漸收斂于矩量法；其中雙劃線(xiàn)、實(shí)線(xiàn)、虛線(xiàn)和點(diǎn)劃線(xiàn)分別為計(jì)算Target I、II、III和IV相關(guān)系數(shù)的收斂性曲線(xiàn)，當(dāng)所占比重約1/4時(shí)相關(guān)系數(shù)都大于0.9970。所以利用這些性質(zhì)可減少計(jì)算時(shí)間。

圖7 由模散射響應(yīng)重構(gòu)雙站散射的相關(guān)收斂曲線(xiàn)

比較兩個(gè)都需迭代求解的過(guò)程，計(jì)算表面電流和模表面電流的次數(shù)分別為L(zhǎng)和2P0+1，前者正比于8π倍的目標(biāo)最大電尺寸、后者約正比于14倍的目標(biāo)最大電尺寸時(shí)，平面波的Bessel級(jí)數(shù)和已很好的收斂，所以根據(jù)精度要求可合理減少迭代求解方程的時(shí)間。此外，重構(gòu)使用FFT的開(kāi)銷(xiāo)較小。

所以，雙站模式響應(yīng)的這些特征是目標(biāo)內(nèi)秉的本質(zhì)屬性，并且與遠(yuǎn)場(chǎng)RCS之間存在傅立葉變換關(guān)系，可用來(lái)快速計(jì)算和識(shí)別目標(biāo)。

4. 結(jié) 論

論文基于矩量法來(lái)分析目標(biāo)雙站散射，將入射和散射的平面波都展開(kāi)為含有基本波函數(shù)—Bessel 函數(shù)的級(jí)數(shù)和，得出了目標(biāo)雙站RCS與模散射響應(yīng)成傅立葉變換的關(guān)系?；贐essel函數(shù)的性質(zhì)，闡述了模散射響應(yīng)近似成沿對(duì)角分布的稀疏性等性質(zhì)，并利用稀疏性和FFT快速實(shí)現(xiàn)了雙站散射的計(jì)算。根據(jù)雙站模式散射響應(yīng)矩陣的性質(zhì)，仿真計(jì)算和比較分析了三個(gè)目標(biāo)，得出由1/8的(收發(fā)互易) 散射響應(yīng)就可重構(gòu)出高精度的雙站RCS。該方法可推廣到三維和使用快速多極子計(jì)算雙站RCS。

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